**DEF**: *En Determinant fins bara för kvadratiska matriser, t.ex: Låt $A$ vara en $m\times{n}$ matris. Denna matrisens determinant $\det(A)$ är det realla talet man får:  *$$\det(A)=\sum_{\sigma\in{S_n}}\operatorname{sgn}(\sigma)a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\dots{a_{n\sigma(n)}}$$
- *Där $S_n$ mängden av alla penmutationer (samordningar) av talen $1,\;2,\;\dots,\;n$*
- *$\sigma$ är en permutation av talen $1,\;2,\;\dots,\;n$*
- *$\operatorname{sgn}(\sigma)$ är antigen $+1$ eller $-1$, beroende på antalet parytor som skiljer $\sigma$ från den vanliga ordningen*
**EX** $$\begin{aligned}
\text{Om vi har en $5\times5$ matris, då finns $5!=120$ sätt att omordna talen }1,\;2,\;3,\;4,\;5\\
\text{Hur ser det termerna som motsvarar omordingen }\sigma=3-1-5-4-2. \text{iså fall är:}\\
sgn(\sigma)a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}a_{3\sigma(3)}a_{4\sigma(4)}a_{5\sigma(5)}=\underbracket{(-1)}\times a_{1\fbox{3}}a_{2\fbox{1}}a_{3\fbox{5}}a_{44}a_{5\fbox{2}}
\end{aligned}$$
*$\operatorname{sgn}$: Refererar till jämnt eller ojämt antal byten för att nå standerd ordning,*
```cpp
int sgn(int sigma_diff)
{
	return sigma_diff%2==0?1:-1;
}
```
**EX**: $$\begin{aligned}\text{Vad är determinaten av $2\times2$ matrisen } A=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}.\\\text{Det finns bata två sätt att omordna $1,\;2$: }1-2,\fbox{2}-\fbox{1}.\\\Rightarrow\text{determinatens summa har i det här fallet endast 2 termer}:\\\det(A)=\underbracket{+1}\times{a_{11}}\times{a_{22}}+\underbracket{-1}\times{a_{12}}\times{a_{21}}\\=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\end{aligned}$$
**EX**: $$\begin{aligned}\text{Vad är determinaten av $3\times3$ matrisen }\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}\\\text{Vad är dem 6 sätt att omordna?}\\\left.\begin{matrix}1-2-3&:&\operatorname{sgn}:&+1\\1-3-2&:&\operatorname{sgn}:&-1\\2-1-3&:&\operatorname{sgn}:&-1\\2-3-1&:&\operatorname{sgn}:&+1\\3-1-2&:&\operatorname{sgn}:&+1\\3-2-1&:&\operatorname{sgn}:&-1\\\end{matrix}\right\}\begin{aligned}\det(A)=\underbracket{+1}\times{a_{11}}a_{22}a_{33}+\\\underbracket{(-1)}\times{a_{11}}a_{23}a_{32}+\\\underbracket{(-1)}\times{a_{12}}a_{21}a_{33}+\\\underbracket{+1}\times{a_{12}}a_{23}a_{31}+\\\underbracket{+1}\times{a_{13}}a_{21}a_{32}+\\\underbracket{+1}\times{a_{13}}a_{22}a_{31}\end{aligned}\end{aligned}$$
*Redan för $4\times4$ matriser skulle vi ha en summa med $24$ termer. Fins det något sätt att skriva deferminanten av $3\times3$ matrisen med hjälp av determinanten från $2\times2$ matrisen?*
$$\begin{aligned}\det(A)&=a_{11}a_{22}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32}&-a_{12}a_{21}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}&+a_{12}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}\\&=a_{11}\times\underbrace{\left(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32}\right)}_{\substack{\parallel\\\underline{\det\left(\begin{bmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{32}\end{bmatrix}\right)}\\A_{11}}}&-a_{12}\times\underbrace{\left(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31}\right)}_{\substack{\parallel\\\underline{\det\left(\begin{bmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{bmatrix}\right)}\\A_{12}}}&+a_{13}\times\underbrace{\left(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31}\right)}_{\substack{\parallel\\\underline{\det\left(\begin{bmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{bmatrix}\right)}\\A_{13}}}\end{aligned}$$
