vault backup: 2025-11-12 15:01:58

Gräsvärde (1).md

@@ -0,0 +1,21 @@
+- Gränsvärden
+	- **Def**: *Om för varje $\epsilon>0$ existerar $\delta>0$ så att $$\mid{x-a}\mid<\delta\Rightarrow\mid{f(x)-L}\mid<\epsilon$$är talet $L$ gransvärde till $f(x)$ då $x$ får mot $a$. Betekning: $f(x)\longrightarrow{L}$ då $x\longrightarrow{a}$, eller $$\lim_{x\to{a}} f(x)=L$$*
+	- **Def**: *Om för varje $\epsilon>0$ existerar $M>0$ så att$$x>M\;\Rightarrow\;\mid{f(x)-L}\mid<\epsilon$$är talet $L$ gränsvärde till $f(x) då $x$ går mot oändlighit. Beteckning: $f(x)\longrightarrow{L}$ då $x\longrightarrow\infty$, eller $$\lim_{x\to\infty}f(x)=L$$*
+- Remarks
+	- *Om det inte fins sådant $L$ värde, saknar funktionen gränsvärde på punkten $a$,*
+		- **Ex**: $$\begin{align}f(x)=\sin x\\\lim_{x\to\infty}\sin x\\\text{Existerar inte}\end{align}$$
+		- **Ex**: $$\begin{align}f(x)=\sin\frac1x\\\lim_{x\to0}\sin\frac1x\\\text{Existerar inte}\end{align}$$
+	- *Punkten $a$ behöver inte vara i $D_f$.*
+	- *Beteende av funktionen kring "problempunkter" är intressant.*
+	- *Långsiktig beteende hos funktioner: $$\lim_{x\longrightarrow\infty}f(x)$$*
+	- *Derivator, integraler, asymptot etc definieras med hjälp av gränsvärde.*
+	- *Om $a$ int är "problempunkt" stoppar vi in $x=a$ i $f(x)$*
+	- **Def**: *"Problempunkt" t.ex $\lim_{x\to 0}\frac1x$ går inte att direkt lösa på grund av division med $0$*
+- One sided limits
+	- ![[gv1.png]]
+- Problem fall
+	- $\left[\frac00\right]$ form: **Ex**: $$\lim_{x\to1}\frac{x^2-3x+2}{x^2-1},\;\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}x,\;\lim_{x\to\infty}\frac{\tan{x}}x$$
+	- $\left[\frac\infty\infty\right]$ form: **Ex**: $$\lim_{x\to\infty}\frac{x^2-3x+2}{x^2-1},\;\lim_{x\to\infty}\frac{x^3}{2^x}$$
+	- $\left[0\times\infty\right]$ form: **Ex**: $$\lim_{x\to\infty}x^2\ln\mid{x}\mid$$
+	- $\left[0^0\right]$ form: **Ex**: $$\lim_{x\to0+}x^x$$
+	- $\left[\infty^0\right]$ form **Ex**: $$\lim_{x\to\infty}$$