**DEF**: *En matris med reella koefficienter är en samling av $m\times{n}$ reella tal, uppdelade i $m$ rader och $n$ kolumner*$$\begin{aligned}A=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\dots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\dots&a_{mn}\end{bmatrix}\end{aligned}$$*Antalet rader och kolumner utgör matrisens dimension: $m\times{n}=$"$m$ gånger $n$"*

**Räknavis**
- **DEF**: *För två (eller flera) matriser vara samma dimension defimiras addition och skalär multiplikation positionsvis*
- **EX**: $$\begin{aligned}A=\begin{bmatrix}1&-3&4\\0&3&5\end{bmatrix},B=\begin{bmatrix}-3&-3&2\\1&0&1\end{bmatrix},\lambda=3\\Rightarrow{}A+B=\begin{bmatrix}-2&-6&8\\1&3&6\end{bmatrix},3\times{A}=\begin{bmatrix}3&-9&12\\0&9&15\end{bmatrix}\end{aligned}$$
- $$\begin{bmatrix}1&3\\2&4\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}=\text{Går ej att addera matriser i olika dimensioner}$$
**Vanliga räkne regler gäller**
- $A+B=B+A$
- $(A+B)+C=A+(B+C)$
- $\lambda\times(\mu{A)}=(\mu\lambda)*A$
- $\lambda(A+B)=\lambda{A}+\lambda{B}$
- $(\lambda+\mu)=\lambda{A}+\mu{A}$


**DEF**: *Låt $A$ vara en $m\times{n}$ matris och $B$ vara en $n\times{p}$ matris. I så fall definieras matrisprodukten $AB$ som *$$(AB)_{ij}=\sum^n_{k=1}(A)_{1k}\times{(B)_{k1}}$$*Resultatet $AB$ är en $m\times{p} matris$*