**DEF**: *Låt $A$ vara en $m\times n$ matris. Imdermatrosem $A_{ij}$ är den $(m\times1)\times(n\times1)$ matrisen som fås genom att ta bort rad $i$ och kolumn $j$ från matrisen $A$.*
**EX**: $$\begin{aligned}A=\begin{bmatrix}1&2&3&4\\5&6&7&8\\9&10&11&12\end{bmatrix}\Rightarrow\begin{aligned}A_{11}=\begin{bmatrix}6&7&8\\10&11&12\end{bmatrix}\\A_{23}=\begin{bmatrix}1&2&4\\9&10&12\end{bmatrix}\end{aligned}\end{aligned}$$
**SATS**: *(RADUTVÄKLING): låt $A$ vara en $m\times{n}$ matris. För varje utvald index $i$ (mellan $1$ och $m$) gäller det att* $$\det(A)=\sum^{m}_{j=n}(-1)^{i+j}a_{ij}\det{A_{ij}}$$
**Användiongs fall**
*Vi vet att* $$\det(A)=\sum^{m}_{j=n}(-1)^{i+j}a_{ij}\det(A_ij)\left(\text{Radutväkling med avsende på rad $i$}\right)$$
**SATS**: *Låt $A$ vara en $m±times{n}$ diaonal matris. Då gäller det att* $$\begin{aligned}\det(A)=\prod^{m}_{i=1}a_{ii}\\A=\begin{bmatrix}a_{11}&0&0&0\\0&a_{22}&0&0\\0&0&a_{33}&0\\0&0&0&a_{44}\end{bmatrix}\end{aligned}$$
- **BEVIS**: $$\begin{aligned}\text{(tänk på 4x4 exemplet) Om vi radutvklar med avsende på rad $1$ ges:}\\\det(A)=\sum^{4}_{j=1}(-1)^{1+j}\underset{\text{Den enda termen som inte är $0$ är $a_{11}$}}{a_{1j}}\det(A_{1j})=a_{11}\times\det(A_{11})=\\a_{11}\times\det\left(\begin{bmatrix}a_{22}&0&0\\0&a_{33}&0\\0&0&a_{44}\end{bmatrix}\right)\Rightarrow\\\text{$m$ raduväklar igen, med avsende på rad $1$ i den nya mindre matrisen:}\\=a_{11}\times{a_{22}}\times\det\left(\begin{bmatrix}a_{33}&0\\0&a_44\end{bmatrix}\right)=a_{11}\times{a_{22}}\times{a_{33}}\times\det(\begin{bmatrix}a_{44}\end{bmatrix})\end{aligned}$$
	- **OBS**: *Samma resultat gäller för både över- ohc under-triangul'ra matriser:* $$\begin{aligned}\det\left(\begin{bmatrix}a_{11}&0&0&0\\a_{21}&a_{22}&0&0\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&0\\a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}\\\end{bmatrix}\right)=a_{11}\times{a_{22}}\times{a_{33}}\times{a_{44}}\\\det\left(\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\0&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\0&0&a_{33}&a_{34}\\0&0&0&a_{44}\\\end{bmatrix}\right)=a_{11}\times{a_{22}}\times{a_{33}}\times{a_{44}}\end{aligned}$$
**SATS**: *Låt $A$ vara en $m\times{n}$ matris, och $\alpha\in\mathbb{R}$. Då gäller det att* $$\det(\alpha{A})=\underbracket{\alpha}\det(A)$$
- **BEVIS**: $$\begin{aligned}\text{Kolla först $2\times2$ matriser: } A=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}\Rightarrow\alpha{A}=\begin{bmatrix}\alpha a_{11}&\alpha a_{12}\\\alpha a_{21}&\alpha a_{22}\end{bmatrix}\\\text{Då gäller det att: }\det\left(\begin{bmatrix}\alpha a_{11}&\alpha a_{12}\\\alpha a_{21}&\alpha a_{22}\end{bmatrix}\right)=(\alpha{a_{11}})\times(\alpha{a_{22}})-(\alpha{a_{12}})\times(\alpha{a_{21}})=\\a^2(a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21})=a^2\det(A)\\\text{För störe matriser följer resultater ur radutväklingsformel}\end{aligned}$$
