vault backup: 2025-11-12 15:01:58

.obsidian/workspace.json

@@ -76,9 +76,23 @@
               "icon": "lucide-file",
               "title": "Komplexa tal"
             }
+          },
+          {
+            "id": "76c8d943958d45bf",
+            "type": "leaf",
+            "state": {
+              "type": "markdown",
+              "state": {
+                "file": "Gräsvärde (1).md",
+                "mode": "source",
+                "source": false
+              },
+              "icon": "lucide-file",
+              "title": "Gräsvärde (1)"
+            }
           }
         ],
-        "currentTab": 4
+        "currentTab": 5
       }
     ],
     "direction": "vertical"
@@ -238,15 +252,17 @@
       "obsidian-git:Open Git source control": false
     }
   },
-  "active": "be47d5ede3a9176b",
+  "active": "76c8d943958d45bf",
   "lastOpenFiles": [
+    "gv1.png",
+    "Funktioner.md",
+    "Funktioner Forts.md",
+    "Gräsvärde (1).md",
+    "Komplexa tal.md",
+    "Grafer.md",
+    "Trigonometri.md",
     "k2.png",
     "k1.png",
-    "Trigonometri.md",
-    "Komplexa tal.md",
-    "Funktioner Forts.md",
-    "Grafer.md",
-    "Funktioner.md",
     "f_inverse.png",
     "g2.png",
     "g1.png",

Gräsvärde (1).md

@@ -0,0 +1,21 @@
+- Gränsvärden
+	- **Def**: *Om för varje $\epsilon>0$ existerar $\delta>0$ så att $$\mid{x-a}\mid<\delta\Rightarrow\mid{f(x)-L}\mid<\epsilon$$är talet $L$ gransvärde till $f(x)$ då $x$ får mot $a$. Betekning: $f(x)\longrightarrow{L}$ då $x\longrightarrow{a}$, eller $$\lim_{x\to{a}} f(x)=L$$*
+	- **Def**: *Om för varje $\epsilon>0$ existerar $M>0$ så att$$x>M\;\Rightarrow\;\mid{f(x)-L}\mid<\epsilon$$är talet $L$ gränsvärde till $f(x) då $x$ går mot oändlighit. Beteckning: $f(x)\longrightarrow{L}$ då $x\longrightarrow\infty$, eller $$\lim_{x\to\infty}f(x)=L$$*
+- Remarks
+	- *Om det inte fins sådant $L$ värde, saknar funktionen gränsvärde på punkten $a$,*
+		- **Ex**: $$\begin{align}f(x)=\sin x\\\lim_{x\to\infty}\sin x\\\text{Existerar inte}\end{align}$$
+		- **Ex**: $$\begin{align}f(x)=\sin\frac1x\\\lim_{x\to0}\sin\frac1x\\\text{Existerar inte}\end{align}$$
+	- *Punkten $a$ behöver inte vara i $D_f$.*
+	- *Beteende av funktionen kring "problempunkter" är intressant.*
+	- *Långsiktig beteende hos funktioner: $$\lim_{x\longrightarrow\infty}f(x)$$*
+	- *Derivator, integraler, asymptot etc definieras med hjälp av gränsvärde.*
+	- *Om $a$ int är "problempunkt" stoppar vi in $x=a$ i $f(x)$*
+	- **Def**: *"Problempunkt" t.ex $\lim_{x\to 0}\frac1x$ går inte att direkt lösa på grund av division med $0$*
+- One sided limits
+	- ![[gv1.png]]
+- Problem fall
+	- $\left[\frac00\right]$ form: **Ex**: $$\lim_{x\to1}\frac{x^2-3x+2}{x^2-1},\;\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}x,\;\lim_{x\to\infty}\frac{\tan{x}}x$$
+	- $\left[\frac\infty\infty\right]$ form: **Ex**: $$\lim_{x\to\infty}\frac{x^2-3x+2}{x^2-1},\;\lim_{x\to\infty}\frac{x^3}{2^x}$$
+	- $\left[0\times\infty\right]$ form: **Ex**: $$\lim_{x\to\infty}x^2\ln\mid{x}\mid$$
+	- $\left[0^0\right]$ form: **Ex**: $$\lim_{x\to0+}x^x$$
+	- $\left[\infty^0\right]$ form **Ex**: $$\lim_{x\to\infty}$$

