**ODE** $\Longleftrightarrow$ **Ordinära differentialekvation**
**PDE** $\Longleftrightarrow$ **Partiell differentialekvation**
- Separabel ODE
- Linjär ODE av ordning 1
- Linjär ODE av ordning 2 med konstant koefficienter


- **Ex**: *Newtons lag* $m\frac{d^2}{df^2}\stackrel{\rightarrow}{s}(t)=\stackrel{\rightarrow}{F}(t)$
- **Ex**: **PDE** *Maxwellsekvation, Schrödingerekvation* $$\begin{align}\text{Okänd funktion }y(x)\\\text{ODE: }F\left(x,y(x),y'(x),\dots,y^{(n)}(x)\right)=0\\\text{Ording: }n\end{align}$$
- **Ex**: *ODE av ordning 3*: $xy'''(x)+x^{1/4}y'(x)+\left(y(x)\right)^2=7x+3$
- **Linjär ODE**
	- $$\begin{align}a_n(x)y^{(x)}(x)+\dots+a_1(x)y'(x)+a_0(x)y(x)=h(x)\\a_k\text{ är funktionen av }x\end{align}$$
	- **Ex**: $$\begin{align}\sqrt{x}y''+\frac1xy'+\pi{y}=e^x\_\_(\star)\\\text{Om }y_{_1}\&y_{_2}\text{ uppfylen}\\\sqrt{x}y''+\frac1xy'+\pi{y}=0\_\_(1)\\\text{så är }\alpha{y_1}+\beta{y_2},\;\alpha,\beta\in\mathbb{R}\text{ också lösning till }(1)\end{align}$$
	- $(\star)$ är en *linjär ODE*
		- **Ex**: $yy'=x+2$: *Icke-linjär*
		- **Ex**: $\left.\begin{aligned}y'+\underline{\sqrt{y}}=x+2\\\underline{\sqrt{y'}}+y=2x+3\end{aligned}\right\}$: *Icke-linjär*
		- **Ex**: $\underline{e^y}+\underline{\sin y}+y'=0$: *Icke-linjär*
		- **Ex**: $(\sin x)y'+\sqrt{x}=\pi$: *Linjär*
	- **Ex**: $$\begin{align}5y''=x+\sin x\\\Leftrightarrow y''=\frac15(x+\sin x)\\\text{Integrera m.a.p. }x\\y'=\frac15\int(x+\sin x)dx=\frac15\left(\frac{x^2}2-\cos x\right)+C\\y=\int\left(\frac15\left(\frac{x^2}2-\cos x\right)+C_1\right)dx\\=\frac15\left(\frac{x^3}6-\sin x\right)+C_1x+C_2\\\text{där }C_1,C_2\text{ är konstanter}\end{align}$$
- $$\begin{align}\text{ODE: }g(y)y'=h(x)\\\text{Lösning: }g(y)y'=h(x)\\g(y)y'dx=h(x)dy\\\int g(x)dy=\int h(x)dx\\G(y)=H(x)+C\end{align}$$Där $G$ är primitiv till $g$ och $H$ är primitiv till $h$
- **Ex**: $$\begin{align}y^2y'=x\sqrt{y}\;\;\left.\begin{aligned}\text{Icke-kin.}\\\text{ODE av}\\\text{ordning 1}\end{aligned}\right.\\\text{för }y\not\equiv0\\y^2y'=2x\sqrt{y}\\\Leftrightarrow\frac{y^2}{\sqrt{y}}y'=2x\Leftrightarrow y^{3/2}y'=2x\\\text{Integrera m.a.p. x}\\\int y^{3/2}y'dx=\int 2xdx\\\Leftrightarrow\int y^{3/2}dy=\cancel{2}\frac{x^{1+1}}{\cancel{1+1}}+C\\\Leftrightarrow y^{5/2}=\frac52\left(x^2+C\right)\\\Rightarrow y=\left[\frac52\left(x^2+C\right)\right]^{}2/5,C\in\mathbb{R}\\\text{Om }y(x)=0\;\forall{x}\in\mathbb{R},\text{ så är }y'(x)=0\\\left.\begin{aligned}\text{VL: }y^2y'?0^2\times0=0\\\text{HL: }2x\sqrt{y}=2x\times+=0\end{aligned}\right\}\;\;y(x)=0\text{ är en lösning}\\\underline{\text{Svar}}:y(x)=\left[\frac52\left(x^2+C\right)\right]^{2/5},\;x\in\mathbb{R}\\\text{eller }y(x)=0\end{align}$$
