Merge branch 'master' of git.server.4zellen.se:Zacharias/Analys-och-Linj-r-algibra

.obsidian/workspace.json

@@ -62,9 +62,37 @@
               "icon": "lucide-file",
               "title": "Trigonometri"
             }
+          },
+          {
+            "id": "be47d5ede3a9176b",
+            "type": "leaf",
+            "state": {
+              "type": "markdown",
+              "state": {
+                "file": "Komplexa tal.md",
+                "mode": "source",
+                "source": false
+              },
+              "icon": "lucide-file",
+              "title": "Komplexa tal"
+            }
+          },
+          {
+            "id": "76c8d943958d45bf",
+            "type": "leaf",
+            "state": {
+              "type": "markdown",
+              "state": {
+                "file": "Gräsvärde (1).md",
+                "mode": "source",
+                "source": false
+              },
+              "icon": "lucide-file",
+              "title": "Gräsvärde (1)"
+            }
           }
         ],
-        "currentTab": 3
+        "currentTab": 5
       }
     ],
     "direction": "vertical"
@@ -224,12 +252,17 @@
       "obsidian-git:Open Git source control": false
     }
   },
-  "active": "4eef5f8feb086f9e",
+  "active": "76c8d943958d45bf",
   "lastOpenFiles": [
-    "Funktioner Forts.md",
+    "gv1.png",
-    "Trigonometri.md",
-    "Grafer.md",
     "Funktioner.md",
+    "Funktioner Forts.md",
+    "Gräsvärde (1).md",
+    "Komplexa tal.md",
+    "Grafer.md",
+    "Trigonometri.md",
+    "k2.png",
+    "k1.png",
     "f_inverse.png",
     "g2.png",
     "g1.png",

Gräsvärde (1).md

@@ -0,0 +1,21 @@
+- Gränsvärden
+	- **Def**: *Om för varje $\epsilon>0$ existerar $\delta>0$ så att $$\mid{x-a}\mid<\delta\Rightarrow\mid{f(x)-L}\mid<\epsilon$$är talet $L$ gransvärde till $f(x)$ då $x$ får mot $a$. Betekning: $f(x)\longrightarrow{L}$ då $x\longrightarrow{a}$, eller $$\lim_{x\to{a}} f(x)=L$$*
+	- **Def**: *Om för varje $\epsilon>0$ existerar $M>0$ så att$$x>M\;\Rightarrow\;\mid{f(x)-L}\mid<\epsilon$$är talet $L$ gränsvärde till $f(x) då $x$ går mot oändlighit. Beteckning: $f(x)\longrightarrow{L}$ då $x\longrightarrow\infty$, eller $$\lim_{x\to\infty}f(x)=L$$*
+- Remarks
+	- *Om det inte fins sådant $L$ värde, saknar funktionen gränsvärde på punkten $a$,*
+		- **Ex**: $$\begin{align}f(x)=\sin x\\\lim_{x\to\infty}\sin x\\\text{Existerar inte}\end{align}$$
+		- **Ex**: $$\begin{align}f(x)=\sin\frac1x\\\lim_{x\to0}\sin\frac1x\\\text{Existerar inte}\end{align}$$
+	- *Punkten $a$ behöver inte vara i $D_f$.*
+	- *Beteende av funktionen kring "problempunkter" är intressant.*
+	- *Långsiktig beteende hos funktioner: $$\lim_{x\longrightarrow\infty}f(x)$$*
+	- *Derivator, integraler, asymptot etc definieras med hjälp av gränsvärde.*
+	- *Om $a$ int är "problempunkt" stoppar vi in $x=a$ i $f(x)$*
+	- **Def**: *"Problempunkt" t.ex $\lim_{x\to 0}\frac1x$ går inte att direkt lösa på grund av division med $0$*
+- One sided limits
+	- ![[gv1.png]]
+- Problem fall
+	- $\left[\frac00\right]$ form: **Ex**: $$\lim_{x\to1}\frac{x^2-3x+2}{x^2-1},\;\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}x,\;\lim_{x\to\infty}\frac{\tan{x}}x$$
+	- $\left[\frac\infty\infty\right]$ form: **Ex**: $$\lim_{x\to\infty}\frac{x^2-3x+2}{x^2-1},\;\lim_{x\to\infty}\frac{x^3}{2^x}$$
+	- $\left[0\times\infty\right]$ form: **Ex**: $$\lim_{x\to\infty}x^2\ln\mid{x}\mid$$
+	- $\left[0^0\right]$ form: **Ex**: $$\lim_{x\to0+}x^x$$
+	- $\left[\infty^0\right]$ form **Ex**: $$\lim_{x\to\infty}$$

