vault backup: 2025-11-17 17:04:18

Gräsvärde (1).md

@@ -39,4 +39,18 @@
 	- **Variabelbyte**: $$\lim_{x\to a}g\circ f(x)=\lim_{t\to b}g(x)\text{ där }t=f(x)\longrightarrow b\text{ då }x\longrightarrow a$$
 	- **Ex**: $$
 \begin{align}\lim_{x\to0}x^2\sin\frac1x\\-1\leq\sin\frac1x\leq1,\; x\neq0\\\Rightarrow-x^2\leq x^2\sin\frac1x\leq x^2\\\lim_{x\to0}-x^2=0=\lim_{x\to0}x^2\\\text{Enlight instängningsregel, }\\\lim_{x\to0}x^2\sin\frac1x=0\\\end{align}
-$$
+$$
+	- **Ex**: $$\begin{align}\lim_{x\to0}\frac{\arcsin x}x\\\text{Låt }\arcsin x=y,x\in\left[-1,1\right]\\\Rightarrow x=\sin y,y\in\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right]\\t\to0\text{ då }x\to0\\\lim_{x\to0}\frac{\arcsin x}x=\lim_{y\to0}=\frac{y}{\sin y}\\=\lim_{y\to0}\frac1{\frac{\sin y}y}=\frac11=1\end{align}$$
+- Standerd gränsvärde
+	1. $\frac{x^\alpha}{a^x}\longrightarrow0$ då $x\longrightarrow\infty$ där $a>1$.
+	2. $\frac{\ln x}{x^\alpha}\longrightarrow0$ då $x\longrightarrow\infty$ där $\alpha>0$.
+	3. $x^\alpha\ln x\longrightarrow0$ då $x\longrightarrow0+$ där $\alpha>0$.
+	4. $\frac{\sin x}x\longrightarrow1$ då $x\longrightarrow0$
+	5. $\left(1+x\right)^{1/x}\longrightarrow e$ då $x\longrightarrow0$
+	6. $\frac{\ln\left(1+x\right)}x\longrightarrow1$ då $x\longrightarrow0$
+	7. $\frac{e^x-1}x\longrightarrow0$ då $x\longrightarrow0$
+	8. $\left(1+\frac1n\right)^n\longrightarrow e$ då $n\longrightarrow\infty$
+	9. $\frac{a^n}{n!}\longrightarrow0$ då $n\longrightarrow\infty$
+	10. $\sqrt[n]{n!}\longrightarrow\infty$ då $n\longrightarrow\infty$
+	- **Ex**: $$$$
+-