vault backup: 2025-11-03 14:20:29

.obsidian/community-plugins.json

@@ -1,4 +1,5 @@
 [
   "obsidian-git",
-  "obsidian-style-settings"
+  "obsidian-style-settings",
+  "obsidian-tikzjax"
 ]

.obsidian/plugins/obsidian-tikzjax/manifest.json

@@ -0,0 +1,10 @@
+{
+	"id": "obsidian-tikzjax",
+	"name": "TikZJax",
+	"version": "0.5.2",
+	"minAppVersion": "0.12.0",
+	"description": "Render LaTeX and TikZ diagrams in your notes",
+	"author": "artisticat",
+	"authorUrl": "https://github.com/artisticat1",
+	"isDesktopOnly": false
+}

.obsidian/workspace.json

@@ -24,20 +24,6 @@
           {
             "id": "66704e0159322e3f",
             "type": "leaf",
-            "state": {
-              "type": "markdown",
-              "state": {
-                "file": "Grafer.md",
-                "mode": "source",
-                "source": false
-              },
-              "icon": "lucide-file",
-              "title": "Grafer"
-            }
-          },
-          {
-            "id": "d6a3070519ac0599",
-            "type": "leaf",
             "state": {
               "type": "markdown",
               "state": {
@@ -50,7 +36,7 @@
             }
           }
         ],
-        "currentTab": 2
+        "currentTab": 1
       }
     ],
     "direction": "vertical"
@@ -107,8 +93,7 @@
       }
     ],
     "direction": "horizontal",
-    "width": 300,
+    "width": 300
-    "collapsed": true
   },
   "right": {
     "id": "b700e0cd0f882a5c",
@@ -210,10 +195,13 @@
       "obsidian-git:Open Git source control": false
     }
   },
-  "active": "d6a3070519ac0599",
+  "active": "66704e0159322e3f",
   "lastOpenFiles": [
+    "g2.png",
     "Grafer.md",
+    "g1.png",
     "Funktioner Forts.md",
+    "f_inverse.png",
     "Funktioner.md",
     "Untitled.canvas"
   ]

Funktioner Forts.md

@@ -8,8 +8,31 @@
 	- Strängt växande: $x_1<x_2\Rightarrow{f(x_1)}<f(x_2)$
 	- Avtagande: $x_1<x_2\Rightarrow{f(x_1)}\geq{f(x_2)}$
 	- Avtagande: $x_1<x_2\Rightarrow{f(x_1)}>f(x_2)$
+	- *(Strängt) Monoton funktion är (Strängt) växande eller (Strängt) avtagande*
 - Jämna, Udda funktioner
 	- Jämna: $f(-x)=f(x)$
 		- Ex: $|x|,\;x^2,\;\cos{x}$
+		- $$\begin{align*}f\text{ är udda }, O\in{D_f}\\f(-x)=-f(x)\forall{x}\in{D_f}\\f(-o)=-f(o)\\\Leftrightarrow{f(o)=-f(o)}\Leftrightarrow{2f(o)=0}\\\Leftrightarrow f(o)=\frac{o}{2}=O\end{align*}$$
 	- Udda: $f(-x)=-f(x)$
 		- Ex: $x,\;x^3,\;\sin{x}$ 
+- Sammansatta funktion
+	- $g\circ{f(x)}=g(f(x))$ 
+	- **Egenskaper**:
+		- $V_{g\circ{f}}\subseteq{V_g}$
+		- $V_{f}\subseteq{D_g}$
+	- Ex: $$\begin{align*}f(x)=\sqrt{x}\text{ and }g(x)=(x+5)^2\\f\circ{g}(x)=f(g(x))=f((x+5)^2)=\sqrt{(x+5)^2}=|x+5|\\g\circ{f}(x)=g(f(x))=g(\sqrt{x})=(\sqrt{x}+5)^2\\\text{I allmänhet }f\circ{g(x)}\neq{g\circ{f(x)}}\end{align*}$$
+- Inverse
+	- **Def**: *En funktion $g$ är inverse till funktionen $f$ om $g\circ{f(x)}=x$ och $f\circ{g(x)}=x$ för varje $x\in{D_f}$*
+	- ![[f_inverse.png]]
+	- **OPS**: $f^{-1}(x)\neq{(f(x))^{-1}}$
+	- Betekning: $f^{-1}$ är inverse till $f$
+	- Graf till inversen $f^{-1}$ är spegling av grafen till f i linjen $y=x$
+	- Injektiv funktion: $\forall{x_1,x_2}\in{D_f},\;x_1\neq{f(x_2}\rightarrow{x_1}\neq{f(x_2)}=\frac{1}{f(x)}$$$\begin{align}f\\x_1\neq{x_2}\Rightarrow{f(x_1)}\neq{f(x_2)}\end{align}$$
+	- $f$ är stängt monoton $\Rightarrow\;x$ är injektiv (inverterbar) på $D_f$
+	- $f$ är inverterbar $\Rightarrow\;D_{f-1}=V_f$ och $V_{f-1}=D_f$
+	- Ex:
+		- $f(x)\left\{\begin{align}-x+5,\;0\leq{x}\leq2\\x-4,\;2\leq{x}<4\end{align}\right.$
+		- ![[g1.png]]
+		- $f(x)=x^2,\;x\in[0,1]$ $D_f=[0,1]$
+		- ![[g2.png]]
+		- $$\begin{align}f(x)=3x+5\\g(x)=\frac{x-5}{3}\end{align}$$