From 847065c9f479bee143ac0e04e165255c5e4db5e5 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Zacharias=20Zell=C3=A9n?= Date: Mon, 23 Feb 2026 16:57:23 +0100 Subject: [PATCH] vault backup: 2026-02-23 16:57:23 --- .obsidian/workspace.json | 5 +- Egenvärderna (Kap 10).md | 133 +++++++++++++++++++++++---------------- 2 files changed, 81 insertions(+), 57 deletions(-) diff --git a/.obsidian/workspace.json b/.obsidian/workspace.json index d6cb04b..7248edc 100644 --- a/.obsidian/workspace.json +++ b/.obsidian/workspace.json @@ -68,7 +68,7 @@ "state": { "type": "search", "state": { - "query": "transponering", + "query": "", "matchingCase": false, "explainSearch": false, "collapseAll": false, @@ -89,7 +89,8 @@ "title": "Bookmarks" } } - ] + ], + "currentTab": 1 } ], "direction": "horizontal", diff --git a/Egenvärderna (Kap 10).md b/Egenvärderna (Kap 10).md index 3bc42ea..adea8ee 100644 --- a/Egenvärderna (Kap 10).md +++ b/Egenvärderna (Kap 10).md @@ -1,61 +1,84 @@ **DEF**: *Låt $A$ vara $m\times{n}$ matris. Polynomet $$p_A(\lambda)=\det(A-\lambda I)$$. Kallas för matrisens kavaktieiska polynom. $\lambda\dots$ variabeln för detta polynom* -**EX**: $$\begin{aligned} -\text{Låt }A=\begin{bmatrix} -2&-1\\ -3&-2 -\end{bmatrix}.\text{ Då är }A-\lambda{I}=\\ -\begin{bmatrix} -2&-1\\ -3&-2 -\end{bmatrix}- -\begin{bmatrix} -\lambda&0\\ -0&\lambda -\end{bmatrix}= -\begin{bmatrix} -2-\lambda&-1\\ -3&-2-\lambda -\end{bmatrix}\\ -\Rightarrow\det(A-\lambda{I})= -\begin{vmatrix} -2-\lambda&-1\\ -3&-2-\lambda -\end{vmatrix}= -(2-\lambda)(-2-\lambda)-(-1)\times3\\ -=-4\cancel{-2\lambda}\cancel{+2\lambda}+\lambda^2+3=\underbrace{\lambda^2-4}\\ -\text{OBS: En $2\times2$ matris har en andragrads karaktieristisk polynom} -\end{aligned}$$ +**EX**: $$\begin{aligned}\text{Låt }A=\begin{bmatrix}2&-1\\3&-2\end{bmatrix}.\text{ Då är }A-\lambda{I}=\\\begin{bmatrix}2&-1\\3&-2\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}\lambda&0\\0&\lambda\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2-\lambda&-1\\3&-2-\lambda\end{bmatrix}\\\Rightarrow\det(A-\lambda{I})=\begin{vmatrix}2-\lambda&-1\\3&-2-\lambda\end{vmatrix}=(2-\lambda)(-2-\lambda)-(-1)\times3\\=-4\cancel{-2\lambda}\cancel{+2\lambda}+\lambda^2+3=\underbrace{\lambda^2-4}\\\text{OBS: En $2\times2$ matris har en andragrads karaktieristisk polynom}\end{aligned}$$ **DEF**: *Låt A vara en $m\times{n}$ matris. Nollställena till matrisens karakterisktiska polynom kalla för matrisens egenvärdarna.*$$P_A(\lambda)=0$$ **OBS**: - *En $m\times{n}$ matris har alltid $m$ stycken egenvärden räknad med multiplicitet.