- Derivata
	- **Def**: *$f$ är deriverbar i punkten $a$ om $$\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$$existerar.$$f'(x)=\frac{df}{dx}(a)=Df(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$är derivatan av $f$ i punkten $x=a$. Funktionen $f'$ är derivatan av $f$ och deinieras som $x\longmapsto f'(x)$ där det är definiead.* 
	- **Defs**:
		- $Df$: *Oendlig liten ändrig i $f$*
		- $Dx$: *Oendlig liten ändrig i $x$*
	- $\overset{\bullet}f=f'$
![[d1.png]]
- Egenskaper och regler
	- $f$ deriverbar $\Rightarrow$ $f$ kontinuerlig. **Obs!** Inte alla kontinuerliga funktioner är deriverbara
	- Derivering är linjär avbildning: $\left(\alpha f+\beta g\right)'=\alpha f'+\beta g'$
	- **Produkt regel** (*Leibniz*): $\left(f\left(x\right)g\left(x\right)\right)'=f'\left(x\right)g\left(x\right)+f\left(x\right)g'\left(x\right)$
	- **Sammansatt funktion**: $\left(f\circ g\right)'\left(x\right)=f'\circ g\left(x\right)g'\left(x\right)$
	- **Kjedje regel**: $(f(g(x)))'=f'(f(x))g'(x)$
	- **Division**: $\left(\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\right)'=\frac{f'\left(x\right)g\left(x\right)-f\left(x\right)g'\left(x\right)}{g\left(x\right)^2}$
	- **Ex**: ![[d_ex_1.png]]$$\begin{align}f(x)=\mid x\mid\\f\text{ är kontinuerlig på }\mathbb{R}.\\f\text{ är inte deriverbar i }0.\\\lim_{x\to0+}\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}=\lim_{x\to0+}\frac{\mid x\mid-0}x=\lim_{x\to0+}\frac xx=1\\\lim_{x\to0-}\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}=\lim_{x\to0-}\frac{\mid x\mid-0}x=\lim_{x\to0-}\frac{-x}x=-1\\\lim_{x\to0}\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}=f'(0)\text{ existerar inte-}\end{align}$$
	- **Ex**: $$\begin{align}\text{Leibniz regel}\\\left(f\left(x\right)g\left(x\right)\right)'=\lim_{h\to0}\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)g\left(x\right)}h\\=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x+h)+f(x)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}\\=\lim_{h\to0}\left(g(x+h)\frac{f(x+h)-f(x)}{h}+f(x)\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\right)\\=g(x)f'(x)+f(x)g'(x)\end{align}$$
	- **Ex**: $$\begin{align}h(x)=\frac1x\\h'(x)=-\frac1{x^2}\\h\circ g(x)=h(g(x))=\frac1{g(x)}\\(g\circ g)'(x)=\left(\frac1{g(x)}\right)^2\\=h'\circ g(x)g'(x)=h'(g(x))g'(x)=\frac{-1}{(g(x))^2}g'(x)\end{align}$$
- Standerd derivarives
	1. $f(x)=c\;\;\Rightarrow\;\;f'(x)=0$
	2. $f(x)=n^n\;\;\Rightarrow\;\;f'(x)=nx^{n-1},\;n\in\mathbb{Z}$
	3. $f(x)=x^\alpha\;\;\Rightarrow\;\;f'(x)=\alpha x^{\alpha-1},\;\alpha\in\mathbb{R},\;x>0$
	4. $f(x)=e^x\;\;\Rightarrow\;\;f'(x)=e^x$
	5. $f(x)=\ln\mid x\mid\;\;\Rightarrow\;\;f'(x)=x^{-1},\;x\neq0$
	6. $f(x)=\sin x\;\;\Rightarrow\;\;f'(x)=\cos x$
	7. $f(x)=\cos x\;\;\Rightarrow\;\;f'(x)=-\sin x$
	8. $f(x)=\tan x\;\;\Rightarrow\;\;f'(x)=\sec^2x=1+\tan^2x$
	9. $f(x)=a^x\;\;\Rightarrow\;\;f'(x)=a^x\ln a,\;a>0$
	10. $f(x)=\log_a\mid x\mid\;\;\Rightarrow\;\;f'(x)=(x\ln a)^-1,\;a>0,\;x\neq0$
- Implicit derviering