Komplexa tal.md

@@ -0,0 +1,30 @@
+- Komplexa tal
+	- **Def**: $x^2+1=0$ saknar reell lösning. Vi antar talet $i\notin\mathbb{R}$ löser ekvationen, d.v.s $i^2=-1$
+	- Mängd av komplexa talen: $\mathbb{C}=\{a+bi:a,b\in\mathbb{R}\}$
+	- Om $z=a+bi,a=Re(z)$ och $b=Im(z)$
+	- **Konjugat**: $z=a+bi\Rightarrow\bar{z}=a-bi$
+	- **Regler**:
+		- $\bar{\bar{z}}=z$
+		- $\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}$
+		- $\overline{z_1\times{z_2}}=\overline{z_1}\times{z_2}$
+	- **Absolut belopp**: $$\mid{z}\mid=\mid\overline{z}\mid=\sqrt{z\overline{z}}=\sqrt{a^2+b^2}\text{ om }z=a+bi$$
+	- **Triangelsformeln**: $\mid{z_1+z_2}\mid\leq\mid{z_1}\mid+\mid{z_2}\mid$
+	- **Ex**: $$\begin{align}z_1=2+3i\\z_2=2-i\\\\z_1+z_2=(2+3i)+(2-1)\\=4+2i\\\overline{z_1+z_2}=4-2i\\\overline{z_1}=2-3i,\;\overline{z_2}=2+i\\\overline{z_1}+\overline{z_2}=2-3i+2+i\\=3-2i\\\\z_1\times{z_2}=(2+3i)(2-i)\\=4-2i+6i-3i^2\\=4+4i+3\\=7+4i\\\overline{z_1\times{z_2}}=7-4i\\\overline{z_1}=2-3i,\;\overline{z_2}=2+i\\\overline{z_1}\times\overline{z_2}=(2-3i(2+i)\\=4+2i-6i-3i^2\\=4-2i+3\\=7-4i\end{align}$$
+	- **Ex 2**: $$\begin{align}z=a+bi\\\overline{z}=a-bi\\z\times\overline{z}=(a+bi)(a-bi)\\=a^2-\left(bi\right)^2\\=a^2-b^2i^2\\=a^2+b^2\end{align}$$
+	- **Ex 3**: $$\begin{align}\mid{z_1+z_2}\mid=\mid4+2i\mid\\=\sqrt{4^2+2^2}\\=\sqrt{16+4}=2\sqrt{5}\\\mid{z_1}\mid=\mid2+3i=\sqrt{2^2+3^2}\\=\sqrt{13}\\\mid{z_2}\mid=\mid2-i\mid=\sqrt{2^2+(-i)^2}=\sqrt{5}\end{align}$$
+	- **Ex 4**: $$\begin{align}\frac{z_1}{z_2}=\frac{2+3i}{2-i}\\=\frac{2+3i}{2-i}\times\frac{2+i}{2+i}\\=\frac{4+2i+6i+3i^2}{2^2-i^2}\\=\frac{1+8i}{5}\\=\frac{1}{5}+\frac{8}{5}i\end{align}$$
+- Grafer
+	- ![[k1.png]]
+	- ![[k2.png]]
+- Polär form
+	- **Eulers formel**: $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$
+	- Varje komplex tal $z=x+yi$ kan skrivas på pol'r form som $$z=re^{i\theta}$$ där $$r=\sqrt{x^2+y^2}$$ och $arg(z)=\theta$ är så att $$\cos\theta=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\text{ och }\sin\theta=\frac{y}{x^2+y^2}$$
+	- **de Moivre**: $z=re^{i\theta}\Rightarrow z^n=r^ne^{in\theta}=r^n(\cos(n\theta)+i\sin(n\theta))$
+	- **Ex**: Lös $z^3=1+i\sqrt3$ $$\begin{align*}1+i\sqrt3=n_\circ e^{i\theta}, \theta\in\left[0,2\pi\right)\\n_\circ=\sqrt{1^2+\left(\sqrt3\right)^2}=2\\\theta\in\left[0,2\pi\right)\text{ uppfyller}\\\cos\theta=\frac12,\sin\theta=\frac{\sqrt3}2\\\Rightarrow\theta=\frac\pi3\\z^3=1+i\sqrt3=2e^{i\frac\pi3}\\\text{Låt }z=n_1e^{i\phi}\\\text{Då är }z^3=n_1^3e^{i3\phi}\\\Leftrightarrow\left\{\begin{aligned}n_1^3=2,n\in\mathbb{R}\\e\phi=\frac\pi3+2\pi{k},k\in\mathbb{Z},\phi\in\left[0,2\pi\right)\end{aligned}\right.\\\Leftrightarrow\left\{\begin{aligned}n_1=\sqrt[3]{2}\\\phi=\frac\pi9+\frac{2\pi k}{3},k=0,1,2\end{aligned}\right.\\k=0:\;\phi=\frac\pi9+\frac{2\pi}3\times0=\frac\pi9\\k=1:\;\phi=\frac\pi9+\frac{2\pi}3=\frac{7\pi}9\\k=2:\;\phi=\frac\pi9+\frac{2\pi}4\times2=\frac{13\pi}9\end{align*}$$
+	- **Ex 2**: $$\begin{align}z=-\frac{\sqrt3}{2}+\frac{1}{2}i\\z=ne^{i\theta}\\n=\sqrt{\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2}=1\\\theta\text{ är så att }\cos\theta=\frac{\sqrt{3}}{2},\sin\theta=\frac{1}{2}\\\text{En lösning}:\theta=\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}\\\text{Alla lösningar}:\theta=\frac{5\pi}{6}+2\pi{n},n\in\mathbb{Z}\\z=e^{i\left(\frac{5\pi}{6}+2\pi{n}\right)},n\in\mathbb{Z}\\\text{Svar: }z=e^{i\frac{5\pi}{6}}\end{align}$$
+- Polynom
+	- **Theorem**: *Algebrans huvudsats: Polynomet$$p(z)=c_nz^n+c_{n-1}z^{n-1}\dots+c_0,\;c_k\in\mathbb{C}$$har en rot i $\mathbb{C}$. D.v.s det finns en $z_1\in\mathbb{C}$ så att $p(z_1)=0$.*
+	- **Faktorsats**: $p(z)=(z-z_1)q(z)$
+	- **Theorem**: *Polynomet ovan kan skrivas som $p(z)=c_n(z-z_1)\dots(z-z_n)$. Alla polynom har $n$ komplexa rötter (och faktorer).*
+	- **Theorem**: *Polynom med reella koefficienter:$p(x)=a_nz^n+a_{n-1}z^{n-1}\dots+a_0,\;a_k\in\mathbb{R}$. Om $z_0$ är en rot så är $\overline{z_0}$*
+	- **Ex**: $$\begin{align}p(z)=3z^3-7z^2+17z-5\\p(1+2i)=0\\\text{Polynomet har reella koefficienten. även konjugatet 1-2i är en rot.}\\\text{Enlight faktorsatsen}\\p(z)=(z-1-2i)(z-1+2i)q(z)\\\text{för något polynom }q(z)\\p(z)=\left(\left(z-1\right)^2-\left(2i\right)^2\right)q(z)\\=\left(z^2-2z+1+4\right)q(z)\\=\left(z^2-2z+5\right)q(z)\\\text{Polynomdivision: }\\\frac{3z-1}{z^2-2z+5}\\p(z)=\left(z-1-2i\right)\left(z-1+2i\right)\left(3z-1\right)\\\text{Rötter: }1+2i,1-2i,\frac13\end{align}$$