* $$P_A(\lambda)=(\lambda-1)^3(\lambda-2)\Rightarrow\underbrace{4}.\text{ Lösninger: }\lambda=1,\lambda=1,\lambda=1,\lambda=2$$ - *En matris med reella element behöver inte ha reella egenvärden* $$P_A(\lambda)=\lambda^2+1\Rightarrow\lambda^2+1=0\Rightarrow\lambda=+i,\lambda=-i$$ **EX**: $$\begin{aligned}A=\begin{bmatrix}2&-1\\3&-2\end{bmatrix}\Rightarrow P_A(\lambda)=\lambda^2-1\Rightarrow\text{egenvärdena: }\lambda^2-1=0\Rightarrow\lambda=\pm1\end{aligned}$$ -**EX**: $$\begin{aligned} -\text{Beräknaq egenvärdena av matrisen }A=\begin{bmatrix} -13&4&8\\ --6&-1&-4\\ -18&-6&-11 -\end{bmatrix}\\ -\text{Vi beräknar:}\\ -\det(A-\lambda I)=\begin{vmatrix} -13-\lambda&4&8\\ --6&-1-\lambda&-4\\ --18&-6&-11-\lambda -\end{vmatrix}=\\ -(13-\lambda)\begin{vmatrix} --1-\lambda&-4\\ --6&-11-\lambda -\end{vmatrix}-4\begin{vmatrix} --6&-4\\ --18&-11\lambda -\end{vmatrix}+8\begin{vmatrix} --6&-1-\lambda\\ --18&-6 -\end{vmatrix}\\ -(13-\lambda)\left(11+\lambda+11\lambda+\lambda^2-24\right)-4(66+6\lambda-72)+8(36-18-18\lambda)\\ -=(13-\lambda)(\lambda^2+12\lambda-13)-4(64-6)+8(18-18\lambda)\\ -=13\lambda^2+12\times13\lambda-13^2-\lambda^3-12\lambda^2+13\lambda-24\lambda+24+144-144\lambda\\ -=-\lambda^3+\lambda^2+\lambda-1=-\lambda^2)(\lambda-1)+(\lambda-1)=(\lambda-1)(-\lambda^2-1)=\\ -(\lambda-1)\times(-1)\times(\lambda^2-1)=(\lambda^2-1)\times(-1)\times(\lambda-1)(\lambda+1)\\ -=-(\lambda-1)^2(\lambda+1) -\end{aligned}$$ \ No newline at end of file +**EX**: $$\begin{aligned}\text{Beräknaq egenvärdena av matrisen }A=\begin{bmatrix}13&4&8\\-6&-1&-4\\18&-6&-11\end{bmatrix}\\\text{Vi beräknar:}\\\det(A-\lambda I)=\begin{vmatrix}13-\lambda&4&8\\-6&-1-\lambda&-4\\-18&-6&-11-\lambda\end{vmatrix}=\\(13-\lambda)\begin{vmatrix}-1-\lambda&-4\\-6&-11-\lambda\end{vmatrix}-4\begin{vmatrix}-6&-4\\-18&-11\lambda\end{vmatrix}+8\begin{vmatrix}-6&-1-\lambda\\-18&-6\end{vmatrix}\\(13-\lambda)\left(11+\lambda+11\lambda+\lambda^2-24\right)-4(66+6\lambda-72)+8(36-18-18\lambda)\\=(13-\lambda)(\lambda^2+12\lambda-13)-4(64-6)+8(18-18\lambda)\\=13\lambda^2+12\times13\lambda-13^2-\lambda^3-12\lambda^2+13\lambda-24\lambda+24+144-144\lambda\\=-\lambda^3+\lambda^2+\lambda-1=-\lambda^2)(\lambda-1)+(\lambda-1)=(\lambda-1)(-\lambda^2-1)=\\(\lambda-1)\times(-1)\times(\lambda^2-1)=(\lambda^2-1)\times(-1)\times(\lambda-1)(\lambda+1)\\=-(\lambda-1)^2(\lambda+1)\end{aligned}$$ +**SATS**: *Låt $A$ vara en $m\times{n}$ matris, ich anta att $A$ antigen är diagonal eller triangulär (över eller under). Då sammanfaller engenvärdena