**OBS**: *En $m\times{n}$ matris kan tänkas bestå av $n$ stycken $m\times1$ kolumner*$$A=\begin{bmatrix}a_{11}&1_{12}&\dots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\dots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\dots&a_{mn}\end{bmatrix}\Rightarrow A=\begin{bmatrix}|&|&\dots&|\\\overrightarrow{a_1}&\overrightarrow{a_2}&\dots&\overrightarrow{a_m}\\|&|&\dots&|\end{bmatrix}$$
**EX**: $$A=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}\Rightarrow\overrightarrow{a_1}=\begin{bmatrix}1\\5\end{bmatrix},\;\overrightarrow{a_2}=\begin{bmatrix}2\\5\end{bmatrix},\;\overrightarrow{a_3}=\begin{bmatrix}3\\6\end{bmatrix}$$
**OBS (fortsätning)**: *Transponaten av en matris lyfter rader mot kolumner och kolumner mot rader*$$A^T=\begin{bmatrix}\textemdash&\overrightarrow{a_1}^T&\textemdash\\\textemdash&\overrightarrow{a_2}^T&\textemdash\\&\vdots\\\textemdash&\overrightarrow{a_m}^T&\textemdash\end{bmatrix}\;\;\begin{aligned}\text{EX: }A=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}\Rightarrow A^T=\begin{bmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{bmatrix}\\\Rightarrow \overrightarrow{a_1}^T=\begin{bmatrix}1&4\end{bmatrix},\;\overrightarrow{a_2}^T=\begin{bmatrix}2&5\end{bmatrix},\;\overrightarrow{a_3}^T=\begin{bmatrix}3&6\end{bmatrix}\end{aligned}$$
**OBS**: *Vad händer om vi har två $3\times1$ kolumnmatriser* $$\overrightarrow{a}=\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix},\overrightarrow{l}=\begin{bmatrix}7\\8\\9\end{bmatrix}$$

[Fyll i från Föreläsning 02/26]

**OBS**: *Låt $\overrightarrow{u_1},\;\overrightarrow{u_2},\;\dots,\;\overrightarrow{u_k}$ vara några vektorer i $\mathbb{R}^m$. Mängden består av alla möjliga linjära kombinatoner av dessa $k$ vektorer kallas det **linjära höjdet** av $\overrightarrow{u_1},\;\overrightarrow{u_2},\;\dots,\;\overrightarrow{u_k}$.*
**EX**: $$\begin{aligned}\text{Vad är höjdet av }\overrightarrow{u_1}=(a,2,0)\text{ och }\overrightarrow{u_2}=(-2,1,0)\text{ i }\mathbb{R}\\\\\text{En vektor }\overrightarrow{v}=(v_1,v_2,v_3)\text{ är en linjär kobminatiom av }\overrightarrow{u_1}\text{ och }\overrightarrow{u_1}\text{ om}\\\overrightarrow{v}=\lambda_1\overrightarrow{u_1}+\lambda_2\overrightarrow{u_2}\\\\(v_1,v_2,v_3)=\lambda_1\times(1,2,0)+\lambda\times(-2,1,0)\Rightarrow\\(v_1,v_2,v_3)=(\lambda_1-2\lambda_2,2\lambda_1+\lambda_2,0)\Rightarrow v_3=0\\\\\text{Om vi är givna }v_1,v_2\text{, går det att lösa ut }\lambda_1,\lambda_2?\\\\\begin{aligned}v_1=\lambda_1-2\lambda_2\\v_2=2\lambda_1+\lambda_2\end{aligned}\leftrightarrow\begin{aligned}\text{Vilken matris står}\\\text{bakom detta ekvationssystemet}\end{aligned}\\\leftrightarrow\begin{bmatrix}1&-2\\2&1\end{bmatrix}\Rightarrow\det\left(\begin{bmatrix}1&-2\\2&1\end{bmatrix}\right)=5\neq0\\\leftrightarrow\text{Den här matrisern har en invers}\\\Rightarrow\text{Det fins ingen begränsning för }v_1\text{ och }v_2\\\\\text{Slutsats: Vilka vektorer $\overrightarrow{v}$ kan skrivas som en linjär kombination av $\overrightarrow{u_1}$ och $\overrightarrow{u_2}$?