vault backup: 2025-11-04 16:53:01

Funktioner Forts.md

@@ -36,3 +36,19 @@
 		- $f(x)=x^2,\;x\in[0,1]$ $D_f=[0,1]$
 		- ![[g2.png]]
 		- $$\begin{align}f(x)=3x+5\\g(x)=\frac{x-5}{3}\end{align}$$
+- Exponential och logarithm
+	- Exponential: $f(x)=a^x$ för något $a>0$.
+	- Logaritm: $g(x)=\log_a(x)$ för något $a>0$
+		- $f$ och $g$ inverse till varandra: $y=a^x\Leftrightarrow\log_a(y)=x$.
+		- $D_f=\mathbb{R}=V_g,\;\;V_f=(0,\infty)=D_g$.
+		- Om $a>1,\;f,\;g$ är strängt växande.
+		- $\log_a{(xy)}=\log_a(x)+\log_a(y),\;\log_a(x/y)=\log_a(x)-\log_a(y)$
+		- $\log_a(x^b)=b\log_a(x)$
+		- Basbyte: $\log_a(x)=\frac{\log_b(x)}{\log_b(a)}\Leftrightarrow\log_b(x)=\log_b(a)\log_a(x)$. $a^x=b^{x\log_b(a)}$
+		- Ex: $$\begin{align}\text{Räkna }D_f\text{ för }f(x)=\log_{10}(x^2+2x-3)\\f\text{ är definierad för }x^2+2x-3>0\\\Leftrightarrow(x+3)(x-1)>0\\\Leftrightarrow x\in(-\infty,-3)\cup(1,\infty)\\D_f=(-\infty,-3)\cup(1,\infty)\\\\2^{x+3}>4\\\Leftrightarrow\log_2(2^{x+3})>\log_24\\\Leftrightarrow x+3>2\\\Leftrightarrow x>-1\\\\\log_{10}36\\=\log_{10}(2^2\times3^2)\\=\log_{10}(2^2)+\log_{10}(3^2)\\=2\log_{10}2+2\log_{10}3\\\\2^x=e^{x\log_e2}=e^{x\ln2}\\\log_2x=(\log_2e)\ln{x}\\=\frac{\ln x}{\ln 2}\end{align}$$
+		- **Def**: $\log{x}=\log_{10}x$
+		- **Def**: $\ln{x}=\log_ex$
+		- **Def**: $a^x=e^{x\log_ea}=e^{x\ln a},\;a\in(0,\infty)$
+		- **Def**: $\log_a1=0$
+		- **Def**: $\log_aa=1$
+		- **Def**: $\log_ab=\frac{1}{\log_ba}$