vault backup: 2026-02-20 14:05:20

Determinanter (Kap. 6).md

@@ -21,3 +21,57 @@ $$\begin{aligned}\det(A)&=a_{11}a_{22}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32}&-a_{12}a_{21}a_{
 **DEF**: *Låt $A$ vara en $m\times n$ matris. Imdermatrosem $A_{ij}$ är den $(m\times1)\times(n\times1)$ matrisen som fås genom att ta bort rad $i$ och kolumn $j$ från matrisen $A$.*
 **EX**: $$\begin{aligned}A=\begin{bmatrix}1&2&3&4\\5&6&7&8\\9&10&11&12\end{bmatrix}\Rightarrow\begin{aligned}A_{11}=\begin{bmatrix}6&7&8\\10&11&12\end{bmatrix}\\A_{23}=\begin{bmatrix}1&2&4\\9&10&12\end{bmatrix}\end{aligned}\end{aligned}$$
 **SATS**: *(RADUTVÄKLING): låt $A$ vara en $m\times{n}$ matris. För varje utvald index $i$ (mellan $1$ och $m$) gäller det att* $$\det(A)=\sum^{m}_{j=n}(-1)^{i+j}a_{ij}\det{A_{ij}}$$
+**Användiongs fall**
+*Vi vet att* $$\det(A)=\sum^{m}_{j=n}(-1)^{i+j}a_{ij}\det(A_ij)\left(\text{Radutväkling med avsende på rad $i$}\right)$$
+**SATS**: *Låt $A$ vara en $m±times{n}$ diaonal matris. Då gäller det att* $$\begin{aligned}\det(A)=\prod^{m}_{i=1}a_{ii}\\A=\begin{bmatrix}a_{11}&0&0&0\\0&a_{22}&0&0\\0&0&a_{33}&0\\0&0&0&a_{44}\end{bmatrix}\end{aligned}$$
+- **BEVIS**: $$\begin{aligned}\text{(tänk på 4x4 exemplet) Om vi radutvklar med avsende på rad $1$ ges:}\\\det(A)=\sum^{4}_{j=1}(-1)^{1+j}\underset{\text{Den enda termen som inte är $0$ är $a_{11}$}}{a_{1j}}\det(A_{1j})=a_{11}\times\det(A_{11})=\\a_{11}\times\det\left(\begin{bmatrix}a_{22}&0&0\\0&a_{33}&0\\0&0&a_{44}\end{bmatrix}\right)\Rightarrow\\\text{$m$ raduväklar igen, med avsende på rad $1$ i den nya mindre matrisen:}\\=a_{11}\times{a_{22}}\times\det\left(\begin{bmatrix}a_{33}&0\\0&a_44\end{bmatrix}\right)=a_{11}\times{a_{22}}\times{a_{33}}\times\det(\begin{bmatrix}a_{44}\end{bmatrix})\end{aligned}$$
+	- **OBS**: *Samma resultat gäller för både över- ohc under-triangul'ra matriser:* $$
+\begin{aligned}
+\det\left(\begin{bmatrix}
+a_{11}&0&0&0\\
+a_{21}&a_{22}&0&0\\
+a_{31}&a_{32}&a_{33}&0\\
+a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}\\
+\end{bmatrix}\right)=a_{11}\times{a_{22}}\times{a_{33}}\times{a_{44}}\\
+\det\left(\begin{bmatrix}
+a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\
+0&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\
+0&0&a_{33}&a_{34}\\
+0&0&0&a_{44}\\
+\end{bmatrix}\right)=a_{11}\times{a_{22}}\times{a_{33}}\times{a_{44}}
+\end{aligned}
+$$
+**SATS**: *Låt $A$ vara en $m\times{n}$ matris, och $\alpha\in\mathbb{R}$. Då gäller det att* $$\det(\alpha{A})=\underbracket{\alpha}\det(A)$$
+- **BEVIS**: $$\begin{aligned}
+\text{Kolla först $2\times2$ matriser: } A=\begin{bmatrix}
+a_{11}&a_{12}\\
+a_{21}&a_{22}
+\end{bmatrix}\Rightarrow\alpha{A}=\begin{bmatrix}
+\alpha a_{11}&\alpha a_{12}\\
+\alpha a_{21}&\alpha a_{22}
+\end{bmatrix}\\
+\text{Då gäller det att: }\det\left(\begin{bmatrix}
+\alpha a_{11}&\alpha a_{12}\\
+\alpha a_{21}&\alpha a_{22}
+\end{bmatrix}\right)=(\alpha{a_{11}})\times(\alpha{a_{22}})-(\alpha{a_{12}})\times(\alpha{a_{21}})=\\
+a^2(a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21})=a^2\det(A)\\
+\text{För störe matriser följer resultater ur radutväklingsformel}
+\end{aligned}$$
+**SATS** $$\begin{aligned}\text{Låt $A,B$ vara två $m\times{n}$ matriser. Då gäller det att}\\\det(AB)=\det(A)\times\det(B)\end{aligned}$$
+- **BEVIS** $$\begin{aligned}
+\text{Endast $2\times2$ matriser: }\\
+A=\begin{bmatrix}
+a_{11}&a_{12}\\
+a_{21}&a_{22}
+\end{bmatrix},\;B=\begin{bmatrix}
+b_{11}&b_{12}\\
+b_{21}&b_{22}
+\end{bmatrix},\;AB=\begin{bmatrix}
+a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}&a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}\\
+a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21}&a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22}\\
+\end{bmatrix}\\
+\Rightarrow\det(AB)=(a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21})\times(a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22})\\-(a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21})\times(a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22})\\
+=(\cancel{a_{11}b_{11}a_{21}b_{12}}+a_{11}b_{11}a_{22}b_{22}+a_{11}b_{11}a_{22}b_{22}+\cancel{a_{12}b_{21}a_{22}b_{22}})\\-(\cancel{a_{11}b_{11}a_{21}b_{12}}+a_{11}b_{12}a_{22}b_{22}+a_{12}b_{22}a_{21}b_{11}+\cancel{a_{12}b_{21}a_{22}b_{22}})\\
+=a_{11}b_{11}a_{22}b_{22}+a_{11}b_{11}a_{22}b_{22}-a_{11}b_{12}a_{22}b_{22}-a_{12}b_{22}a_{21}b_{11}\\
+=a_{11}a_{22}(b_{11}b_{22}-b_{12}b_{21})-a_{12}a_{21}(b_{11}b_{22}-b_{12}b_{21})
+\end{aligned}$$