med matrisens diagonala element* +**BEVIS**: *Observera att matrisen $A-\lambda I$ är också diagonal eller tirangulär. Men för sådana matriser är determinanten lika med produkten av diagonala element (Föreläsning 12)*$$\begin{aligned}\Rightarrow P_A(\lambda)=\det(A-\lambda I)=\prod_{i=1}^{m}(a_{ii}-\lambda)\\\Rightarrow P_A(\lambda)=0\text{ precis för }\lambda=a_{11},\;\lambda=a_{22}\;\dots,\;\lambda=a_{mm}\end{aligned}$$ +**DEF**: *Låt $A$ vara en $m\times{n}$ matris och $\lambda$ vara ett av matrisens egenvärden. En $m\times1$ kolumnmatris $\overrightarrow{x}$ kallas för en egenvektor tillhörande $\lambda$ om $\overrightarrow{x}\neq\overrightarrow{0}$ och $A\overrightarrow{x}=\lambda\overrightarrow{x}$* +**OBS**: +- *Varje egenvärde har minst en egenskap* +- *Om ett egenvärde upprepas, kan vi endast ha en linjärt oberoende egenvektor* +- *Följande kan också hända: För ett egenvärde som upprepas $k$-gånger kan det finnas $k$ linjärt oberoende egenvektorer* +- *Egenskaper räknas ut med hjälp av ett gauss shcema* +**EX** $$\begin{aligned} +A=\begin{bmatrix} +2&-1\\ +3&-1 +\end{bmatrix},\text{ där vi redan har beröknat att }\lambda=\pm1\text{ egenvärdena}\\ +\text{Vad är de motsvarande egenvektorerna?}\\ +\begin{aligned} +\text{Vilket schema?}\Rightarrow\begin{aligned} +VL=A-\lambda I\\ +HL=\overrightarrow{o} +\end{aligned} +&& +\begin{pmatrix} +A\overrightarrow{x}&=\lambda\overrightarrow{x}\\ +A\overrightarrow{x}-\lambda\overrightarrow{x}&=\overrightarrow{0}\\ +\left(A-\lambda I\right)\overrightarrow{x}&\overrightarrow{0} +\end{pmatrix} +\end{aligned}\\ +\lambda=+1:\begin{pmatrix} +1&-3&|&0\\ +3&-3&|&0 +\end{pmatrix} +\begin{aligned} +R_2-3R_1\rightarrow{R_2}\\ +\xrightarrow{} +\end{aligned} +\begin{pmatrix} +1&-1&|&0\\ +0&0&|&0 +\end{pmatrix}\Rightarrow\overrightarrow{x}\\=\begin{bmatrix} +x\\y +\end{bmatrix}\text{ Där }\begin{aligned} +y=t\text{ (fri variable)}\\ +x-y=0\Rightarrow x=t +\end{aligned}\\\\ +\lambda=-1:\begin{pmatrix} +3&-1&|&0\\ +3&-1&|&0 +\end{pmatrix} +\begin{aligned} +R_2-R_1\rightarrow{R_2}\\ +\xrightarrow{} +\end{aligned} +\begin{pmatrix} +3&-1&|&0\\ +0&0&|&0 +\end{pmatrix}\\ +\begin{aligned} +\frac13R_1\rightarrow{R_1}\\ +\xrightarrow{} +\end{aligned} +\begin{pmatrix} +1&-\frac13&|&0\\ +0&0&|&0 +\end{pmatrix}\Rightarrow\begin{aligned} +y=t\text{ (fri variable)}\\ +x-\frac13y=0\Rightarrow x=\frac13t\\\Rightarrow\begin{bmatrix} +x\\y +\end{bmatrix} +=\begin{bmatrix} +\frac13t\\ +t +\end{bmatrix}=t\times\begin{bmatrix} +\frac13\\ +1 +\end{bmatrix} +\end{aligned} +\end{aligned}$$