diff --git a/.obsidian/plugins/obsidian-completr/scanned_words.txt b/.obsidian/plugins/obsidian-completr/scanned_words.txt index 10f8c60..27192e6 100644 --- a/.obsidian/plugins/obsidian-completr/scanned_words.txt +++ b/.obsidian/plugins/obsidian-completr/scanned_words.txt @@ -17,6 +17,7 @@ Db DR Dominains Double +Diagonal Ett En Ex @@ -36,6 +37,8 @@ Ef EcO EdNL Ez +Exemple +Element linjärt ller linjär @@ -65,6 +68,7 @@ lL lhgh length leads +längden ekvationssystem en ekvationer @@ -126,6 +130,8 @@ mk mZ measuring measured +mellan +matrisen reella rella rektagulär @@ -163,6 +169,9 @@ radians ration ranges relations +rätviklig +rektangle +räkneregler koefficienter konstant koeffienter @@ -185,6 +194,8 @@ kk kB kmc ktp +koordinattpunkter +kvadratisk är än ändpunkten @@ -230,6 +241,10 @@ sa sB subtended strictly +stämmer +skalärer +symmetrisk +symetriska av alla allmänt @@ -263,6 +278,7 @@ angled above also are +använda där det den @@ -295,6 +311,8 @@ dpsj dB defined decreasing +diagonala +diagonal Varje Variablar Variabeln @@ -308,6 +326,7 @@ VT Visa VN VF +Vilka innerh inte int @@ -347,6 +366,8 @@ volum vektorere vJ ve +vars +vinkeln och om ordning @@ -400,6 +421,7 @@ graf global gG general +genom för förekommer första @@ -429,6 +451,7 @@ functions formula function fuction +funkar term tal till @@ -457,6 +480,9 @@ the triangle trigonometric tanges +tas +transponat +triangulär ut utgöt under @@ -497,6 +523,7 @@ Sum Solving Solve Similarly +Som börjar bestämmer befiner @@ -515,6 +542,7 @@ bw bv bj by +best Ur Under Uk @@ -586,6 +614,7 @@ My Mu MH MHU +Mängden Lika Lösning Lokal @@ -624,6 +653,8 @@ TIjj That The Then +Transponering +Transponanten Falsk För Funktionen @@ -646,6 +677,7 @@ Kl KKK Koraste KZ +Koordinatrummet Primärfunktioner Produkt Paramaterformen @@ -659,6 +691,7 @@ PI Pythagoras Periodicity Properties +Prof Integraler Inte Implicit @@ -680,6 +713,7 @@ Betäkning Bmm BD öppet +över cos cancel ccc @@ -756,4 +790,5 @@ whereas Cd Complementary zf -ze \ No newline at end of file +ze +Är \ No newline at end of file diff --git a/.obsidian/workspace.json b/.obsidian/workspace.json index ab1f446..067ec97 100644 --- a/.obsidian/workspace.json +++ b/.obsidian/workspace.json @@ -4,67 +4,24 @@ "type": "split", "children": [ { - "id": "9b8c02200aa5b353", + "id": "eec1dd4145fc2eac", "type": "tabs", "children": [ { - "id": "9ec7a3d1ef5d43cc", + "id": "334286c6c273f693", "type": "leaf", "state": { "type": "markdown", "state": { - "file": "Vektorer.md", + "file": "Matriser.md", "mode": "source", "source": false }, "icon": "lucide-file", - "title": "Vektorer" - } - }, - { - "id": "c4448a6f2bd4eb31", - "type": "leaf", - "state": { - "type": "markdown", - "state": { - "file": "Linjer.md", - "mode": "source", - "source": false - }, - "icon": "lucide-file", - "title": "Linjer" - } - }, - { - "id": "ca10233d6e0048f7", - "type": "leaf", - "state": { - "type": "markdown", - "state": { - "file": "Ekvations System.md", - "mode": "source", - "source": false - }, - "icon": "lucide-file", - "title": "Ekvations System" - } - }, - { - "id": "cf5e20d35ba10881", - "type": "leaf", - "state": { - "type": "split-diff-view", - "state": { - "aFile": ".obsidian/plugins/obsidian-completr/scanned_words.txt", - "bFile": ".obsidian/plugins/obsidian-completr/scanned_words.txt", - "aRef": "" - }, - "icon": "diff", - "title": "Diff: scanned_words.txt" + "title": "Matriser" } } - ], - "currentTab": 3 + ] } ], "direction": "vertical" @@ -137,7 +94,7 @@ "state": { "type": "backlink", "state": { - "file": "Funktioner Forts.md", + "file": "Matriser.md", "collapseAll": false, "extraContext": false, "sortOrder": "alphabetical", @@ -147,7 +104,7 @@ "unlinkedCollapsed": true }, "icon": "links-coming-in", - "title": "Backlinks for Funktioner Forts" + "title": "Backlinks for Matriser" } }, { @@ -185,17 +142,17 @@ "state": { "type": "outline", "state": { - "file": "Funktioner Forts.md", + "file": "Matriser.md", "followCursor": false, "showSearch": false, "searchQuery": "" }, "icon": "lucide-list", - "title": "Outline of Funktioner Forts" + "title": "Outline of Matriser" } }, { - "id": "e616c86f78b96cf1", + "id": "2b769c95fc1b44fd", "type": "leaf", "state": { "type": "git-view", @@ -223,20 +180,20 @@ "obsidian-git:Open Git source control": false } }, - "active": "cf5e20d35ba10881", + "active": "334286c6c273f693", "lastOpenFiles": [ + "Vektorer.md", + "Linjer.md", + "Ekvations System.md", "Matriser.md", "Maclaurin.md", "Trigonometri.md", "TE1.png", "Tenta Example.md", "Pasted image 20251119134315.png", - "Linjer.md", "Derivata.md", "Differential.md", "Definitioner.md", - "Ekvations System.md", - "Vektorer.md", "Primära Funktioner.md", "ODE.md", "Komplexa tal.md", diff --git a/Matriser.md b/Matriser.md index 3e3f607..e39a54f 100644 --- a/Matriser.md +++ b/Matriser.md @@ -34,4 +34,49 @@ - *Transponanten av en diagonal matris är en diagonal matris, samt alla diagonala matriser är symetriska* - *Transponanten av en över-triangulär matris är en under-triangulär matris* - *Transponanten av en under-triangulär matris är en över-triangulär matris* - - **EX**: $$\begin{aligned}A=\begin{bmatrix}1&\overline{0}&\overline{0}\\\underline{0}&5&\overline{0}\\\underline{0}&\underline{0}&9\end{bmatrix},\;\;B=\begin{bmatrix}1&\overline{0}&\overline{0}\\\underline{2}&5&\overline{0}\\\underline{3}&\underline{6}&9\end{bmatrix},\;\;C=\begin{bmatrix}1&\overline{4}&\overline{7}\\\underline{0}&5&\overline{8}\\\underline{0}&\underline{0}&9\end{bmatrix}\end{aligned}$$ \ No newline at end of file + - **EX**: $$\begin{aligned}A=\begin{bmatrix}1&\overline{0}&\overline{0}\\\underline{0}&5&\overline{0}\\\underline{0}&\underline{0}&9\end{bmatrix},\;\;B=\begin{bmatrix}1&\overline{0}&\overline{0}\\\underline{2}&5&\overline{0}\\\underline{3}&\underline{6}&9\end{bmatrix},\;\;C=\begin{bmatrix}1&\overline{4}&\overline{7}\\\underline{0}&5&\overline{8}\\\underline{0}&\underline{0}&9\end{bmatrix}\end{aligned}$$ + - **DEF**: *Den diagonala matrisen vars alla diagonala element är $1$ kallas för identitetsmatrisen och betänkas $I$.