Zacharias/Analys-och-Linj-r-algibra
1
0
Fork 0
Code Issues Pull Requests Actions Packages Projects Releases Wiki Activity

vault backup: 2026-02-27 14:01:49

Browse Source
This commit is contained in:
Zacharias Zellén
2026-02-27 14:01:49 +01:00
parent 6a2505c8d1
commit ac5f3f5766
3 changed files with 30 additions and 8 deletions
Download Patch File Download Diff File Expand all files Collapse all files

14
Matrisgeometri (Kap 5).md
View File

@@ -1,8 +1,12 @@
**OBS**: *En $m\times{n}$ matris kan tänkas bestå av $n$ stycken $m\times1$ kolumner*$$A=\begin{bmatrix}a_{11}&1_{12}&\dots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\dots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\dots&a_{mn}\end{bmatrix}\Rightarrow A=\begin{bmatrix}|&|&\dots&|\\\overrightarrow{a_1}&\overrightarrow{a_2}&\dots&\overrightarrow{a_m}\\|&|&\dots&|\end{bmatrix}$$
**EX**: $$A=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}\Rightarrow\overrightarrow{a_1}=\begin{bmatrix}1\\5\end{bmatrix},\;\overrightarrow{a_2}=\begin{bmatrix}2\\5\end{bmatrix},\;\overrightarrow{a_3}=\begin{bmatrix}3\\6\end{bmatrix}$$
**OBS (fortsätning)**: *Transponaten av en matris lyfter rader mot kolumner och kolumner mot rader*$$A^T=\begin{bmatrix}\textemdash&\overrightarrow{a_1}^T&\textemdash\\\textemdash&\overrightarrow{a_2}^T&\textemdash\\&\vdots\\\textemdash&\overrightarrow{a_m}^T&\textemdash\end{bmatrix}\;\;\begin{aligned}\text{EX: }A=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}\Rightarrow A^T=\begin{bmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{bmatrix}\\\Rightarrow \overrightarrow{a_1}^T=\begin{bmatrix}1&4\end{bmatrix},\;\overrightarrow{a_2}^T=\begin{bmatrix}2&5\end{bmatrix},\;\overrightarrow{a_3}^T=\begin{bmatrix}3&6\end{bmatrix}\end{aligned}$$
**OBS**: *Vad händer om vi har tvp $3\times1$ kolumnmatriser* $$\overrightarrow{a}=\begin{bmatrix}
1\\2\\3
\end{bmatrix},\overrightarrow{l}=\begin{bmatrix}
7\\8\\9
\end{bmatrix}$$
**OBS**: *Vad händer om vi har två $3\times1$ kolumnmatriser* $$\overrightarrow{a}=\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix},\overrightarrow{l}=\begin{bmatrix}7\\8\\9\end{bmatrix}$$
[Fyll i från Föreläsning 02/26]
**OBS**: *Låt $\overrightarrow{u_1},\;\overrightarrow{u_2},\;\dots,\;\overrightarrow{u_k}$ vara några vektorer i $\mathbb{R}^m$. Mängden består av alla möjliga linjära kombinatoner av dessa $k$ vektorer kallas det **linjära höjdet** av $\overrightarrow{u_1},\;\overrightarrow{u_2},\;\dots,\;\overrightarrow{u_k}$.*
**EX**: $$\begin{aligned}\text{Vad är höjdet av }\overrightarrow{u_1}=(a,2,0)\text{ och }\overrightarrow{u_2}=(-2,1,0)\text{ i }\mathbb{R}\\\\\text{En vektor }\overrightarrow{v}=(v_1,v_2,v_3)\text{ är en linjär kobminatiom av }\overrightarrow{u_1}\text{ och }\overrightarrow{u_1}\text{ om}\\\overrightarrow{v}=\lambda_1\overrightarrow{u_1}+\lambda_2\overrightarrow{u_2}\\\\(v_1,v_2,v_3)=\lambda_1\times(1,2,0)+\lambda\times(-2,1,0)\Rightarrow\\(v_1,v_2,v_3)=(\lambda_1-2\lambda_2,2\lambda_1+\lambda_2,0)\Rightarrow v_3=0\\\\\text{Om vi är givna }v_1,v_2\text{, går det att lösa ut }\lambda_1,\lambda_2?\\\\\begin{aligned}v_1=\lambda_1-2\lambda_2\\v_2=2\lambda_1+\lambda_2\end{aligned}\leftrightarrow\begin{aligned}\text{Vilken matris står}\\\text{bakom detta ekvationssystemet}\end{aligned}\\\leftrightarrow\begin{bmatrix}1&-2\\2&1\end{bmatrix}\Rightarrow\det\left(\begin{bmatrix}1&-2\\2&1\end{bmatrix}\right)=5\neq0\\\leftrightarrow\text{Den här matrisern har en invers}\\\Rightarrow\text{Det fins ingen begränsning för }v_1\text{ och }v_2\\\\\text{Slutsats: Vilka vektorer $\overrightarrow{v}$ kan skrivas som en linjär kombination av $\overrightarrow{u_1}$ och $\overrightarrow{u_2}$?}\\\text{Alla vektorer $\overrightarrow{v}$ med $v_3=0$. (Det linjära höjden av $\overrightarrow{u_1}$ och $\overrightarrow{u_2}$ består av alla}\\\text{ vektorer}\overrightarrow{v}\text{ med $v_3=0$)}\end{aligned}$$
**EX**: $$\begin{aligned}\overrightarrow{v}=(4,5,6)\Rightarrow\text{ Går INTE att skriva som }\lambda_1\overrightarrow{u_1}+\lambda\overrightarrow{u_2}\\\overrightarrow{v}=(4,5,0)\Rightarrow\text{ Går att skriva som }\lambda_1\overrightarrow{u_1}+\lambda\overrightarrow{u_2}\end{aligned}$$
**DEF**: *Låt $A$ vara en $m\times{n}$ matris. Det linjära höjdet av matriserns kolumnmatrisen kallas för kolunrummet. Antalet linjär oberoende kolumnmatriser kallas för matrisens rang ($\operatorname{rang}(A)$) och är lika med antaliet pivåvariabler i gauss schemat $\begin{pmatrix}A&|&\overrightarrow{o}\end{pmatrix}$*
**DEF**: *Det linjära höjdet av lösningarna av ekvationssystemet $A\overrightarrow{x}=\overrightarrow{0}$ kallas för matrisens kärna (kärnrum). Antalet linjära oberoende vektorer ibland lösningar till $A\overrightarrow{x}=\overrightarrow{0}$ kallas för matrisens nolldimension $\operatorname{noll}(A)$m och är lika med antalet fira variablar i gauss schema $\begin{pmatrix}A&|&\overrightarrow{o}\end{pmatrix}$*