vault backup: 2025-10-28 16:59:44

Grafer.md

@@ -1,3 +1,28 @@
 - Graf
 	- Graf till funtion $f:\{(x,f(x)):x\in{D_f}$
-	- *Graf till $f$ med $y=V_f$ och $x=D_f$*
+	- *Graf till $f$ med $y=V_f$ och $x=D_f$*
+	- Ex: $$\begin{align*}f(x)=\left\{\begin{aligned}&2,\;0\leq{x}\leq{1}\\&x+3,\;1<x<2\\&-1,\;2\leq{x}<3\end{aligned}\right.\\D_f=[0,3)\\V_f=(-3,-2]\cup\{2\}\cup(4,5)\end{align*}$$
+- Variablebyte
+	- *Låt $f$ vara en funtion med $D_f=(x_1,x_2),\;V_f=(y_1,y_2)$*
+	- $g(x)=f(x-a)$, grafen flyttar $a$ enheter längst x-axeln. $$D_g=(x_1+a,x_2+a),\;V_g=(y_1,y_2)$$
+	- $g(x)=f(x)+b$, grafen flyttar $b$ enheter längt y-axeln $$D_g=(x_1,x_2),\;V_g=(y_1+b,y_2+b)$$
+	- $g(x)=f(cx),c\neq0$, "Scaling" längst x-axeln
+	- $g(x)=d\times{f(x)}$, "Scaling" längst y-axeln
+- Absolutbelopp
+	- **Def**: *Absolutbelopp funktion $|\dot{}|:\mathbb{R}\mapsto[0,\infty)$ definieras av $$|x|=\left\{\begin{aligned}x,\;\text{då }x\geq0,\\-x,\;\text{då }x<0.\end{aligned}\right.$$*
+	- Egenskapaer
+		- $|x|=\sqrt{x^2}\;\;\forall{x}\in\mathbb{R}$. (Alternativ definition av absolutbelopp)
+		- $|-x|=|x|\;\;\forall{x}\in\mathbb{R}$. (Jämn funktion)
+		- Multiplikation regle: $|x\times{y}|=|x|\times{|y|}\;\;\forall{x,y}\in\mathbb{R}$ 
+		- Triangel olikhet: $|x+y|\leq|x|+|y|$
+		- $|x-y|$ är avstånd mellan $x$ och $y$ på reell-linje. I synnerhet är $|x|$ avståndet mellan $x$ och $0$.
+	- Ex: Lös ekvationen $|x-3|=2$$$\begin{align*}|x-3|\Leftrightarrow\sqrt{(x-3)^2}=2\\\Leftrightarrow{}(x-3)^2=2^2\text{(kvadrering)}\\\Leftrightarrow{}(x-3)^2-2^2=0\Leftrightarrow(x-3+2)(x-3-2)=0\\\Leftrightarrow{}x_1=1,\;x_2=5\end{align*}$$
+	- Ex: Lös olikheten $|x-3|<2$$$\begin{align*}|x-3|=\left\{\begin{aligned}x-3,\;x-3\geq0\\3-x,\;x-3<0\end{aligned}\right.\\\text{Fall 1: }x-3\geq0\Leftrightarrow{x}\geq3\\|x-3|<2\Leftrightarrow{x}-3<2\\\Leftrightarrow{x}<2+4=5\\3\leq{x}<5\\\text{Fall 2: }x-3<0\Leftrightarrow{x}<3\\|x-3|<2\Leftrightarrow3-x<2\\\Leftrightarrow{x}>3-2=1\\1<x<3\\\\\text{Lösningmängd till }|x-3|<2\\(1,3)\cup{[3,5)}=(1,5)\end{align*}$$
+- Polynom
+	- **Def**: *En funtion i formen$$p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0=\sum^{n}_{k=0}{a_kx^k}$$är ett polynom. $a_k$ för $k=0,1,\dots,n$ är koefficienter. Om $a_n$ har polynomet grad $n$. Skrivs $grad(p)=n$*
+	- Nollställe/Rötter: Lösningar till $p(x)=0$
+	- Polynom av grad 0: $p(x)=c$, konstant function. Graf är parallel till x-axel.
+	- Polynom av grad 1 $p(x)=ax+b$, linjär function. Graf är en icke vertikal linje.
+- Andragradspolynom
+	- $p(x)=ax^2+bx+c,\;a\neq0$
+	- Faktorisering med kvadratkomplettering:$$\begin{align*}ax^2+bx+c=a\left(x^2+\frac{b}{a}x\frac{c}{a}\right)\\=a\left(x^2+2\times{x}\times\frac{b}{2a}+\frac{b^2}{4a^2}-\frac{b^2}{3a^2}+\frac{c}{a}\right)\\=a\left(\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2-4ac}{4a^2}\right)\\=a\left(x+\frac{b}{2a}+\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}\right)\left(x+\frac{b}{2a}-\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}\right)\\=a\left(x+\frac{b+\sqrt{D}}{2a}\right)\left(x+\frac{b-\sqrt{D}}{2a}\right)\end{align*}$$Discriminant: $D=b²-4ac$