}\\\text{Alla vektorer $\overrightarrow{v}$ med $v_3=0$. (Det linjära höjden av $\overrightarrow{u_1}$ och $\overrightarrow{u_2}$ består av alla}\\\text{ vektorer}\overrightarrow{v}\text{ med $v_3=0$)}\end{aligned}$$
**EX**: $$\begin{aligned}\overrightarrow{v}=(4,5,6)\Rightarrow\text{ Går INTE att skriva som }\lambda_1\overrightarrow{u_1}+\lambda\overrightarrow{u_2}\\\overrightarrow{v}=(4,5,0)\Rightarrow\text{ Går att skriva som }\lambda_1\overrightarrow{u_1}+\lambda\overrightarrow{u_2}\end{aligned}$$
**DEF**: *Låt $A$ vara en $m\times{n}$ matris. Det linjära höjdet av matriserns kolumnmatrisen kallas för kolunrummet. Antalet linjär oberoende kolumnmatriser kallas för matrisens rang ($\operatorname{rang}(A)$) och är lika med antaliet pivåvariabler i gauss schemat $\begin{pmatrix}A&|&\overrightarrow{o}\end{pmatrix}$*
**DEF**: *Det linjära höjdet av lösningarna av ekvationssystemet $A\overrightarrow{x}=\overrightarrow{0}$ kallas för matrisens kärna (kärnrum). Antalet linjära oberoende vektorer ibland lösningar till $A\overrightarrow{x}=\overrightarrow{0}$ kallas för matrisens nolldimension $\operatorname{noll}(A)$m och är lika med antalet fira variablar i gauss schema $\begin{pmatrix}A&|&\overrightarrow{o}\end{pmatrix}$*
**EX**: $$\begin{aligned}\text{Betrakta }A=\begin{bmatrix}1&-1&1\\1&-1&-3\\2&-2&-2\end{bmatrix}.\text{Kolumnrum? Kärna? Rang? Nolldimension?}\\\begin{pmatrix}1&-1&1&|&0\\1&-1&-3&|&0\\2&-2&-2&|&0\end{pmatrix}\begin{aligned}R_2-R_1\rightarrow{R_2}\\R_3-2R_1\rightarrow{R_3}\\\xrightarrow{}\end{aligned}\begin{pmatrix}1&-1&1&|&0\\0&0&-4&|&0\\0&0&-4&|&0\end{pmatrix}\begin{aligned}R_3-R_2\rightarrow{R_3}\\\xrightarrow{}\end{aligned}\\\begin{pmatrix}1&-1&1&|&0\\0&0&-4&|&0\\0&0&0&|&0\end{pmatrix}\begin{aligned}-\frac14R_2\rightarrow{R_2}\\\xrightarrow{}\end{aligned}\begin{pmatrix}1&-1&1&|&0\\0&0&1&|&0\\0&0&0&|&0\end{pmatrix}\\\Rightarrow\begin{aligned}2\text{ pivåvariablar }\Rightarrow\operatorname{rang}(A)=2\\1\text{ fri variabel }\Rightarrow\operatorname{noll}(A)=1\end{aligned}\\\text{kolumnrummet är det höjdet av }\begin{bmatrix}1\\1\\2\end{bmatrix}\text{ och }\begin{bmatrix}1\\-1\\-2\end{bmatrix}\\\text{För att bestäma kärnan behöver vi lösa ekvationen i systemet }A\overrightarrow{x}=\overrightarrow{0}\\\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}\text{ Löser ekvationstsystemet om: }\begin{aligned}1\times z=0\\z=0\end{aligned}\;|\;\begin{aligned}y=t\\\text{Fri variable}\end{aligned}\;|\;\begin{aligned}x-y+z=0\\x=t\end{aligned}\;=\\\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}t\\t\\0\end{bmatrix}=t\times\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix}\Rightarrow\text{matrisens kärna är det linjära höjden av }\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix}\end{aligned}$$
**SATS**: *(DIMENSIONSSATS). Låt $A$ vara en $m\times{n}$ matris. Då gäller det att $\operatorname{rang}(A)+\operatorname{noll}(A)=m$.*
**BEVIS**:
- *$\operatorname{rang}(A)$ ... antalet pivåvariabler i $\begin{pmatrix}A&|&\overrightarrow{o}\end{pmatrix}$*
- *$\operatorname{noll}(A)$ ... antalet fria variabler i $\begin{pmatrix}A&|&\overrightarrow{o}\end{pmatrix}$*
*Nör vi uppnår trappformen i gauss shcemat, då har varje kolomn antingen en ledande etta (pivåvariabel) eller inte (fri variabel). Det fins ingen tredhe möjlighet. Men då: *$$\operatorname{rang}(A)+\operatorname{noll}(A)=m$$
