From 289f7fa4036b4c9f9e7b6e109507545f62385ccc Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: zacharias <zacharias@localhost>
Date: Wed, 29 Oct 2025 17:01:23 +0100
Subject: [PATCH] vault backup: 2025-10-29 17:01:23

---
 .obsidian/workspace.json | 21 ++++++++++++++++++---
 Funktioner Forts.md      | 15 +++++++++++++++
 Grafer.md                | 18 ++++++++++++++++--
 3 files changed, 49 insertions(+), 5 deletions(-)
 create mode 100644 Funktioner Forts.md

diff --git a/.obsidian/workspace.json b/.obsidian/workspace.json
index 4fe68ac..f66b0d3 100644
--- a/.obsidian/workspace.json
+++ b/.obsidian/workspace.json
@@ -34,9 +34,23 @@
               "icon": "lucide-file",
               "title": "Grafer"
             }
+          },
+          {
+            "id": "d6a3070519ac0599",
+            "type": "leaf",
+            "state": {
+              "type": "markdown",
+              "state": {
+                "file": "Funktioner Forts.md",
+                "mode": "source",
+                "source": false
+              },
+              "icon": "lucide-file",
+              "title": "Funktioner Forts"
+            }
           }
         ],
-        "currentTab": 1
+        "currentTab": 2
       }
     ],
     "direction": "vertical"
@@ -196,10 +210,11 @@
       "obsidian-git:Open Git source control": false
     }
   },
-  "active": "66704e0159322e3f",
+  "active": "d6a3070519ac0599",
   "lastOpenFiles": [
-    "Funktioner.md",
     "Grafer.md",
+    "Funktioner Forts.md",
+    "Funktioner.md",
     "Untitled.canvas"
   ]
 }
\ No newline at end of file
diff --git a/Funktioner Forts.md b/Funktioner Forts.md
new file mode 100644
index 0000000..aa29787
--- /dev/null
+++ b/Funktioner Forts.md	
@@ -0,0 +1,15 @@
+- Begränsade funktioner
+	- Uppåt begränsad: $f(x)\leq{M}$, $\forall{x}\in{D_r}$
+		- Ex: $f(x)=-x^2-2x$
+	- Nedåt begränsad: $f(x)\geq{M}$, $\forall{x}\in{D_f}$
+		- Ex: $f(x)=x^2+2x+2$
+- Monoton funktion
+	- Växande: $x_1<x_2\Rightarrow{f(x_1)}\leq{f(x_2)}$
+	- Strängt växande: $x_1<x_2\Rightarrow{f(x_1)}<f(x_2)$
+	- Avtagande: $x_1<x_2\Rightarrow{f(x_1)}\geq{f(x_2)}$
+	- Avtagande: $x_1<x_2\Rightarrow{f(x_1)}>f(x_2)$
+- Jämna, Udda funktioner
+	- Jämna: $f(-x)=f(x)$
+		- Ex: $|x|,\;x^2,\;\cos{x}$
+	- Udda: $f(-x)=-f(x)$
+		- Ex: $x,\;x^3,\;\sin{x}$ 
\ No newline at end of file
diff --git a/Grafer.md b/Grafer.md
index def61d0..f22c0c7 100644
--- a/Grafer.md
+++ b/Grafer.md
@@ -19,10 +19,24 @@
 	- Ex: Lös ekvationen $|x-3|=2$$$\begin{align*}|x-3|\Leftrightarrow\sqrt{(x-3)^2}=2\\\Leftrightarrow{}(x-3)^2=2^2\text{(kvadrering)}\\\Leftrightarrow{}(x-3)^2-2^2=0\Leftrightarrow(x-3+2)(x-3-2)=0\\\Leftrightarrow{}x_1=1,\;x_2=5\end{align*}$$
 	- Ex: Lös olikheten $|x-3|<2$$$\begin{align*}|x-3|=\left\{\begin{aligned}x-3,\;x-3\geq0\\3-x,\;x-3<0\end{aligned}\right.\\\text{Fall 1: }x-3\geq0\Leftrightarrow{x}\geq3\\|x-3|<2\Leftrightarrow{x}-3<2\\\Leftrightarrow{x}<2+4=5\\3\leq{x}<5\\\text{Fall 2: }x-3<0\Leftrightarrow{x}<3\\|x-3|<2\Leftrightarrow3-x<2\\\Leftrightarrow{x}>3-2=1\\1<x<3\\\\\text{Lösningmängd till }|x-3|<2\\(1,3)\cup{[3,5)}=(1,5)\end{align*}$$
 - Polynom
-	- **Def**: *En funtion i formen$$p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0=\sum^{n}_{k=0}{a_kx^k}$$är ett polynom. $a_k$ för $k=0,1,\dots,n$ är koefficienter. Om $a_n$ har polynomet grad $n$. Skrivs $grad(p)=n$*
+	- **Def**: *En funtion i formen  $$p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0=\sum^{n}_{k=0}{a_kx^k}$$är ett polynom. $a_k$ för $k=0,1,\dots,n$ är koefficienter. Om $a_n$ har polynomet grad $n$. Skrivs $grad(p)=n$*
 	- Nollställe/Rötter: Lösningar till $p(x)=0$
 	- Polynom av grad 0: $p(x)=c$, konstant function. Graf är parallel till x-axel.