	- **Initialvärdersproblem**
		- **Ex**: *Lös* **IVP** $$\begin{align}y^2y'=2x\sqrt{y},\;\;y(1)=1\\\underline{\text{Lösn}}:y=\left[\frac52\left(x^2+C\right)\right]^{2/5}\text{ eller }y=0\\y=0\text{ uppfyller inte vilkor }y(1)=1\\y(1)=1\\\Leftrightarrow\left[\frac52\left(1^2+C\right)\right]^{2/5}=1\\\Leftrightarrow\left[\frac52(10C)\right]^2=1^5=1\\\Leftrightarrow\frac52(1+C)=\pm1\\\Leftrightarrow1+C=\pm\frac25\Leftrightarrow\left\{\begin{aligned}-1+\frac25\\-1-\frac25\end{aligned}\right.\\\Leftrightarrow C=\frac{-3}5\text{ eller }\frac{-7}5\\\underline{\text{svar}}:y=\left[\frac52\left(x^2-\frac35\right)\right]^{2/5}\text{ eller}\\y=\left[\frac52\left(x^2-\frac75\right)\right]^{2/5}\end{align}$$
		- **Kontrol** $$\begin{align}y=\left[\frac52\left(x^2+C\right)\right]^{2/5}\\\Rightarrow y'=\frac52\times\left(\frac52\left(x^2\right)\right)^{2/5-1}\times\frac{\cancel{}}\\y^2y'=\end{align}$$
- **Separabel**
	- $y'+y=\sin x$: *Inte Separabel*.
	- $yy'=\sin x$: *Separabel*.
	- $y'+y=2$: *Separabel*.
		- **Lösn**: $$\begin{align}y'+y=2\\\Leftrightarrow y'=2-y\\\text{För }y(x)\neq2\\y'=2-y\Leftrightarrow\frac{y'}{2-y}=1\\\text{Integrera m.a.p. }x\\\int\frac1{2-y}dy=\int1dx\Leftrightarrow\ln\mid2-y\mid=x+D\\\Leftrightarrow\mid2-y\mid=e^{x-D}=Ce^x,\text{ där }C=e^D>0\\\Leftrightarrow2-y=Ce^x,C>0,y\leq2\\\text{eller }y-2=Ce^x,C>0,y\geq2\\\Leftrightarrow y=2-Ce^x,C>0\\\text{eller }y=2+Ce^x,C>0.\\\text{Om }y(x)=2\forall x\in\mathbb{R},\text{ blir }y'(x)=VL_1=y'ý=0+2=2=HL_1\\y(x)=2\forall x\in\mathbb{R}\text{ är också en lönsning}\\\underline{\text{Svar}}: y(x)=2+C_0e^x,x\in\mathbb{R}\\\text{där }C_\in\mathbb{R}\text{är en bestämning}\end{align}$$
- **ODE av ordning 2 med konstant koeffienter**
	- **ODE**: $y''+ay'+by=h(x)$
	- **Homogen ODE**: $y''+ay+by=0$
	- *Eftersom **ODE** är linjär, superpositionsprincip ger att* $\left.\begin{aligned}y_h\;\;\text{homohen lösning}\\y_p\;\;\text{Partikulär lösning}\end{aligned}\right\}\Longrightarrow y_h+y_p\;\;\text{också en lösning.}$
	- **Karakteristiska polynomet**: $p(r)=r^2+ar+b$
	- **Karakteristiska ekvationen**: $p(r)=0$
	- **Homogena lösningar**: *Fall 1: Karakteristiska polynomet har reella rötter $r_1$ och $r_2$, $r_1\neq r_2$. Alla hommogena lösningar ges av*$$C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}$$*Fall 2: Karakteristiska polynomet har reel dubbelrot $r_0$. Alla homogena lösningar ges av*$$\left(C_1x+C_2\right)e^{r_0x}$$*Fall 3: Karakteristiska polynomet har komplexa rötter $k+i\omega$.*$$\left(A\sin\omega{x}+B\cos\omega{x}\right)e^{kx}$$
