vault backup: 2025-11-03 14:20:29

Funktioner Forts.md

@@ -8,8 +8,31 @@
 	- Strängt växande: $x_1<x_2\Rightarrow{f(x_1)}<f(x_2)$
 	- Avtagande: $x_1<x_2\Rightarrow{f(x_1)}\geq{f(x_2)}$
 	- Avtagande: $x_1<x_2\Rightarrow{f(x_1)}>f(x_2)$
+	- *(Strängt) Monoton funktion är (Strängt) växande eller (Strängt) avtagande*
 - Jämna, Udda funktioner
 	- Jämna: $f(-x)=f(x)$
 		- Ex: $|x|,\;x^2,\;\cos{x}$
+		- $$\begin{align*}f\text{ är udda }, O\in{D_f}\\f(-x)=-f(x)\forall{x}\in{D_f}\\f(-o)=-f(o)\\\Leftrightarrow{f(o)=-f(o)}\Leftrightarrow{2f(o)=0}\\\Leftrightarrow f(o)=\frac{o}{2}=O\end{align*}$$
 	- Udda: $f(-x)=-f(x)$
-		- Ex: $x,\;x^3,\;\sin{x}$ 
+		- Ex: $x,\;x^3,\;\sin{x}$ 
+- Sammansatta funktion
+	- $g\circ{f(x)}=g(f(x))$ 
+	- **Egenskaper**:
+		- $V_{g\circ{f}}\subseteq{V_g}$
+		- $V_{f}\subseteq{D_g}$
+	- Ex: $$\begin{align*}f(x)=\sqrt{x}\text{ and }g(x)=(x+5)^2\\f\circ{g}(x)=f(g(x))=f((x+5)^2)=\sqrt{(x+5)^2}=|x+5|\\g\circ{f}(x)=g(f(x))=g(\sqrt{x})=(\sqrt{x}+5)^2\\\text{I allmänhet }f\circ{g(x)}\neq{g\circ{f(x)}}\end{align*}$$
+- Inverse
+	- **Def**: *En funktion $g$ är inverse till funktionen $f$ om $g\circ{f(x)}=x$ och $f\circ{g(x)}=x$ för varje $x\in{D_f}$*
+	- ![[f_inverse.png]]
+	- **OPS**: $f^{-1}(x)\neq{(f(x))^{-1}}$
+	- Betekning: $f^{-1}$ är inverse till $f$
+	- Graf till inversen $f^{-1}$ är spegling av grafen till f i linjen $y=x$
+	- Injektiv funktion: $\forall{x_1,x_2}\in{D_f},\;x_1\neq{f(x_2}\rightarrow{x_1}\neq{f(x_2)}=\frac{1}{f(x)}$$$\begin{align}f\\x_1\neq{x_2}\Rightarrow{f(x_1)}\neq{f(x_2)}\end{align}$$
+	- $f$ är stängt monoton $\Rightarrow\;x$ är injektiv (inverterbar) på $D_f$
+	- $f$ är inverterbar $\Rightarrow\;D_{f-1}=V_f$ och $V_{f-1}=D_f$
+	- Ex:
+		- $f(x)\left\{\begin{align}-x+5,\;0\leq{x}\leq2\\x-4,\;2\leq{x}<4\end{align}\right.$
+		- ![[g1.png]]
+		- $f(x)=x^2,\;x\in[0,1]$ $D_f=[0,1]$
+		- ![[g2.png]]
+		- $$\begin{align}f(x)=3x+5\\g(x)=\frac{x-5}{3}\end{align}$$