diff --git a/.obsidian/plugins/obsidian-completr/scanned_words.txt b/.obsidian/plugins/obsidian-completr/scanned_words.txt index 7c04d11..82cfffc 100644 --- a/.obsidian/plugins/obsidian-completr/scanned_words.txt +++ b/.obsidian/plugins/obsidian-completr/scanned_words.txt @@ -20,6 +20,7 @@ Double Diagonal Determinant DIMENSIONSSATS +Diagonalisering Ett En Ex @@ -128,6 +129,7 @@ enhetsmatrisen enher enhet enheter +efter med moam matris @@ -166,6 +168,7 @@ mot möjliga matriserns medger +matrises reella rella rektagulär @@ -211,6 +214,7 @@ resultat räknad räknas rang +räkna koefficienter konstant koeffienter @@ -254,6 +258,7 @@ korninatsystemet kombination korndinaterna kordinater +kunna är än ändpunkten @@ -325,6 +330,8 @@ standerdbasen signerade sägs späns +spenns +skälärprodukten av alla allmänt @@ -406,6 +413,7 @@ deferminanten determinanten diaonal dana +dimensonella Varje Variablar Variabeln @@ -420,6 +428,8 @@ Visa VN VF Vilka +Volym +Volum innerh inte int @@ -447,6 +457,7 @@ ibland ingen inversom istället +innan variabler vatiabler vatiable @@ -483,6 +494,8 @@ vektorerna varandra vektoerna viktigt +volymen +val och om ordning @@ -542,6 +555,7 @@ ha hända händer höjdet +hade gemmesamma gauss gäller @@ -559,6 +573,7 @@ general genom gra gälla +gamla för förekommer första @@ -594,6 +609,8 @@ finnas fortsätning fira fallet +före +figuren term tal till @@ -639,6 +656,7 @@ tt tirangel tar triageln +tetraheder ut utgöt under @@ -666,6 +684,7 @@ HmE HaW HRU Half +Heltalspotenser Jauss Jämför Jf @@ -719,6 +738,8 @@ bort bestämnda bas beräknar +basbyte +basen Ur Under Uk @@ -754,6 +775,9 @@ pratar parallellogramen positiv parallella +parallellogram +parallellepiod +parallelopipod Alla Antigen Avslutande @@ -796,6 +820,8 @@ nN nNeO nolldimension när +nellan +nya Mist Mera Mindre @@ -884,6 +910,7 @@ Koordinatrummet Kallas Kom Kolumnerna +Kordinater Primärfunktioner Produkt Paramaterformen @@ -922,6 +949,7 @@ Bmm BD BEVIS Betrakta +Beräkna öppet över cos diff --git a/.obsidian/workspace.json b/.obsidian/workspace.json index 62b41b2..d8fc716 100644 --- a/.obsidian/workspace.json +++ b/.obsidian/workspace.json @@ -20,6 +20,20 @@ "icon": "lucide-file", "title": "Area och Basbyte" } + }, + { + "id": "f156cc6a3efcf65c", + "type": "leaf", + "state": { + "type": "markdown", + "state": { + "file": "Diagonalisering.md", + "mode": "source", + "source": false + }, + "icon": "lucide-file", + "title": "Diagonalisering" + } } ] } @@ -180,12 +194,13 @@ "obsidian-git:Open Git source control": false } }, - "active": "701c0f423bffdcd3", + "active": "eb1bb5014b86fac7", "lastOpenFiles": [ + "Diagonalisering.md", + "Area och Basbyte.md", "Matrisgeometri (Kap 5).md", "Egenvärderna (Kap 10).md", "Determinanter (Kap. 6).md", - "Area och Basbyte.md", "Ekvations System.md", "Matriser.md", "Vektorer.md", diff --git a/Area och Basbyte.md b/Area och Basbyte.md index e640a82..203faa7 100644 --- a/Area och Basbyte.md +++ b/Area och Basbyte.md @@ -71,3 +71,12 @@ $\Rightarrow{A}\times{A^T}=I\Rightarrow\det(AA^T)=\det(I)\Rightarrow\det(A)\time [ ] **FAKTA**: *Om $A$ är en ortogonal matris, då är skälärprodukten nellan två vektorer samma i så val den gamla basen som den nya basen* + +**Diagonalisering** +$$\begin{aligned}PDP^{-1}=\begin{bmatrix}1&\frac13\\1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&\frac13\\1&1\end{bmatrix}^{-1}\\=\begin{bmatrix}1&-\frac13\\1&-1\end{bmatrix}\times\frac1{\frac23}\times\begin{bmatrix}1&-\frac13\\-1&1\end{bmatrix}\\=\frac32\times\begin{bmatrix}1&-\frac13\\1&-1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&-\frac13\\-1&1\end{bmatrix}=\frac23\times\begin{bmatrix}\frac43&-\frac23\\2&-\frac43\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}2&-1\\3&-2\end{bmatrix}=A\end{aligned}$$ +**Heltalspotenser** +*Hur skulle vi kunna räkna ut $A^{2026}$?* +$$(A^{2026}=\underbrace{AA\dots{A}}_{2026\text{ gånger}})$$ +**OBS**: $$\begin{aligned}A=PDP^{-1}\\A^2=AA=PD\underbracket{P^{-1}P}_{=I}DP^{-1}=PDDP^{-1}=PD^2P^{-1}\\A^3=AAA=PD\underbracket{P^{-1}P}_{=I}D\underbracket{P^{-1}P}_{=I}DP^{-1}=PD^3P^{-1}\\\Rightarrow{A^n}=PD^nP^{-1}\end{aligned}$$ +**EX**: $$\begin{aligned}\text{Om }D=\begin{bmatrix}d_1&0\\0&d_2\end{bmatrix}\\\Rightarrow&\\&D^2=\begin{bmatrix}d_1&0\\0&d_2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}d_1&0\\0&d_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{d_1}^2&0\\0&{d_2}^2\end{bmatrix}\\&D^3=\begin{bmatrix}d_1&0\\0&d_2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}d_1&0\\0&d_2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}d_1&0\\0&d_2\end{bmatrix}\\&=\begin{bmatrix}{d_1}^2&0\\0&{d_2}^2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}d_1&0\\0&d_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{d_1}^3&0\\0&{d_2}^3\end{bmatrix}\\&\vdots\end{aligned}\Rightarrow{D^n}=\begin{bmatrix}{d_1}^n&0\\0&{d_2}^n\end{bmatrix}$$ +**EX**: *Beräkna $A^{2026}$ för $A=\begin{bmatrix}2&-1\\3&-2\end{bmatrix}$*$$\begin{aligned}A^{2026}=PD^{2026}P^{-1}=\begin{bmatrix}1&\frac13\\1&1\end{bmatrix}\times\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}^{2026}\times\begin{bmatrix}1&\frac13\\1&1\end{bmatrix}^{-1}\\\begin{bmatrix}1&\frac13\\1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}\times\begin{bmatrix}1&\frac13\\1&1\end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix}1&\frac13\\1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&\frac13\\1&1\end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}=I\\\\\begin{matrix}A=A&A^3=A&A^5=A&\dots\\A^2=I&A^4=I&A^6=A&\dots\end{matrix}\end{aligned}$$ \ No newline at end of file diff --git a/Diagonalisering.md b/Diagonalisering.md new file mode 100644 index 0000000..673755a --- /dev/null +++ b/Diagonalisering.md @@ -0,0 +1 @@ +$$$$ \ No newline at end of file