diff --git a/.obsidian/workspace.json b/.obsidian/workspace.json index 7727610..e396b46 100644 --- a/.obsidian/workspace.json +++ b/.obsidian/workspace.json @@ -69,12 +69,12 @@ "state": { "type": "markdown", "state": { - "file": "Trigonometri.md", + "file": "Gräsvärde (1).md", "mode": "source", "source": false }, "icon": "lucide-file", - "title": "Trigonometri" + "title": "Gräsvärde (1)" } }, { @@ -83,12 +83,54 @@ "state": { "type": "markdown", "state": { - "file": "Komplexa tal.md", + "file": "Derivata.md", "mode": "source", "source": false }, "icon": "lucide-file", - "title": "Komplexa tal" + "title": "Derivata" + } + }, + { + "id": "68837a4aa2729e39", + "type": "leaf", + "state": { + "type": "markdown", + "state": { + "file": "Grafer.md", + "mode": "source", + "source": false + }, + "icon": "lucide-file", + "title": "Grafer" + } + }, + { + "id": "6226fb790fca274b", + "type": "leaf", + "state": { + "type": "markdown", + "state": { + "file": "Tenta Example.md", + "mode": "source", + "source": false + }, + "icon": "lucide-file", + "title": "Tenta Example" + } + }, + { + "id": "46f7f5c1bc5d29b2", + "type": "leaf", + "state": { + "type": "markdown", + "state": { + "file": "Differential.md", + "mode": "source", + "source": false + }, + "icon": "lucide-file", + "title": "Differential" } }, { @@ -106,7 +148,7 @@ } } ], - "currentTab": 1 + "currentTab": 8 } ], "direction": "vertical" @@ -266,26 +308,29 @@ "obsidian-git:Open Git source control": false } }, - "active": "ad6eb280b4b8718c", + "active": "46f7f5c1bc5d29b2", "lastOpenFiles": [ - "MVT.png", + "Tenta Example.md", + "Differential.md", "Gräsvärde (1).md", - "Trigonometri.md", + "Komplexa tal.md", + "Grafer.md", + "Funktioner Forts.md", + "Funktioner.md", "Derivata.md", + "Definitioner.md", + "Def_graf1.png", + "TE1.png", + "Trigonometri.md", + "MVT.png", "Pasted image 20251119134315.png", "d_ex_1.png", "d1.png", - "Funktioner.md", - "Funktioner Forts.md", - "Komplexa tal.md", - "Grafer.md", "conflict-files-obsidian-git.md", "gv1.png", "k2.png", "k1.png", "f_inverse.png", - "g2.png", - "g1.png", "Untitled.canvas" ] } \ No newline at end of file diff --git a/Def_graf1.png b/Def_graf1.png new file mode 100644 index 0000000..78576ad Binary files /dev/null and b/Def_graf1.png differ diff --git a/Definitioner.md b/Definitioner.md new file mode 100644 index 0000000..1edbc0d --- /dev/null +++ b/Definitioner.md @@ -0,0 +1,8 @@ +- **Lokal maximum punkt**: *i $x=x_0$ om $\exists\;\;a,b\in\mathbb{R}$ så att $x_0\in\left(a,b\right),\left(a,b\right)\subseteq D_f$ och $f(x)\leq f(x_0)\forall x\in\left(a,b\right)$ +- **Global maximum punkt**: *i $x=x_0$ om $f(x)\leq f(x_ 0)\;\forall\;x\in{D_f}$* +- **Global extrempumkt** + 1. *Lokala extrampunkter* + 2. *Värde på ändpunkten. (Eller gränsvärde)* + 3. *Värde på punkter där derivata saknas(Kritiska punkter)* + 4. *Jämför 1,2,3.