vault backup: 2026-02-02 16:07:18

Ekvations System.md

@@ -10,6 +10,21 @@
 
 *Ex*: $$\begin{aligned}x_1-2x_2-3x_x=0\\x_1-x_4=-2\\\\A=\begin{bmatrix}1&-2&-3&0\\1&0&0&-1\end{bmatrix}\\\overrightarrow{x}=\left[\begin{aligned}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{aligned}\right]\;\;\;\overrightarrow{b}=\left[\begin{aligned}0\\-2\end{aligned}\right]\end{aligned}$$
 - **Def**: *Ett gauss schema är en sammling av $A$, och $\overrightarrow{b}$ som tillhör ett ekvastions system:*$$\left(A\mid\overrightarrow{b}\right)=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}&|&b_1\\a_{21}&a_{22}&\dots&a_{2n}&|&b_2\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&|&\vdots&\\a_{m1}&a_{m2}&\dots&a_{mn}&|&b_m\end{pmatrix}$$
+	- *Ett Jauss Schema (tillhörande ett ekvationssystem) har refuserats till sin trappform om följande gäller*
+		- *Varje rad börjar med en etta på $VL$(kallas för ledande etta), eller så är alla elementen på $VL$ lika med $0$*
+		- *Varje successivt rad börjar med en etta minst en kolumn senare, eller så är alla element på $VL$ lika med $0$*
+	- *Ur trappform kan vi läsa av ekvationssystemets egenskaper*
+		1. *Varje rad som har en ledande etta bestämmer en **pivåvariabel** - det är den variabeln som motsvarar kolumnen där ledande ettan befiner sig. Variabeln som inte har en motsvarande ledande etta är fria variabler*
+		2. *Ett ekvationssystem har:*
+			- *En entydlig lösning*: *Alla variablar är **privåvariabler***
+			- *Oändligt många lösningar*: *Mist en fri variable*
+			- *Saknar lösning*: *Om vi har en rad i trappformen där alla element på $VL$ är $0$, medans $HL$ är nollställen*
+	- *Ett ekvations system är antigen*
+		- *Exakt-bestämnd*: *Lika många ekvationer som variabler*
+		- *Över-bestämnd*: *Mera ekvationser än variabler*
+		- *Under-bestämnd*: *Mindre ekvationser än variablar*
+- **Ex**: **Exakt bestämd system/Entydlig lösning**
+	1. $$\begin{aligned}\begin{aligned}x-2y+z&=&3\\2x+y&=&1\\3y+2z&=&2\end{aligned}\Rightarrow\begin{pmatrix}1&-2&1&|&3\\2&-1&0&|&1\\0&3&2&|&2\end{pmatrix}\\\begin{aligned}\frac12R_2\rightarrow{R_2}\\\xrightarrow{}\end{aligned}\begin{pmatrix}1&-2&1&|&3\\1&-\frac12&0&|&\frac12\\0&3&2&|&2\end{pmatrix}\begin{aligned}R_2-R_1\rightarrow{R_2}\\\xrightarrow{}\end{aligned}\begin{pmatrix}1&-2&1&|&3\\0&\frac32&-1&|&-\frac52\\0&3&2&|&2\end{pmatrix}\\\begin{aligned}\frac32R_2\rightarrow{R_2}\\\xrightarrow{}\end{aligned}\begin{pmatrix}1&-2&1&|&3\\0&1&-\frac23&|&-\frac53\\0&3&2&|&2\end{pmatrix}\begin{aligned}R_3-3R_2\rightarrow{R_3}\\\xrightarrow{}\end{aligned}\begin{pmatrix}1&-2&1&|&3\\0&1&-\frac23&|&-\frac53\\0&0&4&|&7\end{pmatrix}\\\begin{aligned}\frac14R_3\rightarrow{R_3}\\\xrightarrow{}\end{aligned}\begin{pmatrix}1&-2&1&|&3\\0&1&-\frac23&|&-\frac53\\0&0&1&|&\frac74\end{pmatrix}\end{aligned}$$ *Vi hat nu bekräftat att ekvations systemet har en entydlig lösning*$$\begin{aligned}1\times{z}=\frac74\Longrightarrow{z=\frac74}\\1\times{y}-\frac23z=-\frac53\Rightarrow{y}=\frac23z-\frac53=\end{aligned}$$
 - **Ex**: $$\begin{aligned}\begin{aligned}x_1-2x_2-3x_x&=&0\\x_1-x_4&=&-2\end{aligned}\\\\\Rightarrow\begin{pmatrix}1&-2&-3&0&|&0\\1&0&0&-1&|&-2\end{pmatrix}\end{aligned}$$
 - **Ex**: $$\left.\begin{aligned}x+2y-u+3v&=&2\\2x+3y+2z-2u+10v&=&0\\x+3y-2z-4u+2v&=&3\\\underbrace{-x-3y+2z+3u-v}_{\substack{\text{VL $4\times5$}\\\text{=20 platser i schemat}}}&=&\underbrace{-4}_{\substack{\text{HL $4$}\\\text{ platser}}}\\\end{aligned}\right.\Rightarrow\left(a\mid\overrightarrow{b}\right)=\begin{pmatrix}1&2&0&-1&3&|&2\\2&3&2&-2&10&|&0\\1&3&-2&-3&2&|&3\\-1&-3&2&3&1&|&-4\end{pmatrix}$$
 *Hur räknar man med ett gauss schema? Man räknar med hjälp av elemäntera radoperationer:*