**OBS**:
- *Om vi har ett exakt bestämnd ekvations system, då har ekvationssystemet $A\overrightarrow{x}=\overrightarrow{h}$ en entydig lösning prisis när $\operatorname{rang}(A)=m$ och $\operatorname{noll}(A)=0$. (Exakt bestämnd $\Leftrightarrow{A}$ är $m\times{n}$)*
- *Om vi har ett över-bestämnd system (dvs. $A$ är $m\times{n}$ med $m>n$) då har vi en entydlig-lönsing om $\operatorname{ranf}(A)=m$ och $\operatorname{noll}(A)=m-n$*
- *Om vi har ett under-bestämt system (dvs. $A$ är en $m\times{n}$ matris med $m<n$, Då har vi aldrig en entydlig-lösning ty att $\operatorname{rang}(A)<n$*
**OBS**: *För exakt-bestämnda system har vi determinanten också.*$$\begin{aligned}
\begin{aligned}
\text{Ekvationsystemet}\\
A\overrightarrow{x}=\overrightarrow{l}\text{ har en}\\
\text{entydlig lösning}
\end{aligned}&\Leftrightarrow&\operatorname{rang}(A)=m&\Leftrightarrow&\begin{aligned}
\text{alla variabler}\\
\text{är}\\
\text{privåvariablar}
\end{aligned}&\Leftrightarrow&\begin{aligned}
\text{matrisens kolomner}\\
\text{är linjärt oberoende}
\end{aligned}\\
\Updownarrow\\
\overrightarrow{x}=A^{-1}\overrightarrow{l}&\Leftrightarrow&\begin{aligned}
\text{matreisen }A\\
\text{har en invers}
\end{aligned}\\
\Leftrightarrow\det(A)\neq0
\end{aligned}$$

**Kom Ihåg**: $$\begin{aligned}\text{Kolumnmatris}&&\text{Vektor}&&\text{Punkt}\\\begin{bmatrix}n_1\\n_2\\n_3\end{bmatrix}&\longleftrightarrow&\begin{pmatrix}n_1&n_2&n_3\end{pmatrix}&\longleftrightarrow&V=\begin{pmatrix}v_1&v_2&v_3\end{pmatrix}\end{aligned}$$
**OBS**: $$\begin{aligned}\text{Betrakta matriserna}\\I=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix},\;A=\begin{bmatrix}\frac23&-\frac23&\frac13\\-\frac23&-\frac13&\frac23\\\frac13&\frac23&\frac23\end{bmatrix}\\\text{Alla kolumner har längd ett (Som vektor)}\\\\\left(\left.\begin{aligned}\left(\frac23,\;-\frac23,\;\frac13\right)\\\left(-\frac23,\;-\frac13,\;\frac23\right)\end{aligned}\right\}\text{ Är de ortogonala? JA}\right)\end{aligned}$$
**DEF**: *En $m\times{n}$ matris kallas ortagonal om varja kolumn har längd $1$(som vektor) och olika kolumner är ortekonala(som vektoter)*
**SATS**: *Om $A$ är en ortagonal matris, då gäller det att $A{-1}=A^T$*
**BEVIS**: 
*Endast fallet $2\times2$. Betrakta*$$A=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}$$*$A$ är ortogonal medger:*
-  *kolumn $1$ har längd $1\Rightarrow{a}^2_{11}+a^2_{21} = 1$*
- *kolumn $2$ har längd $1\Rightarrow{a}^2_{12}+a^2_{22} = 1$*
- kolumn $1$ och kolumn $2$ är ortogonala $a_{11}\times{a}_{12}+a_{21}\times{a}_{22}=0$
*Om det ska gälla att $A^{-1}=A^T$, då måste $A^TA=AA^T=T$*
**Men**: $$\begin{aligned}A^TA=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}^T\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{21}\\a_{12}&a_{22}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}a_{11}^2+a_{21}^2&a_{11}a_{12}+a_{21}a_{22}\\a_{12}a_{11}+a_{22}a_{21}&a_{12}^2+a_{22}^2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}=I\end{aligned}$$
**DEF**: *$m$ stycken vektorer $\overrightarrow{u_1},\;\overrightarrow{u_2},\;\dots,\;\overrightarrow{u_m}$ i korninatsystemet $\mathbb{R}^m$ utgör en bas om vekrje vektor $\overrightarrow{w}\in\mathbb{R}^m$ kan skrivas på ett entydligt sätt som en linjär kombination av $\overrightarrow{u_1},\;\dots,\;\overrightarrow{u_m}$. En bas kallas vidare för ortogonal om vektorerna $\overrightarrow{u_1},\;\dots,\;\overrightarrow{u_m}$ har alla längd $1$ och är ortognala mot varandra.