**SATS** $$\begin{aligned}\text{Låt $A,B$ vara två $m\times{n}$ matriser. Då gäller det att}\\\det(AB)=\det(A)\times\det(B)\end{aligned}$$
- **BEVIS** $$\begin{aligned}\text{Endast $2\times2$ matriser: }\\A=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix},\;B=\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\end{bmatrix},\;AB=\begin{bmatrix}a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}&a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}\\a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21}&a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22}\\\end{bmatrix}\\\Rightarrow\det(AB)=(a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21})\times(a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22})\\-(a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21})\times(a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22})\\=(\cancel{a_{11}b_{11}a_{21}b_{12}}+a_{11}b_{11}a_{22}b_{22}+a_{11}b_{11}a_{22}b_{22}+\cancel{a_{12}b_{21}a_{22}b_{22}})\\-(\cancel{a_{11}b_{11}a_{21}b_{12}}+a_{11}b_{12}a_{22}b_{22}+a_{12}b_{22}a_{21}b_{11}+\cancel{a_{12}b_{21}a_{22}b_{22}})\\=a_{11}b_{11}a_{22}b_{22}+a_{11}b_{11}a_{22}b_{22}-a_{11}b_{12}a_{22}b_{22}-a_{12}b_{22}a_{21}b_{11}\\=a_{11}a_{22}(b_{11}b_{22}-b_{12}b_{21})-a_{12}a_{21}(b_{11}b_{22}-b_{12}b_{21})\\=a_{11}a_{22}\times\det(B)-a_{12}a_{21}\times\det(B)=(a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21})\det(B)=\det(A)\det(B)\end{aligned}$$
**SATS**: *Låt $A$ vata en $m\times{n}$ matris. Då gäller: *$$\det(A)=\det(A^T)$$
- **BEVIS**: $$\begin{aligned}\text{Endast $2\times2$: }\left.\begin{aligned}A=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}\Rightarrow\det(A)=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\\A^T=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{21}\\a_{12}&a_{22}\end{bmatrix}\Rightarrow\det(A)=a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}\end{aligned}\right\}\text{Exakt samma}\end{aligned}$$
**DEF**: *Låt $A$ vara $m\times{n}$ matris. Denna matrisen kofaktormatris är den $m\times{n}$ matrisen $\operatorname{cof}(A)$ vars element i rad $i$ och kolumn $j$ är *$$\begin{aligned}(-1)^{1+j}\det(A_{ij})\end{aligned}$$
- **EX**: $$\begin{aligned}A=\begin{bmatrix}1&1&6\\-3&-4&-16\\3&5&13\end{bmatrix}\Rightarrow\operatorname{cof}(A)=\begin{bmatrix}+\begin{vmatrix}-4&-16\\5&13\end{vmatrix}&-\begin{vmatrix}-3&-16\\3&13\end{vmatrix}&+\begin{vmatrix}-3&-4\\3&5\end{vmatrix}\\-\begin{vmatrix}1&6\\5&13\end{vmatrix}&+\begin{vmatrix}1&6\\3&16\end{vmatrix}&-\begin{vmatrix}1&1\\3&5\end{vmatrix}\\+\begin{vmatrix}1&6\\-4&-16\end{vmatrix}&-\begin{vmatrix}1&6\\-3&-16\end{vmatrix}&+\begin{vmatrix}1&1\\-3&-4\end{vmatrix}\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}28&-9&-3\\17&-5&-2\\8&-2&-1\end{bmatrix}\end{aligned}$$