* + - **EX**: $$ +\begin{aligned} +I=\begin{bmatrix} +1&0\\0&1 +\end{bmatrix}\\ +\shortparallel\;\;\;\;\;\\ +I_2\;\;\;\: +\end{aligned},\;\; +\begin{aligned} +I=\begin{bmatrix} +1&0&0\\ +0&1&0\\ +0&0&1 +\end{bmatrix}\\ +\shortparallel\;\;\;\;\;\;\;\;\\ +I_2\;\;\;\;\;\;\: +\end{aligned}$$ + - **OBS**: *Om $X$ är en $m\times{n}$ matris och $I$ identitersmatrisen av samma dimension, då gäller:* $$\begin{aligned}IX=XI=X&&\left(\underbracket{1}\times{x}=x\times\underbracket{1}=x\right)\end{aligned}$$ + - **DEF**: *låt $A$ vara en $m\times{n}$ matris. Denna matrisen invers matris $A^{-1}$ är den matrisen som uppfyller $AA^{-1}=A^{-1}A=I$ (om en sådan matris $A^{-1}$ fins)* + - **EX**: $$\begin{aligned}\text{Har matrisen }A=\begin{bmatrix}0&2\\0&0\end{bmatrix}\text{ en invers?}\\\text{Om den har en invers }A^{-1}=\begin{bmatrix}x&y\\z&w\end{bmatrix},\text{ då ska }\\AA^{-1}=A^{-1}A=I\\\text{Vad är }AA^{-1}\begin{bmatrix}0&2\\0&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x&y\\z&w\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2z&2w\\0&0\end{bmatrix}\overset{?}{\text{=}}\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}\Rightarrow0=1\\\text{Detta går inte eftersom $0\neq1$}\\A\text{ har ingen invers}\end{aligned}$$ + - **Räkneregler**: *(låt $A,B$ vara $m\times{x}$ matriser som har inverser* + - $\left(A^{-1}\right)^{-1}=A$ + - $\left(A^{-1}\right)^{T}=\left(A^T\right)^{-1}$ + - $\left(AB\right)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$!! +- **EX**: *Hur löser vi ekvationen $AX=B$, där $A,B$ kända $m\times{n}$ matriser, $X$ är okänd $m\times{n}$ matris?* $$ +\begin{aligned}\begin{aligned} +AX=B\Leftrightarrow\left(\begin{aligned} +X=BA^{-1}?\\ +X=A^{-1}B? +\end{aligned}\right)\end{aligned}\\\begin{aligned} +AX=B&\Rightarrow\underbracket{A^{-1}}AX=A^{-1}B\Rightarrow{IX=A^{-1}B}\Rightarrow{X=A^{-1}B}\\ +&\Rightarrow{AX\underbracket{A^{-1}}}=B\underbracket{A^{-1}}\Rightarrow??? +\end{aligned}\end{aligned}$$ +- **FAKTA**: *Om $A$ är em $m\times{n}$ matris och anta att $A$ har en invers. Då beräknas $A^{-1}$ genom: *$$\left(A\mid{I}\right)\longrightarrow\left(I\mid{A}\right),$$*dvs. Vi skriver $A$ som $VL$ och $I$ som $HL$ i ett gauss-chema, och sen genom radoperationer säkerställer att $I$ find på $VL$ till slut, och då är $A^{-1}$ kvar i $HL$.* + - **EX**: $$\begin{aligned}\text{Låt }A=\begin{bmatrix}1&2\\2&7\end{bmatrix}\text{. beräkna }A^{-1}\\\left(A\mid{I}\right)=\begin{pmatrix}1&2&|&1&0\\2&7&|&0&1\end{pmatrix}\begin{aligned}R_2-2R_1\rightarrow{R_2}\\\xrightarrow{}\end{aligned}\begin{pmatrix}1&3&|&1&0\\0&1&|&-2&1\end{pmatrix}\\\begin{aligned}R_1-3R_2\rightarrow{R_1}\\\xrightarrow{}\end{aligned}\begin{pmatrix}1&0&|&7&-3\\0&1&|&-2&1\end{pmatrix}\Rightarrow{A^{-1}}=\begin{bmatrix}7&-3\\-2&1\end{bmatrix}\end{aligned}$$ $$\begin{aligned} +A=\begin{bmatrix} +1&2\\ +3&4 +\end{bmatrix}\Rightarrow?\\ +A^{-1}=\begin{bmatrix} +4&-2\\ +-3&1 +\end{bmatrix}? +\end{aligned}$$ \ No newline at end of file