From 66475c63255c03c0eda542b0b43253e81f796854 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Zacharias=20Zell=C3=A9n?= Date: Mon, 2 Mar 2026 16:01:40 +0100 Subject: [PATCH] vault backup: 2026-03-02 16:01:40 --- .../obsidian-completr/scanned_words.txt | 24 ++++++++++++++ Matrisgeometri (Kap 5).md | 32 ++++++++++++++++++- 2 files changed, 55 insertions(+), 1 deletion(-) diff --git a/.obsidian/plugins/obsidian-completr/scanned_words.txt b/.obsidian/plugins/obsidian-completr/scanned_words.txt index 596e8e8..d2810ca 100644 --- a/.obsidian/plugins/obsidian-completr/scanned_words.txt +++ b/.obsidian/plugins/obsidian-completr/scanned_words.txt @@ -19,6 +19,7 @@ Dominains Double Diagonal Determinant +DIMENSIONSSATS Ett En Ex @@ -72,6 +73,8 @@ leads längden lyfter linjära +lösningarna +lönsing ekvationssystem en ekvationer @@ -113,6 +116,8 @@ egenvärde egenskap endast egenvektorer +exakt +entydig med moam matris @@ -231,6 +236,9 @@ kolumnmatriser kombinatoner kolumnmatrisen kolunrummet +kärna +kärnrum +kolomn är än ändpunkten @@ -292,6 +300,8 @@ summa skriva sammanfaller shcema +schemat +shcemat av alla allmänt @@ -328,6 +338,9 @@ are använda anta alltid +antaliet +antingen +aldrig där det den @@ -405,6 +418,8 @@ invers inverser index ich +ibland +ingen variabler vatiabler vatiable @@ -531,6 +546,7 @@ funkar find finnas fortsätning +fira term tal till @@ -570,6 +586,8 @@ triangul tirangulär tänkas tvp +tredhe +ty ut utgöt under @@ -586,6 +604,7 @@ unit uppfyller utvald upprepas +uppn HL Hur HmE @@ -641,6 +660,7 @@ bara beroende byten bort +bestämnda Ur Under Uk @@ -670,6 +690,7 @@ permutation parytor polynom produkten +prisis Alla Antigen Avslutande @@ -708,6 +729,8 @@ njh ndet nN nNeO +nolldimension +när Mist Mera Mindre @@ -877,6 +900,7 @@ Nd Note Negatives Nollställena +Nör WT Wn Wdj diff --git a/Matrisgeometri (Kap 5).md b/Matrisgeometri (Kap 5).md index 308d0ac..edd1fa0 100644 --- a/Matrisgeometri (Kap 5).md +++ b/Matrisgeometri (Kap 5).md @@ -39,4 +39,34 @@ A\overrightarrow{x}=\overrightarrow{l}\text{ har en}\\ \text{har en invers} \end{aligned}\\ \Leftrightarrow\det(A)\neq0 -\end{aligned}$$ \ No newline at end of file +\end{aligned}$$ + +**Kom Ihåg**: $$\begin{aligned}\text{Kolumnmatris}&&\text{Vektor}&&\text{Punkt}\\\begin{bmatrix}n_1\\n_2\\n_3\end{bmatrix}&\longleftrightarrow&\begin{pmatrix}n_1&n_2&n_3\end{pmatrix}&\longleftrightarrow&V=\begin{pmatrix}v_1&v_2&v_3\end{pmatrix}\end{aligned}$$ +**OBS**: $$\begin{aligned} +\text{Betrakta matriserna}\\ +I=\begin{bmatrix} +1&0&0\\ +0&1&0\\ +0&0&1 +\end{bmatrix},\;A=\begin{bmatrix} +\frac23&-\frac23&\frac13\\ +-\frac23&-\frac13&\frac23\\ +\frac13&\frac23&\frac23 +\end{bmatrix}\\ +\text{Alla kolumner har längd ett (Som vektor)}\\\\ +\left(\left.\begin{aligned} +\left(\frac23,\;-\frac23,\;\frac13\right)\\ +\left(-\frac23,\;-\frac13,\;\frac23\right) +\end{aligned}\right\}\text{ Är de ortogonala? JA}\right) +\end{aligned}$$ +**DEF**: *En $m\times{n}$ matris kallas ortagonal om varja kolumn har längd $1$(som vektor) och olika kolumner är ortekonala(som vektoter)* +**SATS**: *Om $A$ är en ortagonal matris, då gäller det att $A{-1}=A^T$* +**BEVIS**: +*Endast fallet $2\times2$. Betrakta*$$A=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}$$*$A$ är ortogonal medger:* +- *kolumn $1$ har längd $1\Rightarrow{a}^2_{11}+a^2_{21} = 1$* +- *kolumn $2$ har längd $1\Rightarrow{a}^2_{12}+a^2_{22} = 1$* +- kolumn $1$ och kolumn $2$ är ortogonala $a_{11}\times{a}_{12}+a_{21}\times{a}_{22}=0$ +*Om det ska gälla att $A^{-1}=A^T$, då måste $A^TA=AA^T=T$* +**Men**: $$\begin{aligned}A^TA=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}^T\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{21}\\a_{12}&a_{22}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}a_{11}^2+a_{21}^2&a_{11}a_{12}+a_{21}a_{22}\\a_{12}a_{11}+a_{22}a_{21}&a_{12}^2+a_{22}^2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}=I\end{aligned}$$ +**DEF**: *$m$ stycken vektorer $\overrightarrow{u_1},\;\overrightarrow{u_2},\;\dots,\;\overrightarrow{u_m}$ i korninatsystemet $\mathbb{R}^m$ utgör en bas om vekrje vektor $\overrightarrow{w}\in\mathbb{R}^m$ kan skrivas på ett entydligt sätt som en linjär kombination av $\overrightarrow{u_1},\;\dots,\;\overrightarrow{u_m}$. En bas kallas vidare för ortogonal om vektorerna $\overrightarrow{u_1},\;\dots,\;\overrightarrow{u_m}$ har alla längd $1$ och är ortognala mot varandra.* +**OBS**: $$\lambda_1\overrightarrow{u_1}+\dots\lambda_m\overrightarrow{u_m}=\overrightarrow{w}$$ \ No newline at end of file