vault backup: 2026-02-27 14:01:49

.obsidian/plugins/obsidian-completr/scanned_words.txt

@@ -70,6 +70,8 @@ lhgh
 length
 leads
 längden
+lyfter
+linjära
 ekvationssystem
 en
 ekvationer
@@ -145,6 +147,9 @@ mellan
 matrisen
 mängden
 multiplicitet
+mot
+möjliga
+matriserns
 reella
 rella
 rektagulär
@@ -189,6 +194,7 @@ realla
 resultat
 räknad
 räknas
+rang
 koefficienter
 konstant
 koeffienter
@@ -221,6 +227,10 @@ kavaktieiska
 karakterisktiska
 kalla
 kolumnmatris
+kolumnmatriser
+kombinatoner
+kolumnmatrisen
+kolunrummet
 är
 än
 ändpunkten
@@ -422,6 +432,7 @@ vinkeln
 vanliga
 vet
 vata
+vektorer
 och
 om
 ordning
@@ -449,6 +460,7 @@ ordningen
 ojämt
 ohc
 oberoende
+overrightarrow
 hat
 herstamade
 här
@@ -468,6 +480,8 @@ hBf
 hence
 ha
 hända
+händer
+höjdet
 gemmesamma
 gauss
 gäller
@@ -483,6 +497,7 @@ global
 gG
 general
 genom
+gra
 för
 förekommer
 första
@@ -515,6 +530,7 @@ fuction
 funkar
 find
 finnas
+fortsätning
 term
 tal
 till
@@ -552,6 +568,8 @@ termer
 ta
 triangul
 tirangulär
+tänkas
+tvp
 ut
 utgöt
 under
@@ -746,6 +764,7 @@ The
 Then
 Transponering
 Transponanten
+Transponaten
 Falsk
 För
 Funktionen

.obsidian/workspace.json

@@ -103,8 +103,7 @@
               "title": "Bookmarks"
             }
           }
-        ],
+        ]
-        "currentTab": 1
       }
     ],
     "direction": "horizontal",
@@ -212,9 +211,9 @@
   },
   "active": "bda857902ed8a5fc",
   "lastOpenFiles": [
+    "Determinanter (Kap. 6).md",
     "Egenvärderna (Kap 10).md",
     "Matrisgeometri (Kap 5).md",
-    "Determinanter (Kap. 6).md",
     "Ekvations System.md",
     "Matriser.md",
     "Vektorer.md",

