**DEF**: *Låt $A$ vara $m\times{n}$ matris. Polynomet $$p_A(\lambda)=\det(A-\lambda I)$$. Kallas för matrisens kavaktieiska polynom. $\lambda\dots$ variabeln för detta polynom*
**EX**: $$\begin{aligned}\text{Låt }A=\begin{bmatrix}2&-1\\3&-2\end{bmatrix}.\text{ Då är }A-\lambda{I}=\\\begin{bmatrix}2&-1\\3&-2\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}\lambda&0\\0&\lambda\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2-\lambda&-1\\3&-2-\lambda\end{bmatrix}\\\Rightarrow\det(A-\lambda{I})=\begin{vmatrix}2-\lambda&-1\\3&-2-\lambda\end{vmatrix}=(2-\lambda)(-2-\lambda)-(-1)\times3\\=-4\cancel{-2\lambda}\cancel{+2\lambda}+\lambda^2+3=\underbrace{\lambda^2-4}\\\text{OBS: En $2\times2$ matris har en andragrads karaktieristisk polynom}\end{aligned}$$
**DEF**: *Låt A vara en $m\times{n}$ matris. Nollställena till matrisens karakterisktiska polynom kalla för matrisens egenvärdarna.*$$P_A(\lambda)=0$$
**OBS**:
- *En $m\times{n}$ matris har alltid $m$ stycken egenvärden räknad med multiplicitet.* $$P_A(\lambda)=(\lambda-1)^3(\lambda-2)\Rightarrow\underbrace{4}.\text{ Lösninger: }\lambda=1,\lambda=1,\lambda=1,\lambda=2$$
- *En matris med reella element behöver inte ha reella egenvärden* $$P_A(\lambda)=\lambda^2+1\Rightarrow\lambda^2+1=0\Rightarrow\lambda=+i,\lambda=-i$$
**EX**: $$\begin{aligned}A=\begin{bmatrix}2&-1\\3&-2\end{bmatrix}\Rightarrow P_A(\lambda)=\lambda^2-1\Rightarrow\text{egenvärdena: }\lambda^2-1=0\Rightarrow\lambda=\pm1\end{aligned}$$
**EX**: $$\begin{aligned}\text{Beräknaq egenvärdena av matrisen }A=\begin{bmatrix}13&4&8\\-6&-1&-4\\18&-6&-11\end{bmatrix}\\\text{Vi beräknar:}\\\det(A-\lambda I)=\begin{vmatrix}13-\lambda&4&8\\-6&-1-\lambda&-4\\-18&-6&-11-\lambda\end{vmatrix}=\\(13-\lambda)\begin{vmatrix}-1-\lambda&-4\\-6&-11-\lambda\end{vmatrix}-4\begin{vmatrix}-6&-4\\-18&-11\lambda\end{vmatrix}+8\begin{vmatrix}-6&-1-\lambda\\-18&-6\end{vmatrix}\\(13-\lambda)\left(11+\lambda+11\lambda+\lambda^2-24\right)-4(66+6\lambda-72)+8(36-18-18\lambda)\\=(13-\lambda)(\lambda^2+12\lambda-13)-4(64-6)+8(18-18\lambda)\\=13\lambda^2+12\times13\lambda-13^2-\lambda^3-12\lambda^2+13\lambda-24\lambda+24+144-144\lambda\\=-\lambda^3+\lambda^2+\lambda-1=-\lambda^2)(\lambda-1)+(\lambda-1)=(\lambda-1)(-\lambda^2-1)=\\(\lambda-1)\times(-1)\times(\lambda^2-1)=(\lambda^2-1)\times(-1)\times(\lambda-1)(\lambda+1)\\=-(\lambda-1)^2(\lambda+1)\end{aligned}$$
**SATS**: *Låt $A$ vara en $m\times{n}$ matris, ich anta att $A$ antigen är diagonal eller triangulär (över eller under). Då sammanfaller engenvärdena med matrisens diagonala element*
**BEVIS**: *Observera att matrisen $A-\lambda I$ är också diagonal eller tirangulär. Men för sådana matriser är determinanten lika med produkten av diagonala element (Föreläsning 12)*$$\begin{aligned}\Rightarrow P_A(\lambda)=\det(A-\lambda I)=\prod_{i=1}^{m}(a_{ii}-\lambda)\\\Rightarrow P_A(\lambda)=0\text{ precis för }\lambda=a_{11},\;\lambda=a_{22}\;\dots,\;\lambda=a_{mm}\end{aligned}$$
**DEF**: *Låt $A$ vara en $m\times{n}$ matris och $\lambda$ vara ett av matrisens egenvärden. En $m\times1$ kolumnmatris $\overrightarrow{x}$ kallas för en egenvektor tillhörande $\lambda$ om $\overrightarrow{x}\neq\overrightarrow{0}$ och $A\overrightarrow{x}=\lambda\overrightarrow{x}$*
**OBS**:
- *Varje egenvärde har minst en egenskap*
- *Om ett egenvärde upprepas, kan vi endast ha en linjärt oberoende egenvektor*
- *Följande kan också hända: För ett egenvärde som upprepas $k$-gånger kan det finnas $k$ linjärt oberoende egenvektorer*
- *Egenskaper räknas ut med hjälp av ett gauss shcema*
**EX** $$\begin{aligned}
A=\begin{bmatrix}
2&-1\\
3&-1
\end{bmatrix},\text{ där vi redan har beröknat att }\lambda=\pm1\text{ egenvärdena}\\
\text{Vad är de motsvarande egenvektorerna?}\\
\begin{aligned}
\text{Vilket schema?}\Rightarrow\begin{aligned}
VL=A-\lambda I\\
HL=\overrightarrow{o}
\end{aligned}
&&
\begin{pmatrix}
A\overrightarrow{x}&=\lambda\overrightarrow{x}\\
A\overrightarrow{x}-\lambda\overrightarrow{x}&=\overrightarrow{0}\\
\left(A-\lambda I\right)\overrightarrow{x}&\overrightarrow{0}
\end{pmatrix}
\end{aligned}\\
\lambda=+1:\begin{pmatrix}
1&-3&|&0\\
3&-3&|&0
\end{pmatrix}
\begin{aligned}
R_2-3R_1\rightarrow{R_2}\\
\xrightarrow{}
\end{aligned}
\begin{pmatrix}
1&-1&|&0\\
0&0&|&0
\end{pmatrix}\Rightarrow\overrightarrow{x}\\=\begin{bmatrix}
x\\y
\end{bmatrix}\text{ Där }\begin{aligned}
y=t\text{ (fri variable)}\\
x-y=0\Rightarrow x=t
\end{aligned}\\\\
\lambda=-1:\begin{pmatrix}
3&-1&|&0\\
3&-1&|&0
\end{pmatrix}
\begin{aligned}
R_2-R_1\rightarrow{R_2}\\
\xrightarrow{}
\end{aligned}
\begin{pmatrix}
3&-1&|&0\\
0&0&|&0
\end{pmatrix}\\
\begin{aligned}
\frac13R_1\rightarrow{R_1}\\
\xrightarrow{}
\end{aligned}
\begin{pmatrix}
1&-\frac13&|&0\\
0&0&|&0
\end{pmatrix}\Rightarrow\begin{aligned}
y=t\text{ (fri variable)}\\
x-\frac13y=0\Rightarrow x=\frac13t\\\Rightarrow\begin{bmatrix}
x\\y
\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}
\frac13t\\
t
\end{bmatrix}=t\times\begin{bmatrix}
\frac13\\
1
\end{bmatrix}
\end{aligned}
\end{aligned}$$