* + - **Ex**: $$\begin{align}f(x)=1-\mid{x}\mid\\f'(0)\text{ Existerar inte}\end{align}$$![[Def_graf1.png]] \ No newline at end of file diff --git a/Derivata.md b/Derivata.md index 4fa081d..7ced331 100644 --- a/Derivata.md +++ b/Derivata.md @@ -35,4 +35,17 @@ - **Theorem**: $$\begin{gather}\text{För }-1\;f(x)=\arcsin x\;\;\;\;\;\Rightarrow f'(x)=\frac1{\sqrt{1-x^2}}\\>\;f(x)=\arccos x\;\;\Rightarrow f'(x)=-\frac1{\sqrt{1-x^2}}\\>\;f(x)=\arctan x\;\;\;\;\;\;\;\;\Rightarrow f'(x)=\frac1{1+x^2}\\>\;f(x)=\arccot x\;\;\;\;\Rightarrow f'(x)=-\frac1{1+x^2}\end{gather}$$ - Medelvärdessats - **Theorem** *Om $f$ är kontinuerlig på slutet intervall $\left[a,b\right]$ och deriverbar på öppet intervall $\left(a,b\right)$, dår fins det minst en punkt $\xi\in\left(a,b\right)$ så att* $$f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$![[MVT.png]] - - \ No newline at end of file +- Egenskaper + - *Låt $f$ vara deriverbar i intevallet $\left(a,b\right). följande gäller$* + 1. *$f'(c)=0$ för något $c\in\left(a,b\right)\;\Rightarrow\;f$ har lokal extremvärde eller sadelpunkt i punkten $x=c$.* + 2. *$f'(x)=0\;\forall{x}\in\left(a,b\right)\Rightarrow f(x)=C$, konstant funktion* + 3. *$f'(x)=g'(x)\;\forall{x}\in\left(a,b\right)\Rightarrow f(x)=g(x)+C$, Där $C$ är någon konstant.* + 4. *$f'(x)>0\;\forall{x}\in\left(a,b\right)\Rightarrow f(x)$ är strängt växande i $\left(a,b\right)$.* + 5. *$f'(x)<0\;\forall{x}\in\left(a,b\right)\Rightarrow f(x)$ är strängt avtagande i $\left(a,b\right)$.* + 6. *$f'(x)\geq0\;\forall{x}\in\left(a,b\right)$ med likhet i ändligt antal punkter $\Rightarrow f(x)$ är stängt växande i $\left(a,b\right)$.* + 7. *$f'(x)\leq0\;\forall{x}\in\left(a,b\right)$ med likhet i ändligt antal punkter $\Rightarrow f(x)$ är stängt avtagande i $\left(a,b\right)$.* +- Andra derivata + - **Betäkning**: $f''(x)$ + - **Definition**: $\frac{d^2f}{dx^2}(x):=\frac{d}{dx}\left(\frac{df}{dx}(x)\right)$ + - **Ex**: $f(x)=x^3\Rightarrow f'(x)=3x^2\Rightarrow f''(x)=6x$ + - **Andra-derivatanstest**: $$\begin{align}\text{Låt }f\text{ vara deriverbar i punkten }x_0\;\&\;f'(x_0)=0\\1.\;\;f''(x_0)>0\Rightarrow x_0\text{ är en lokal minimum.}\\2.\;\;f''(x_0)<0\Rightarrow x_0\text{ är en lokal maximum.}\\3.\;\;f''(x_0)=0\Rightarrow\text{Vet ej.}\end{align}$$ \ No newline at end of file diff --git a/Differential.md b/Differential.md new file mode 100644 index 0000000..0efd696 --- /dev/null +++ b/Differential.md @@ -0,0 +1,3 @@ +- **$dx$**: *oändlig liten förändring i $x$ värdet.