Matrisgeometri (Kap 5).md

@@ -1,8 +1,12 @@
 **OBS**: *En $m\times{n}$ matris kan tänkas bestå av $n$ stycken $m\times1$ kolumner*$$A=\begin{bmatrix}a_{11}&1_{12}&\dots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\dots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\dots&a_{mn}\end{bmatrix}\Rightarrow A=\begin{bmatrix}|&|&\dots&|\\\overrightarrow{a_1}&\overrightarrow{a_2}&\dots&\overrightarrow{a_m}\\|&|&\dots&|\end{bmatrix}$$
 **EX**: $$A=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}\Rightarrow\overrightarrow{a_1}=\begin{bmatrix}1\\5\end{bmatrix},\;\overrightarrow{a_2}=\begin{bmatrix}2\\5\end{bmatrix},\;\overrightarrow{a_3}=\begin{bmatrix}3\\6\end{bmatrix}$$
 **OBS (fortsätning)**: *Transponaten av en matris lyfter rader mot kolumner och kolumner mot rader*$$A^T=\begin{bmatrix}\textemdash&\overrightarrow{a_1}^T&\textemdash\\\textemdash&\overrightarrow{a_2}^T&\textemdash\\&\vdots\\\textemdash&\overrightarrow{a_m}^T&\textemdash\end{bmatrix}\;\;\begin{aligned}\text{EX: }A=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}\Rightarrow A^T=\begin{bmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{bmatrix}\\\Rightarrow \overrightarrow{a_1}^T=\begin{bmatrix}1&4\end{bmatrix},\;\overrightarrow{a_2}^T=\begin{bmatrix}2&5\end{bmatrix},\;\overrightarrow{a_3}^T=\begin{bmatrix}3&6\end{bmatrix}\end{aligned}$$
-**OBS**: *Vad händer om vi har tvp $3\times1$ kolumnmatriser* $$\overrightarrow{a}=\begin{bmatrix}
+**OBS**: *Vad händer om vi har två $3\times1$ kolumnmatriser* $$\overrightarrow{a}=\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix},\overrightarrow{l}=\begin{bmatrix}7\\8\\9\end{bmatrix}$$
-1\\2\\3
+
-\end{bmatrix},\overrightarrow{l}=\begin{bmatrix}
+[Fyll i från Föreläsning 02/26]
-7\\8\\9
+
-\end{bmatrix}$$
+**OBS**: *Låt $\overrightarrow{u_1},\;\overrightarrow{u_2},\;\dots,\;\overrightarrow{u_k}$ vara några vektorer i $\mathbb{R}^m$. Mängden består av alla möjliga linjära kombinatoner av dessa $k$ vektorer kallas det **linjära höjdet** av $\overrightarrow{u_1},\;\overrightarrow{u_2},\;\dots,\;\overrightarrow{u_k}$.*
+**EX**: $$\begin{aligned}\text{Vad är höjdet av }\overrightarrow{u_1}=(a,2,0)\text{ och }\overrightarrow{u_2}=(-2,1,0)\text{ i }\mathbb{R}\\\\\text{En vektor }\overrightarrow{v}=(v_1,v_2,v_3)\text{ är en linjär kobminatiom av }\overrightarrow{u_1}\text{ och }\overrightarrow{u_1}\text{ om}\\\overrightarrow{v}=\lambda_1\overrightarrow{u_1}+\lambda_2\overrightarrow{u_2}\\\\(v_1,v_2,v_3)=\lambda_1\times(1,2,0)+\lambda\times(-2,1,0)\Rightarrow\\(v_1,v_2,v_3)=(\lambda_1-2\lambda_2,2\lambda_1+\lambda_2,0)\Rightarrow v_3=0\\\\\text{Om vi är givna }v_1,v_2\text{, går det att lösa ut }\lambda_1,\lambda_2?\\\\\begin{aligned}v_1=\lambda_1-2\lambda_2\\v_2=2\lambda_1+\lambda_2\end{aligned}\leftrightarrow\begin{aligned}\text{Vilken matris står}\\\text{bakom detta ekvationssystemet}\end{aligned}\\\leftrightarrow\begin{bmatrix}1&-2\\2&1\end{bmatrix}\Rightarrow\det\left(\begin{bmatrix}1&-2\\2&1\end{bmatrix}\right)=5\neq0\\\leftrightarrow\text{Den här matrisern har en invers}\\\Rightarrow\text{Det fins ingen begränsning för }v_1\text{ och }v_2\\\\\text{Slutsats: Vilka vektorer $\overrightarrow{v}$ kan skrivas som en linjär kombination av $\overrightarrow{u_1}$ och $\overrightarrow{u_2}$?}\\\text{Alla vektorer $\overrightarrow{v}$ med $v_3=0$. (Det linjära höjden av $\overrightarrow{u_1}$ och $\overrightarrow{u_2}$ består av alla}\\\text{ vektorer}\overrightarrow{v}\text{ med $v_3=0$)}\end{aligned}$$
+**EX**: $$\begin{aligned}\overrightarrow{v}=(4,5,6)\Rightarrow\text{ Går INTE att skriva som }\lambda_1\overrightarrow{u_1}+\lambda\overrightarrow{u_2}\\\overrightarrow{v}=(4,5,0)\Rightarrow\text{ Går att skriva som }\lambda_1\overrightarrow{u_1}+\lambda\overrightarrow{u_2}\end{aligned}$$
+**DEF**: *Låt $A$ vara en $m\times{n}$ matris. Det linjära höjdet av matriserns kolumnmatrisen kallas för kolunrummet. Antalet linjär oberoende kolumnmatriser kallas för matrisens rang ($\operatorname{rang}(A)$) och är lika med antaliet pivåvariabler i gauss schemat $\begin{pmatrix}A&|&\overrightarrow{o}\end{pmatrix}$*
+**DEF**: *Det linjära höjdet av lösningarna av ekvationssystemet $A\overrightarrow{x}=\overrightarrow{0}$ kallas för matrisens kärna (kärnrum). Antalet linjära oberoende vektorer ibland lösningar till $A\overrightarrow{x}=\overrightarrow{0}$ kallas för matrisens nolldimension $\operatorname{noll}(A)$m och är lika med antalet fira variablar i gauss schema $\begin{pmatrix}A&|&\overrightarrow{o}\end{pmatrix}$*