*
**OBS**: $$\lambda_1\overrightarrow{u_1}+\dots\lambda_m\overrightarrow{u_m}=\overrightarrow{w}\longleftrightarrow\begin{pmatrix}\begin{aligned}1\\\overrightarrow{u_1}\\1\end{aligned}&\begin{aligned}1\\\overrightarrow{u_2}\\1\end{aligned}&\dots&\begin{aligned}1\\\overrightarrow{u_m}\\1\end{aligned}&|&\begin{aligned}|\\\overrightarrow{w_1}\\|\end{aligned}\end{pmatrix}$$
**DEF**: *Kolumnerna i enhetsmatrisen $I$ utgör standerndbasen för $\mathbb{R}^m$.*
**EX**: *I $\mathbb{R}^3$ är standerndbasen lika med* $$\overrightarrow{l_1}=\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}=\begin{pmatrix}1,&0,&0\end{pmatrix},\;\overrightarrow{l_2}=\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}=\begin{pmatrix}0,&1,&0\end{pmatrix},\;\overrightarrow{l_3}=\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}=\begin{pmatrix}0,&0,&1\end{pmatrix}$$
**OBS**: $$I\times\begin{bmatrix}\zeta_1\\\zeta_2\\\zeta_3\end{bmatrix}=A\times{\begin{bmatrix}\alpha_1\\\alpha_2\\\alpha_3\end{bmatrix}}\Longleftarrow\text{Koordinatbyte/Basbyte}$$
**OBS**: 
- *Om vi har ortiginal bas (från en ortogonal matris), då är $A^{1}=A^T$*
- *Anars beräknar vi inversom som vi har läst oss*
**EX**: $$\begin{aligned}
\text{Låt }\overrightarrow{w}=(4,\;5,\;6)\text{ i standerdbasen. Vad är koodinaterna för $\overrightarrow{w}$}\\\text{ i basen som utgörs av kolumnarna av magtrisen}\\
A=\begin{bmatrix}
\frac23&-\frac23&\frac13\\
-\frac23&-\frac13&\frac23\\
\frac13&\frac23&\frac23
\end{bmatrix}\Rightarrow{I}\times\begin{bmatrix}
4\\5\\6
\end{bmatrix}=A\times\begin{bmatrix}
\alpha_1\\\alpha_2\\\alpha_3
\end{bmatrix}\Rightarrow{A^{-1}}\times{I}\times\begin{bmatrix}
4\\5\\6
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
\alpha_1\\\alpha_2\\\alpha_3
\end{bmatrix}\\\underset{\substack{A\text{ ortogonal,}\\\text{så }A^{-1}=A^T}}{\Rightarrow}A^T\times\begin{bmatrix}
4\\5\\6
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
\alpha_1\\\alpha_2\\\alpha_3
\end{bmatrix}\underset{\substack{A\text{ symetrisk,}\\\text{så }A^T=A}}{\Rightarrow}A\times\begin{bmatrix}
4\\5\\6
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
\alpha_1\\\alpha_2\\\alpha_3
\end{bmatrix}\\\Rightarrow\begin{bmatrix}
\frac23&-\frac23&\frac13\\
-\frac23&-\frac13&\frac23\\
\frac13&\frac23&\frac23
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
4\\5\\6
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
\alpha_1\\\alpha_2\\\alpha_3
\end{bmatrix}\\\Rightarrow\underbracket{(4,\;5,\;6)}_{\overrightarrow{w}}=\underbracket{\frac43}_{\alpha_1}\times\underbracket{\left(\frac23,\;-\frac23,\;\frac13\right)}_{\overrightarrow{a_1}}+\underbracket{-\frac13}_{\alpha_2}\times\underbracket{\left(-\frac23,\;-\frac13,\;\frac23\right)}_{\overrightarrow{a_2}}\\+\underbracket{\frac{26}3}_{\alpha_3}\times\underbracket{\left(\frac13,\;\frac23,\;\frac23\right)}_{\overrightarrow{a_3}}\\
\left(\left(\underbracket{(4,\;5,\;6)}_\overrightarrow{w}=\underbracket{4}_{\zeta_1}\times\underbracket{(1,\;0,\;0)}_\overrightarrow{e_1}\right)\right)
\end{aligned}$$