vault backup: 2026-03-02 17:04:55

Matrisgeometri (Kap 5).md

@@ -42,23 +42,7 @@ A\overrightarrow{x}=\overrightarrow{l}\text{ har en}\\
 \end{aligned}$$
 
 **Kom Ihåg**: $$\begin{aligned}\text{Kolumnmatris}&&\text{Vektor}&&\text{Punkt}\\\begin{bmatrix}n_1\\n_2\\n_3\end{bmatrix}&\longleftrightarrow&\begin{pmatrix}n_1&n_2&n_3\end{pmatrix}&\longleftrightarrow&V=\begin{pmatrix}v_1&v_2&v_3\end{pmatrix}\end{aligned}$$
-**OBS**: $$\begin{aligned}
-\text{Betrakta matriserna}\\
-I=\begin{bmatrix}
-1&0&0\\
-0&1&0\\
-0&0&1
-\end{bmatrix},\;A=\begin{bmatrix}
-\frac23&-\frac23&\frac13\\
--\frac23&-\frac13&\frac23\\
-\frac13&\frac23&\frac23
-\end{bmatrix}\\
-\text{Alla kolumner har längd ett (Som vektor)}\\\\
-\left(\left.\begin{aligned}
-\left(\frac23,\;-\frac23,\;\frac13\right)\\
-\left(-\frac23,\;-\frac13,\;\frac23\right)
-\end{aligned}\right\}\text{ Är de ortogonala? JA}\right)
-\end{aligned}$$
+**OBS**: $$\begin{aligned}\text{Betrakta matriserna}\\I=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix},\;A=\begin{bmatrix}\frac23&-\frac23&\frac13\\-\frac23&-\frac13&\frac23\\\frac13&\frac23&\frac23\end{bmatrix}\\\text{Alla kolumner har längd ett (Som vektor)}\\\\\left(\left.\begin{aligned}\left(\frac23,\;-\frac23,\;\frac13\right)\\\left(-\frac23,\;-\frac13,\;\frac23\right)\end{aligned}\right\}\text{ Är de ortogonala? JA}\right)\end{aligned}$$
 **DEF**: *En $m\times{n}$ matris kallas ortagonal om varja kolumn har längd $1$(som vektor) och olika kolumner är ortekonala(som vektoter)*
 **SATS**: *Om $A$ är en ortagonal matris, då gäller det att $A{-1}=A^T$*
 **BEVIS**: 
@@ -69,4 +53,44 @@ I=\begin{bmatrix}
 *Om det ska gälla att $A^{-1}=A^T$, då måste $A^TA=AA^T=T$*
 **Men**: $$\begin{aligned}A^TA=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}^T\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{21}\\a_{12}&a_{22}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}a_{11}^2+a_{21}^2&a_{11}a_{12}+a_{21}a_{22}\\a_{12}a_{11}+a_{22}a_{21}&a_{12}^2+a_{22}^2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}=I\end{aligned}$$
 **DEF**: *$m$ stycken vektorer $\overrightarrow{u_1},\;\overrightarrow{u_2},\;\dots,\;\overrightarrow{u_m}$ i korninatsystemet $\mathbb{R}^m$ utgör en bas om vekrje vektor $\overrightarrow{w}\in\mathbb{R}^m$ kan skrivas på ett entydligt sätt som en linjär kombination av $\overrightarrow{u_1},\;\dots,\;\overrightarrow{u_m}$. En bas kallas vidare för ortogonal om vektorerna $\overrightarrow{u_1},\;\dots,\;\overrightarrow{u_m}$ har alla längd $1$ och är ortognala mot varandra.*
-**OBS**: $$\lambda_1\overrightarrow{u_1}+\dots\lambda_m\overrightarrow{u_m}=\overrightarrow{w}$$
+**OBS**: $$\lambda_1\overrightarrow{u_1}+\dots\lambda_m\overrightarrow{u_m}=\overrightarrow{w}\longleftrightarrow\begin{pmatrix}\begin{aligned}1\\\overrightarrow{u_1}\\1\end{aligned}&\begin{aligned}1\\\overrightarrow{u_2}\\1\end{aligned}&\dots&\begin{aligned}1\\\overrightarrow{u_m}\\1\end{aligned}&|&\begin{aligned}|\\\overrightarrow{w_1}\\|\end{aligned}\end{pmatrix}$$