	- **Ex**: Bestäm tangent & normal ekvation till kurvan $x^3y^2-x^2y^3=12$ i punkten $(2,-1)$ $$\begin{align}\text{Antag att }y=f(x)\text{ för någon funktion }f\text{ nära punkten }(2,-1)\\x^3(f(x))^2-x^2(f(x))^3=12\\\text{Derivera m.a.p. }x\\(x^3(f(x))^2)'-(x^2(f(x))^3)'=(12)'\\\Leftrightarrow(x^3)'(f(x))^2+x^3((f(x))^2)'\\-(x^2)'(f(x))^3-x^2((f(x))^3)'=0\\\text{(produkt regeln)}\\\Rightarrow3x^2(f(x))^2+x^3\times2f(x)f'(x)\\-2x(f(x))^3-x^2\times3(f(x))^2\times f'(x)=0\\\Leftrightarrow(2x^3f(x)-3x^2(f(x))^2)f'(x)\\=2x(f(x))^3-3x^2(f(x))^2\\\text{På punkten }(2,-1)\text{ har vi}\\y=f(2)=-1\\\text{sätt in }x=2\\\left(2\times2^3f(2)-3\times2^2\times(f(2))^2)f'(x)\right)=2\times2\times(f(2))^3-2\times2^2(f(2))^2\\\Leftrightarrow(-16-12)f'(2)=-4-12\Leftrightarrow f'(2)=\frac{-16}{-28}=\frac47\\\text{Tangent ekv: }y=f'(a)(x-a)+f(a)\\\Leftrightarrow y=\frac47(x-2)-1\Leftrightarrow4x-7y=15\\\text{Normal ekv: }y=-\frac1{f'(a)}(x-a)+f(a)\\\Leftrightarrow y=-\frac74(x-2)-1\Leftrightarrow7x+4y=10\end{align}$$
	- **Kedje regeln**: $$\begin{align}\frac{df(y(x))}{dx}=\frac{df(y(x))}{dy}\times\frac{dy(x)}{dx}\\(f(y(x)))'=f'(y(x))y'(x)\end{align}$$
- Invers
	- **Theorem**: *Om $f$ är inverterbar och deriverbar i punkten $a$ så att $f'(a)\neq0$ då är inversen $f^{-1}$ deriverbar i punkten $b=f(a)$ med derivatan* $$\left(f^{-1}\right)'\left(b\right)=\frac1{f'(a)}$$
	- Följdsats:
		- **Theorem**: $$\begin{gather}\text{För }-1<x<1,\\>\;f(x)=\arcsin x\;\;\;\;\;\Rightarrow f'(x)=\frac1{\sqrt{1-x^2}}\\>\;f(x)=\arccos x\;\;\Rightarrow f'(x)=-\frac1{\sqrt{1-x^2}}\\>\;f(x)=\arctan x\;\;\;\;\;\;\;\;\Rightarrow f'(x)=\frac1{1+x^2}\\>\;f(x)=\arccos x\;\;\;\;\Rightarrow f'(x)=-\frac1{1+x^2}\end{gather}$$
- Medelvärdessats
	- **Theorem** *Om $f$ är kontinuerlig på slutet intervall $\left[a,b\right]$ och deriverbar på öppet intervall $\left(a,b\right)$, dår fins det minst en punkt $\xi\in\left(a,b\right)$ så att* $$f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$![[MVT.png]]
- Egenskaper
	- *Låt $f$ vara deriverbar i intevallet $\left(a,b\right). följande gäller$*
		1. *$f'(c)=0$ för något $c\in\left(a,b\right)\;\Rightarrow\;f$ har lokal extremvärde eller sadelpunkt i punkten $x=c$.*
		2. *$f'(x)=0\;\forall{x}\in\left(a,b\right)\Rightarrow f(x)=C$, konstant funktion*
		3. *$f'(x)=g'(x)\;\forall{x}\in\left(a,b\right)\Rightarrow f(x)=g(x)+C$, Där $C$ är någon konstant.*
		4. *$f'(x)>0\;\forall{x}\in\left(a,b\right)\Rightarrow f(x)$ är strängt växande i $\left(a,b\right)$.*
		5. *$f'(x)<0\;\forall{x}\in\left(a,b\right)\Rightarrow f(x)$ är strängt avtagande i $\left(a,b\right)$.*
		6. *$f'(x)\geq0\;\forall{x}\in\left(a,b\right)$ med likhet i ändligt antal punkter $\Rightarrow f(x)$ är stängt växande i $\left(a,b\right)$.*
		7. *$f'(x)\leq0\;\forall{x}\in\left(a,b\right)$ med likhet i ändligt antal punkter $\Rightarrow f(x)$ är stängt avtagande i $\left(a,b\right)$.*
- Andra derivata
	- **Betäkning**: $f''(x)$
	- **Definition**: $\frac{d^2f}{dx^2}(x):=\frac{d}{dx}\left(\frac{df}{dx}(x)\right)$
	- **Ex**: $f(x)=x^3\Rightarrow f'(x)=3x^2\Rightarrow f''(x)=6x$
	- **Andra-derivatanstest**: $$\begin{align}\text{Låt }f\text{ vara deriverbar i punkten }x_0\;\&\;f'(x_0)=0\\1.\;\;f''(x_0)>0\Rightarrow x_0\text{ är en lokal minimum.}\\2.\;\;f''(x_0)<0\Rightarrow x_0\text{ är en lokal maximum.}\\3.\;\;f''(x_0)=0\Rightarrow\text{Vet ej.}\end{align}$$