**EX**: $$\begin{aligned}\left.\begin{aligned}A=\begin{bmatrix}1&-3&4\\0&3&5\end{bmatrix}\text{ En $2\times3$ matris}\\B=\begin{bmatrix}-3&-3&1&4\\1&0&1&-2\\2&-1&6&1\end{bmatrix}\text{ En $3\times4$ matris}\end{aligned}\right\}AB=\begin{bmatrix}1&-7&22&14\\14&-5&33&-1\end{bmatrix}\end{aligned}$$**Transponering**: 
- **DEF**: *Låt $A$ vara en $m\times{n}$ matris. Denna matrisen transponat $A^T$ är den $m\times{n}$ matrisen som fås genom att använda alla rader från matrisen $A$ till kolumner.*
-  **EX**: *om* $$\begin{aligned}A=\begin{bmatrix}1&2&3\\1&2&4\end{bmatrix},\text{ Då är}\\A^T=\begin{bmatrix}1&1\\2&2\\3&4\end{bmatrix}\end{aligned}$$
- **Vilka räkneregler gäller?**$$\begin{aligned}-&&\left(A^T\right)^T&=A\\-&&\left(A+B\right)^T&=A^T+B^T\\-&&\left(\alpha\times{A}\right)^T&=\alpha\times{A^T}\\-&&\left(AB\right)^T&=B^TA^T!!\end{aligned}$$
- **DEF**: *En kvadratisk matris $A$ kallas för symmetrisk om $A^T=A$*
	- **EX**: $$\left.\begin{aligned}A=\begin{bmatrix}\underline{1}&2&3\\2&\underline{5}&6\\3&6&\underline{9}\end{bmatrix},&\;\;B=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}\\A^T=\begin{bmatrix}\underline{1}&2&3\\2&\underline{5}&6\\3&6&\underline{9}\end{bmatrix},&\;\;B^T=\begin{bmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{bmatrix}\end{aligned}\right\}\begin{aligned}A^T=A\\B^T\neq{B}\end{aligned}$$
	- **DEF**: *I en kvadratisk matris $A$ kallas:*
		- *Element $a_{ij}$ med $i=j\Leftrightarrow$ diagonala element*
		- *Element $a_{ij}$ med $i<j\Leftrightarrow$ över-diagonala element*
		- *Element $a_{ij}$ med $i>j\Leftrightarrow$ under-diagonala element*
		- **EX**: $$A=\begin{bmatrix}a_{11}&\overline{a_{12}}&\overline{a_{12}}&\overline{a_{13}}\\\underline{a_{21}}&a_{22}&\underline{a_{22}}&\overline{a_{23}}\\\underline{a_{31}}&\underline{a_{12}}&a_{12}&\overline{a_{33}}\\\underline{a_{41}}&\underline{a_{42}}&\underline{a_{43}}&a_{44}\\\end{bmatrix},\;\begin{aligned}\text{OBS: en kvadratisk matris}\\\text{ $A$ är symetrisk om}\\\underline{\underline{a_{ij}=a_{ji},\text{ för }i\neq{j}}}\end{aligned}$$
	- **DEF**: *En kvadratisk matris $A$ kallas för*
		- *Diagonal matris $\Leftrightarrow$ alla över- och under-diagonala element är $0$*
		- *Över-triangulär matris $\Leftrightarrow$ alla under-diagonala element är $0$*
		- *Under-triangulär matris $\Leftrightarrow$ alla över-diagonala element är $0$*
		- **EX**: $$\begin{aligned}A=\begin{bmatrix}1&\overline{0}&\overline{0}\\\underline{0}&5&\overline{0}\\\underline{0}&\underline{0}&9\end{bmatrix},\;\;B=\begin{bmatrix}1&\overline{2}&\overline{3}\\\underline{0}&5&\overline{6}\\\underline{0}&\underline{0}&9\end{bmatrix},\;\;C=\begin{bmatrix}1&\overline{0}&\overline{0}\\\underline{4}&5&\overline{0}\\\underline{7}&\underline{8}&9\end{bmatrix}\end{aligned}$$
		- **OBS**:
			- *Transponanten av en diagonal matris är en diagonal matris, samt alla diagonala matriser är symetriska*
			- *Transponanten av en över-triangulär matris är en under-triangulär matris*
			- *Transponanten av en under-triangulär matris är en över-triangulär matris*
			- **EX**: $$\begin{aligned}A=\begin{bmatrix}1&\overline{0}&\overline{0}\\\underline{0}&5&\overline{0}\\\underline{0}&\underline{0}&9\end{bmatrix},\;\;B=\begin{bmatrix}1&\overline{0}&\overline{0}\\\underline{2}&5&\overline{0}\\\underline{3}&\underline{6}&9\end{bmatrix},\;\;C=\begin{bmatrix}1&\overline{4}&\overline{7}\\\underline{0}&5&\overline{8}\\\underline{0}&\underline{0}&9\end{bmatrix}\end{aligned}$$
	- **DEF**: *Den diagonala matrisen vars alla diagonala element är $1$ kallas för identitetsmatrisen och betänkas $I$.* 
		- **EX**: $$
\begin{aligned}
I=\begin{bmatrix}
1&0\\0&1
\end{bmatrix}\\
\shortparallel\;\;\;\;\;\\
I_2\;\;\;\:
\end{aligned},\;\;
\begin{aligned}
I=\begin{bmatrix}
1&0&0\\
0&1&0\\
0&0&1
\end{bmatrix}\\
\shortparallel\;\;\;\;\;\;\;\;\\
I_2\;\;\;\;\;\;\:
\end{aligned}$$
		- **OBS**: *Om $X$ är en $m\times{n}$ matris och $I$ identitersmatrisen av samma dimension, då gäller:* $$\begin{aligned}IX=XI=X&&\left(\underbracket{1}\times{x}=x\times\underbracket{1}=x\right)\end{aligned}$$
		- **DEF**: *låt $A$ vara en $m\times{n}$ matris. Denna matrisen invers matris $A^{-1}$ är den matrisen som uppfyller $AA^{-1}=A^{-1}A=I$ (om en sådan matris $A^{-1}$ fins)* 
			- **EX**: $$\begin{aligned}\text{Har matrisen }A=\begin{bmatrix}0&2\\0&0\end{bmatrix}\text{ en invers?}\\\text{Om den har en invers }A^{-1}=\begin{bmatrix}x&y\\z&w\end{bmatrix},\text{ då ska }\\AA^{-1}=A^{-1}A=I\\\text{Vad är }AA^{-1}\begin{bmatrix}0&2\\0&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x&y\\z&w\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2z&2w\\0&0\end{bmatrix}\overset{?}{\text{=}}\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}\Rightarrow0=1\\\text{Detta går inte eftersom $0\neq1$}\\A\text{ har ingen invers}\end{aligned}$$
		- **Räkneregler**: *(låt $A,B$ vara $m\times{x}$ matriser som har inverser*
			- $\left(A^{-1}\right)^{-1}=A$
			- $\left(A^{-1}\right)^{T}=\left(A^T\right)^{-1}$
			- $\left(AB\right)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$!!
- **EX**: *Hur löser vi ekvationen $AX=B$, där $A,B$ kända $m\times{n}$ matriser, $X$ är okänd $m\times{n}$ matris?* $$
\begin{aligned}\begin{aligned}
AX=B\Leftrightarrow\left(\begin{aligned}
X=BA^{-1}?\\
X=A^{-1}B?
\end{aligned}\right)\end{aligned}\\\begin{aligned}
AX=B&\Rightarrow\underbracket{A^{-1}}AX=A^{-1}B\Rightarrow{IX=A^{-1}B}\Rightarrow{X=A^{-1}B}\\
&\Rightarrow{AX\underbracket{A^{-1}}}=B\underbracket{A^{-1}}\Rightarrow???
\end{aligned}\end{aligned}$$
- **FAKTA**: *Om $A$ är em $m\times{n}$ matris och anta att $A$ har en invers. Då beräknas $A^{-1}$ genom: *$$\left(A\mid{I}\right)\longrightarrow\left(I\mid{A}\right),$$*dvs. Vi skriver $A$ som $VL$ och $I$ som $HL$ i ett gauss-chema, och sen genom radoperationer säkerställer att $I$ find på $VL$ till slut, och då är $A^{-1}$ kvar i $HL$.* 
	- **EX**: $$\begin{aligned}\text{Låt }A=\begin{bmatrix}1&2\\2&7\end{bmatrix}\text{. beräkna }A^{-1}\\\left(A\mid{I}\right)=\begin{pmatrix}1&2&|&1&0\\2&7&|&0&1\end{pmatrix}\begin{aligned}R_2-2R_1\rightarrow{R_2}\\\xrightarrow{}\end{aligned}\begin{pmatrix}1&3&|&1&0\\0&1&|&-2&1\end{pmatrix}\\\begin{aligned}R_1-3R_2\rightarrow{R_1}\\\xrightarrow{}\end{aligned}\begin{pmatrix}1&0&|&7&-3\\0&1&|&-2&1\end{pmatrix}\Rightarrow{A^{-1}}=\begin{bmatrix}7&-3\\-2&1\end{bmatrix}\end{aligned}$$ $$\begin{aligned}
A=\begin{bmatrix}
1&2\\
3&4
\end{bmatrix}\Rightarrow?\\
A^{-1}=\begin{bmatrix}
4&-2\\
-3&1
\end{bmatrix}?
\end{aligned}$$