+**DEF**: *Kolumnerna i enhetsmatrisen $I$ utgör standerndbasen för $\mathbb{R}^m$.*
+**EX**: *I $\mathbb{R}^3$ är standerndbasen lika med* $$\overrightarrow{l_1}=\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}=\begin{pmatrix}1,&0,&0\end{pmatrix},\;\overrightarrow{l_2}=\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}=\begin{pmatrix}0,&1,&0\end{pmatrix},\;\overrightarrow{l_3}=\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}=\begin{pmatrix}0,&0,&1\end{pmatrix}$$
+**OBS**: $$I\times\begin{bmatrix}\zeta_1\\\zeta_2\\\zeta_3\end{bmatrix}=A\times{\begin{bmatrix}\alpha_1\\\alpha_2\\\alpha_3\end{bmatrix}}\Longleftarrow\text{Koordinatbyte/Basbyte}$$
+**OBS**: 
+- *Om vi har ortiginal bas (från en ortogonal matris), då är $A^{1}=A^T$*
+- *Anars beräknar vi inversom som vi har läst oss*
+**EX**: $$\begin{aligned}
+\text{Låt }\overrightarrow{w}=(4,\;5,\;6)\text{ i standerdbasen. Vad är koodinaterna för $\overrightarrow{w}$}\\\text{ i basen som utgörs av kolumnarna av magtrisen}\\
+A=\begin{bmatrix}
+\frac23&-\frac23&\frac13\\
+-\frac23&-\frac13&\frac23\\
+\frac13&\frac23&\frac23
+\end{bmatrix}\Rightarrow{I}\times\begin{bmatrix}
+4\\5\\6
+\end{bmatrix}=A\times\begin{bmatrix}
+\alpha_1\\\alpha_2\\\alpha_3
+\end{bmatrix}\Rightarrow{A^{-1}}\times{I}\times\begin{bmatrix}
+4\\5\\6
+\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
+\alpha_1\\\alpha_2\\\alpha_3
+\end{bmatrix}\\\underset{\substack{A\text{ ortogonal,}\\\text{så }A^{-1}=A^T}}{\Rightarrow}A^T\times\begin{bmatrix}
+4\\5\\6
+\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
+\alpha_1\\\alpha_2\\\alpha_3
+\end{bmatrix}\underset{\substack{A\text{ symetrisk,}\\\text{så }A^T=A}}{\Rightarrow}A\times\begin{bmatrix}
+4\\5\\6
+\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
+\alpha_1\\\alpha_2\\\alpha_3
+\end{bmatrix}\\\Rightarrow\begin{bmatrix}
+\frac23&-\frac23&\frac13\\
+-\frac23&-\frac13&\frac23\\
+\frac13&\frac23&\frac23
+\end{bmatrix}
+\begin{bmatrix}
+4\\5\\6
+\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
+\alpha_1\\\alpha_2\\\alpha_3
+\end{bmatrix}\\\Rightarrow\underbracket{(4,\;5,\;6)}_{\overrightarrow{w}}=\underbracket{\frac43}_{\alpha_1}\times\underbracket{\left(\frac23,\;-\frac23,\;\frac13\right)}_{\overrightarrow{a_1}}+\underbracket{-\frac13}_{\alpha_2}\times\underbracket{\left(-\frac23,\;-\frac13,\;\frac23\right)}_{\overrightarrow{a_2}}\\+\underbracket{\frac{26}3}_{\alpha_3}\times\underbracket{\left(\frac13,\;\frac23,\;\frac23\right)}_{\overrightarrow{a_3}}\\
+\left(\left(\underbracket{(4,\;5,\;6)}_\overrightarrow{w}=\underbracket{4}_{\zeta_1}\times\underbracket{(1,\;0,\;0)}_\overrightarrow{e_1}\right)\right)
+\end{aligned}$$