	- **Ex Homohena**$$\begin{align}\text{Fall 1: }y''-3y'+2y=0\\\text{Karakteristiska polynomet}\\P(n)=n^2-3n+2\\P(n)=0\Leftrightarrow\left(n-2\right)\left(n-1\right)\\\Leftrightarrow{n}=1\text{ eller }2\\y_h=C_1e^xĆ_2e^{2x}\\\\\text{Fall 2: }y''-4y'+4y=0\\P(n)=n^2-4n-4=\left(b-2\right)^2\\P(n)=0\Leftrightarrow\left(n-2\right)^2=0\Leftrightarrow n=2\\y_h=\left(C_1c+C_0\right)e^{2x}\\\\\text{Fall 3: }y''-4y+5y=0\\P(n)=n^2+4n+5=\left(n-2\right)^2+1\\P(n)=0\Leftrightarrow\left(n-2\right)^2+1=0\\\Leftrightarrow n=2\pm i\end{align}$$
	- **Ansatser**
		- $h(x)=P(x)\Rightarrow y_p(x)=x^mA(x),\;grad(A)=grad(1).$
		  **Ex**: $h(x)=x^2\Rightarrow y_p(x)=x^m\left(a_2x^2+a_1x+a_0\right)$ $$\begin{align}y''-3y'+2y=x^2+1\\y_p=ax²+bx+c\\\Rightarrow y_p'=2ax+b\\\Rightarrow y_p''=2a\\\text{Sätt in i ODE}\\3a-3\left(2ax+b\right)+2\left(ax^2+bx+c\right)=x^2+1\\\Leftrightarrow 2ax^2+\left(2b-6a\right)x+2a-3b+2c=x^2+1\\\text{Jämför koeffieinten:}\\x^2:\;\;2a=1\Leftrightarrow a=\frac12\\x^2:\;\;2b-6a=0\Leftrightarrow b=3a=\frac32\\x^0:\;\;2a-3b+2x=1\Leftrightarrow2x=1-2a+3b=1-1+\frac92\\\Leftrightarrow c=\frac94\\\underline{\text{sum}}:\;y_p==\frac12x^2+\frac32x+\frac94\\\text{Almän lösning till ODE:}\\y=t_h+y_p=C_1e^x+C_2e^{2x}+\frac12x^2+\frac32x+\frac94\end{align}$$$$\begin{align}y''=x+1\\y_h=C_x+C_0\\y_p=x^2\left(ax+b\right)=ax^3+bx^2\\\Rightarrow y'_p=3ax^2+2bx\\\Rightarrow y''_p=6ax+2b\\\text{Sätt in }y_p\text{ i ODE: }y''_p=x+1\\\Leftrightarrow6ax+2b=x+1\\\Leftrightarrow6a=1,2b=1\Leftrightarrow a=\frac16,b=\frac12\\\underline{\text{Svar}}:\;y=\frac16x^3\frac12x^2+C_1x+C_0\end{align}$$
		- 
- **Examples**
	- $$\begin{align}y^2y'=2xy^{1/2}\\\text{Lösn: För }y(x)\neq0,\\y^2y'=2xy^{1/2}\Leftrightarrow y^{3/2}y'=2x\\\text{Integrera m.a.p. }x,\\\frac25y^{2/5}=x^2+C\Leftrightarrow C=\frac25-1=-\frac35\\\text{Lösning är}\\y\begin{aligned}=\left(\frac52\left(x^2-\frac35\right)\right)^{2/5}\\=\left(\frac52x^2-\frac32\right)^{2/5}\end{aligned}, x^2\geq\frac35\\x\leq\sqrt{-\frac35}\text{ eller }x\geq\sqrt\frac35\end{align}$$
	- $$\begin{align}e^{x^2}+y'e^{x^2}\times2xy=\left(e^{x^2}y\right)'\end{align}$$
	- $$\begin{align}y'+y=2\\\text{Linjär, ordning 1}\\\text{Integrerande faktor}\\\int1dx=x+C\\\text{Vi väljer }IF=e^x\\\text{Multiplicera ekvationen med }IF\\e^xy'+x^x=2e^x\\\Leftrightarrow e^xy'+\left(e^x\right)'y=2e^x\\\Leftrightarrow\left(e^xy\right)'?2e^x\\\text{(Product regel)}\\\text{Integrera}\\e^xy=2\int e^xdx=2e^x+C\\\Leftrightarrow y=x^{-x},x\in\mathbb{R},X\in\mathbb{R}\text{ är konstant.}\end{align}$$
	- $$\begin{align}xy'-y=x^2,x>0\\\underline{\text{Lösn}}:\text{ Linjär första ordning}\\xy'-y=x^2\Leftrightarrow y'-\frac1xy=x\\\int\left(-\frac1x\right)dx=-\ln x+C, x>0\\\end{align}$$