* +- **$df$**: *(motsvarande) oändligt liten förändring i $f$ värde.* +- \ No newline at end of file diff --git a/TE1.png b/TE1.png new file mode 100644 index 0000000..967fb73 Binary files /dev/null and b/TE1.png differ diff --git a/Tenta Example.md b/Tenta Example.md new file mode 100644 index 0000000..a3a3380 --- /dev/null +++ b/Tenta Example.md @@ -0,0 +1,18 @@ +**Rita graf till** $f(x)=-\frac{\ln x}x$ +$$\begin{align}1.\;\;D_f=\left(0,\infty\right)\\2.\;\;\text{Lodrät asymptot }x=0\\\text{Vågrät asymtot }y=0\\3.\;\;\text{Stationära punkten:}\\f(x)=\frac{\ln x}x\\\text{derivera m.a.p. }x\\f'(x)=-\frac{x(\ln x)'-(\ln x)(x)'}{x^2}\\=-\frac{x\times\frac1x-(\ln x)(1)}{x^2}\\=\frac{\ln x-1}{x^2}\\\text{Stationär punkten uppfyller }f'(x)=0\\\Leftrightarrow\frac{\ln x-1}{x^2}=0\\\Leftrightarrow\ln x=1\\x=e\end{align}$$ +*Täkentabell* + +| | $e$ | +| --------- | ----------------------------- | +| $\ln x-1$ | $\;\;\;\;0\;\;+$ | +| $x^2$ | $+++$ | +| $f'(x)$ | $-\;0\;\;+$ | +| $f(x)$ | $\searrow\rightarrow\nearrow$ | +*Enlight tabellen har $f$ en lokal minimum punkt på $\left(e,-\frac1e\right)$ Punkten är också en global minimum* +*Graf*![[TE1.png]] +**Visa att** $x^{\frac1x}\leq e^{\frac1e}$ +*Lösning: Från ovan:* +$$\begin{align}-\frac{\ln x}x\geq-\frac1e\\\Leftrightarrow\frac{\ln x}x\leq\frac1e\Leftrightarrow\ln x^{\frac1x}\leq\frac1e\Leftrightarrow x^{\frac1x}\leq e^{\frac1e}\\\text{(ty ln är strängt vexande)}\end{align}$$ +**Koraste avtåndet av**: $\left(0,1\right)$ till kurvan $x^2-y^2=1$ +$$\begin{align}\text{Lösn: Avståndet av }\left(0,1\right)\text{ till en punkt }\left(x,y\right)\text{ ges av}\\d)\sqrt{\left(x-0\right)^2+\left(y-1\right)^2}=\sqrt{x^2+y^2-2y+1}\\\text{Punkten }\left(x,y\right)\text{ ligger på kurvan om }x^2-y^2=1\\\text{Avståndet av }\left(0,1\right)\text{ till }\left(x,y\right)\text{ på kurvan är }\\d=\sqrt{1+y^2+y^2-2y+1}=\sqrt{2y^2-2y+2}\\\Rightarrow d^2=2y^2-2y+2\end{align}$$ +*Notera att $d$ och $d^2$ har minimum värde på samma punkt. Definiera* $$\begin{align}f(y)=d^2=2y^2-2y+2\\\text{Derivera m.a.p. }y\\f''(y)=4>0\\\text{Stationär punkt:}\\f'(x)=0\Leftrightarrow4y-2=0\Leftrightarrow y=\frac12\\f''(\frac12)=4>0\\\text{sum: }y=\frac12\text{ ger minimum värde för }f\\\text{sum: avståndet är minst då }y=\frac12\text{ Mista avståndet är}\\d_{min}=\sqrt{s\times\left(\frac12\right)^2-\cancel{2\times\frac12}+2}=\sqrt\frac32\\\text{Närmaste punkten}\\x-\left(\frac12\right)^2=1\Leftrightarrow x^2=\frac54\Leftrightarrow x=\pm\frac{\sqrt5}2\\\text{sum: }\left(-\frac{\sqrt5}2,\frac12\right)\&\left(\frac{\sqrt5}2,\frac12\right)\\\text{Kontroll: }\sqrt{\frac52+\left(\frac12-1\right)^2}=\sqrt{\frac54+\frac14}=+\sqrt\frac32\end{align}$$ \ No newline at end of file