 	- Polynom av grad 1 $p(x)=ax+b$, linjär function. Graf är en icke vertikal linje.
 - Andragradspolynom
 	- $p(x)=ax^2+bx+c,\;a\neq0$
-	- Faktorisering med kvadratkomplettering:$$\begin{align*}ax^2+bx+c=a\left(x^2+\frac{b}{a}x\frac{c}{a}\right)\\=a\left(x^2+2\times{x}\times\frac{b}{2a}+\frac{b^2}{4a^2}-\frac{b^2}{3a^2}+\frac{c}{a}\right)\\=a\left(\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2-4ac}{4a^2}\right)\\=a\left(x+\frac{b}{2a}+\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}\right)\left(x+\frac{b}{2a}-\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}\right)\\=a\left(x+\frac{b+\sqrt{D}}{2a}\right)\left(x+\frac{b-\sqrt{D}}{2a}\right)\end{align*}$$Discriminant: $D=b²-4ac$
\ No newline at end of file
+	- Faktorisering med kvadratkomplettering: $$\begin{align*}ax^2+bx+c=a\left(x^2+\frac{b}{a}\times\frac{c}{a}\right)\\=a\left(x^2+2\times{x}\times\frac{b}{2a}+\frac{b^2}{4a^2}-\frac{b^2}{3a^2}+\frac{c}{a}\right)\\=a\left(\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2-4ac}{4a^2}\right)\\=a\left(x+\frac{b}{2a}+\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}\right)\left(x+\frac{b}{2a}-\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}\right)\\=a\left(x+\frac{b+\sqrt{D}}{2a}\right)\left(x+\frac{b-\sqrt{D}}{2a}\right)\end{align*}$$Discriminant: $D=b²-4ac$
+	- Lösningar: $p(x)=ax^2+bx+c=0$ med $a\neq0$ har:
+		- Inga reella lösnngar om $D<0$. (Komplexa lösningar)
+		- En lösning (doubleroot) om $D=0$: $$x=-\frac{b}{2a}$$
+		- Två olika lösningar om $D>0$: $$x=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}$$
+		- Remark: Om $grad(p)=n,p(x)=0$ har max $n$ olika lösningar
+	- Ex Lös $x^2+2x-1=0$ $$\begin{align*}p(x)=x^2+2x-1=0\\=\end{align*}$$
+	- Ex: $$\begin{align*}p(x)=2x²+4x+4\\D=4^2-4\times2\times4<0\\p(x)=2x^2+4x+4\\=2(x^2+2x+2)\\=2(x^2+2x+1-1+2)\\=2\left((x+1)^2+1\right)\end{align*}$$
+	- Ex: $$\begin{align}p(x)=2x^2+2x+18\\D=12^2-4\times2\times18=0\\\text{en dubbel rot}\\p(x)=2x^2+12x+18\\=2(x^2+6x+18)\\=2(x+3)^2\end{align}$$
+	- Dubleroot vissar att det är två gånger samma factor i factorisering
+- Polynomdivision
+	- Rationell funktion: $f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}$ där $p(x)$, $q(x)$ är polynom.
+	- **Def**: *$p(x)$ och $q(x)$ är polynom $\Rightarrow$ det fins polynom $k(x)$ (kvot) och $r(x)$ (rest) så att $$\begin{align}p(x)=q(x)k(x)+r(x)\\\frac{p(x)}{q(x)}=k(x)+\frac{r(x)}{q(x)}\end{align}$$, och $grad(r)<grad(q)$ om $grad(q)>0$*
+	- Remark: Om $r(x)=0$ för varje $x$ (nollpolynomet), divisionen får jämt ut. Vi har faktorisering $p(x)=q(x)k(x)$
+- 
\ No newline at end of file