Trigonometri.md

@@ -26,4 +26,13 @@
 	- $\sin\theta=\sin{a}\Leftrightarrow\theta=\left\{\begin{align}a+2n\pi,n\in\mathbb{Z}\\\pi-a+2n\pi,n\in\mathbb{Z}\end{align}\right.$
 	- $\cos\theta=\cos{a}\Leftrightarrow\theta=\left\{\begin{align}a+2n\pi,n\in\mathbb{Z}\\-a+2n\pi,n\in{Z}\end{align}\right.$
 	- $\tan\theta=\tan{a}\Leftrightarrow\theta=a+n\pi,n\in\mathbb{Z}$
-	- Ex: Solve $\sin(x+\frac{\pi}{6})=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 
+	- Ex: Solve $\sin(x+\frac{\pi}{6})=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 
+- Inverse trigonometric function
+	- **Def**: *$f(x)=\sin(x),x\in\left[\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$. Then $f$ is strictly increasing on $D_f$ and hence inverible. The fuction $\arcsin$ is defined as $$\arcsin(x)=f^{-1}(x)\text{ on }D_{arcsin}=R_f=[-1,1]$$*
+	- **Similarly**: *For $g(x)=\cos(x),x\in\left[0,\pi\right]$ (which is strictly decreasing) and $h(x)=\tan(x),x\in\left[\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$ (which is strictly increasing), the function $\arccos$ and $\arctan$ are defined as $$\begin{align}\arccos(x)=g^{-1}(x)\text{ on }D_{\arccos}=\left[-1,1\right]\\\arctan(x)=h^{-1}(x)\text{ on }D_{\arctan}=\mathbb{R}\end{align}$$*
+	- **Note**: *That the tanges $R_{\arcsin}=R_{\arctan}=\left[\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$ whereas $R_{\arccos}=\left[0,\pi\right]$*
+- Properties
+	- **Def**: $$\begin{align}\sin(\arcsin(x))=x\forall{x}\in\left[-1,1\right]\text{ | }\arcsin(sin(x))=x\text{ if }x\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\\\cos(\arccos(x))=x\forall{x}\in\left[-1,1\right]\text{ | }\arccos(\cos(x))=x\text{ if }x\in\left[0,\pi\right]\\\tan(\arctan(x))=x\forall{x}\in\mathbb{R}\text{ | }\arctan(\tan(x))=x\text{ if }x\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\end{align}$$
+	- **Complementary angles**: $$\arcsin(x)+\arccos(x)=\frac{pi}{2},\;\arctan(x)+\arccos(x)=\frac{\pi}{2}$$
+	- **Negatives**: *$\arcsin$ and $\arctan$ are odd functions. $$\begin{align}\arcsin(-x)=-\arcsin(x)\\\arccos(-x)=\pi-\arccos(x)\\\arctan(-x)=-\arctan(x)\end{align}$$*
+-