vault backup: 2026-02-04 14:06:09

Ekvations System.md

@@ -28,7 +28,7 @@
 		- *Vi hat nu bekräftat att ekvations systemet har en entydlig lösning*$$\begin{aligned}1\times{z}=\frac74\Longrightarrow{z=\frac74}\\1\times{y}-\frac23z=-\frac53\Rightarrow{y}=\frac23z-\frac53=\end{aligned}$$
 	2. **Exakt-bestämnd system/oändliga lösningar**$$\begin{aligned}\begin{aligned}x-2y+z&=&3\\2x-2y&=&1\\3x-4y+z&=&4\end{aligned}\Rightarrow\begin{pmatrix}1&-2&1&|&3\\2&-2&0&|&1\\3&-4&1&|&4\end{pmatrix}\begin{aligned}R_2-2R_1\rightarrow{R_2}\\R_3-3R_1\rightarrow{R_3}\\\xrightarrow{}\end{aligned}\begin{pmatrix}1&-2&1&|&3\\0&2&-2&|&-5\\0&2&-2&|&-5\end{pmatrix}\\\begin{aligned}R_3-R_2\rightarrow{R_3}\\\xrightarrow{}\end{aligned}\begin{pmatrix}1&-2&1&|&3\\0&2&-2&|&-5\\0&0&0&|&0\end{pmatrix}\begin{aligned}\frac12R_2\rightarrow{R_2}\\\xrightarrow{}\end{aligned}\begin{pmatrix}1&-2&1&|&3\\0&1&-1&|&-\frac52\\0&0&0&|&0\end{pmatrix}\Rightarrow\\\begin{aligned}\text{Vi har två pivåvariabler $x$ och $y$, och en fri variabel, $z$. Vi har altså oändligt många lösningar.}\end{aligned}\end{aligned}$$
 		- *Eftersom $z$ är en fri variabler kan $z=t$, och $t\in\mathbb{R}$. sampt* $$\begin{aligned}y-z=-\frac52\Rightarrow{y}=z-\frac52=t-\frac52\\x-2y+z=3\Rightarrow{x}=2y-z+3=2\left(t-\frac52\right)-t+3=t-2\\\end{aligned}$$
-	3. **Exakt-bestämnd system/Saknar lösningar** $$\begin{aligned}\begin{aligned}x-3y+2z&=&3\\x-2y&=&2\\2x-5y+2z&=&4\end{aligned}\Rightarrow\begin{pmatrix}1&-3&2&|&3\\1&-2&2&|&2\\2&-5&2&|&-4\end{pmatrix}\begin{aligned}R_2-R_1\rightarrow{R_2}\\R_3-2R_1\rightarrow{R_3}\\\xrightarrow{}\end{aligned}\begin{pmatrix}1&-3&2&|&3\\0&1&0&|&-1\\0&1&-2&|&-2\end{pmatrix}\\\begin{aligned}R_3-R_2\rightarrow{R_3}\\\xrightarrow{}\end{aligned}\pmatrix{1&-3&2&|&3\\0&1&2&|&-1\\0&0&0&|&-1}\end{aligned}$$
+	3. **Exakt-bestämnd system/Saknar lösningar** $$\begin{aligned}\begin{aligned}x-3y+2z&=&3\\x-2y&=&2\\2x-5y+2z&=&4\end{aligned}\Rightarrow\begin{pmatrix}1&-3&2&|&3\\1&-2&2&|&2\\2&-5&2&|&-4\end{pmatrix}\begin{aligned}R_2-R_1\rightarrow{R_2}\\R_3-2R_1\rightarrow{R_3}\\\xrightarrow{}\end{aligned}\begin{pmatrix}1&-3&2&|&3\\0&1&0&|&-1\\0&1&-2&|&-2\end{pmatrix}\\\begin{aligned}R_3-R_2\rightarrow{R_3}\\\xrightarrow{}\end{aligned}\begin{pmatrix}1&-3&2&|&3\\0&1&2&|&-1\\0&0&0&|&-1\end{pmatrix}\end{aligned}$$
 		- **OBS** *Rad $2$ och $3$ säger att det skall vara $-2$ medans de int har samma $VL$, detta går inte! samt säger det $0x+0y+0z=-1\Leftrightarrow{0=-1}$*
 	4. **Över-bestämd system/Entydlig Lösning** $$\begin{aligned}\begin{aligned}x-3y+2z&=&3\\x-2y&=&2\\x-y-z&=&2\\2x-5y+2z&=&5\end{aligned}\Rightarrow\begin{pmatrix}1&-3&2&|&3\\1&-2&0&|&2\\1&-1&-1&|&2\\2&-5&2&|&5\end{pmatrix}\begin{aligned}R_2-R_1\rightarrow{R_2}\\R_3-R_1\rightarrow{R_3}\\R_4-2R_1\rightarrow{R_4}\\\xrightarrow{}\end{aligned}\\\begin{pmatrix}1&-3&2&|&3\\0&1&-2&|&-1\\0&2&-3&|&-1\\0&1&-2&|&-1\end{pmatrix}\begin{aligned}R_3-2R_2\rightarrow{R_3}\\R_4-R_2\rightarrow{R_4}\\\xrightarrow{}\end{aligned}\begin{pmatrix}1&-3&2&|&3\\0&1&-2&|&-1\\0&0&1&|&1\\0&0&0&|&0\end{pmatrix}\end{aligned}$$
 		- *Vi har fott en entydlig lösning med*$$\begin{aligned}z=1\\y-2z=-1\Rightarrow{}y=2z-1=1\\x-3y+2z=3\Rightarrow{}x=3y-2z+3=4\end{aligned}$$