Komplexa tal.md

@@ -20,5 +20,11 @@
 	- **Eulers formel**: $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$
 	- Varje komplex tal $z=x+yi$ kan skrivas på pol'r form som $$z=re^{i\theta}$$ där $$r=\sqrt{x^2+y^2}$$ och $arg(z)=\theta$ är så att $$\cos\theta=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\text{ och }\sin\theta=\frac{y}{x^2+y^2}$$
 	- **de Moivre**: $z=re^{i\theta}\Rightarrow z^n=r^ne^{in\theta}=r^n(\cos(n\theta)+i\sin(n\theta))$
-	- **Ex**: Lös $z^3=1+i\sqrt3$ $$\begin{align}r=\sqrt{1^2+\sqrt3^2}\\=\sqrt{1+3}\\=\sqrt{4}\\=2\\\\\end{align}$$
+	- **Ex**: Lös $z^3=1+i\sqrt3$ $$\begin{align*}1+i\sqrt3=n_\circ e^{i\theta}, \theta\in\left[0,2\pi\right)\\n_\circ=\sqrt{1^2+\left(\sqrt3\right)^2}=2\\\theta\in\left[0,2\pi\right)\text{ uppfyller}\\\cos\theta=\frac12,\sin\theta=\frac{\sqrt3}2\\\Rightarrow\theta=\frac\pi3\\z^3=1+i\sqrt3=2e^{i\frac\pi3}\\\text{Låt }z=n_1e^{i\phi}\\\text{Då är }z^3=n_1^3e^{i3\phi}\\\Leftrightarrow\left\{\begin{aligned}n_1^3=2,n\in\mathbb{R}\\e\phi=\frac\pi3+2\pi{k},k\in\mathbb{Z},\phi\in\left[0,2\pi\right)\end{aligned}\right.\\\Leftrightarrow\left\{\begin{aligned}n_1=\sqrt[3]{2}\\\phi=\frac\pi9+\frac{2\pi k}{3},k=0,1,2\end{aligned}\right.\\k=0:\;\phi=\frac\pi9+\frac{2\pi}3\times0=\frac\pi9\\k=1:\;\phi=\frac\pi9+\frac{2\pi}3=\frac{7\pi}9\\k=2:\;\phi=\frac\pi9+\frac{2\pi}4\times2=\frac{13\pi}9\end{align*}$$
-	- **Ex 2**: $$\begin{align}z=-\frac{\sqrt3}{2}+\frac{1}{2}i\\z=ne^{i\theta}\\n=\sqrt{\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2}=1\\\theta\text{ är så att }\cos\theta=\frac{\sqrt{3}}{2},\sin\theta=\frac{1}{2}\\\text{En lösning}:\end{align}$$
+	- **Ex 2**: $$\begin{align}z=-\frac{\sqrt3}{2}+\frac{1}{2}i\\z=ne^{i\theta}\\n=\sqrt{\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2}=1\\\theta\text{ är så att }\cos\theta=\frac{\sqrt{3}}{2},\sin\theta=\frac{1}{2}\\\text{En lösning}:\theta=\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}\\\text{Alla lösningar}:\theta=\frac{5\pi}{6}+2\pi{n},n\in\mathbb{Z}\\z=e^{i\left(\frac{5\pi}{6}+2\pi{n}\right)},n\in\mathbb{Z}\\\text{Svar: }z=e^{i\frac{5\pi}{6}}\end{align}$$
+- Polynom
+	- **Theorem**: *Algebrans huvudsats: Polynomet$$p(z)=c_nz^n+c_{n-1}z^{n-1}\dots+c_0,\;c_k\in\mathbb{C}$$har en rot i $\mathbb{C}$. D.v.s det finns en $z_1\in\mathbb{C}$ så att $p(z_1)=0$.*
+	- **Faktorsats**: $p(z)=(z-z_1)q(z)$
+	- **Theorem**: *Polynomet ovan kan skrivas som $p(z)=c_n(z-z_1)\dots(z-z_n)$. Alla polynom har $n$ komplexa rötter (och faktorer).*
+	- **Theorem**: *Polynom med reella koefficienter:$p(x)=a_nz^n+a_{n-1}z^{n-1}\dots+a_0,\;a_k\in\mathbb{R}$. Om $z_0$ är en rot så är $\overline{z_0}$*
+	- **Ex**: $$\begin{align}p(z)=3z^3-7z^2+17z-5\\p(1+2i)=0\\\text{Polynomet har reella koefficienten. även konjugatet 1-2i är en rot.}\\\text{Enlight faktorsatsen}\\p(z)=(z-1-2i)(z-1+2i)q(z)\\\text{för något polynom }q(z)\\p(z)=\left(\left(z-1\right)^2-\left(2i\right)^2\right)q(z)\\=\left(z^2-2z+1+4\right)q(z)\\=\left(z^2-2z+5\right)q(z)\\\text{Polynomdivision: }\\\frac{3z-1}{z^2-2z+5}\\p(z)=\left(z-1-2i\right)\left(z-1+2i\right)\left(3z-1\right)\\\text{Rötter: }1+2i,1-2i,\frac13\end{align}$$