vault backup: 2026-01-30 19:40:30

2026-01-30 19:40:30 +01:00
parent 1607e5ef22
commit c5fcf125a5
1 changed files with 8 additions and 8 deletions
--- a/System.md
+++ b/System.md
@@ -4,17 +4,17 @@
 - *En konstant term $(e,\;0,\;-5,\;\cancel{2+i})$*
 **Ex**: $$\begin{align}x_1-2x_2+3x_3=0\\x_1-x_4=-2\\\\\cancel{{x_1}^2}-2\cancel{x_2x_5}=0\\\cancel{\sin(x_1)}-x_4=\cancel{-2+}3i\end{align}$$
 *Ett allmänt linjär ekvationssystem med reella koefficienter herstamade av $m$ stycken ekvationer och $m$ stycken variablar ser ut så här: *$$\left.\begin{align}a_{11}x_1+a_{12}x_2+\dots+a_{1m}x_n=b_1\\a_{21}x_1+a_{22}x_2+\dots+a_{2n}x_n=b_2\\\vdots\\a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\dots+a_{mn}x_n=b_m\end{align}\right\}\begin{aligned}m\times{n}\text{ stycken koeffiencer }(a_{ij})\\m\text{ stycken koeffienter }(b_i)\end{aligned}$$
-**Ex**: $$\begin{align}x_1-2x_2-3x_3==\\x_1-x_4=-2\\\Leftrightarrow x1_2-x_2-3x_3+0x_4=0\\x1+0x_2+0x_3-x_4=-2\\\end{align}$$
-**Def**: *En $m\times{n}$ matris med rella koeffienter är en samling av $m\times{n}$ stycken rella tal i en rektagulär schema med $m$ rader och $n$ koefiencer* $$A=\left[\begin{aligned}a_{11}\;\;\;\;a_{12}\;\;\dots\;\;\;\;a_{1n}\\a_{21}\;\;\;\;a_{22}\;\;\dots\;\;\;\;a_{2n}\\\vdots\;\;\;\;\;\;\;\vdots\;\;\;\ddots\;\;\;\;\;\;\vdots\;\;\\a_{m1}\;\;a_{m2}\;\;\dots\;\;a_{mn}\end{aligned}\right]\leftarrow m\times{n}\text{ matris}$$
+**Ex**: $$\begin{align}x_1-2x_2-3x_3=0\\x_1-x_4=-2\\\Leftrightarrow x1_2-x_2-3x_3+0x_4=0\\x1+0x_2+0x_3-x_4=-2\\\end{align}$$
+**Def**: *En $m\times{n}$ matris med rella koeffienter är en samling av $m\times{n}$ stycken rella tal i en rektagulär schema med $m$ rader och $n$ koefiencer* $$A=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\dots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\\a_{m1}&a_{m2}&\dots&a_{mn}\end{bmatrix}\leftarrow m\times{n}\text{ matris}$$
 *Variablar till häramde ett ekvationssystem samlas i en $n\times1$ matris $\overrightarrow{x}$ (också kallad för en kolomnvektor), och en koefficienterma $b_i$ som utgöt HL av en ekvationssystemet samlas i $m\times1$ matris $\overrightarrow{b}$(ett annat kolonnvektor)*$$\overrightarrow{x}=\left[\begin{align}x_1\\x_2\\x_3\\\vdots\;\\\vdots\;\\x_n\end{align}\right]\;\;\;\overrightarrow{b}=\left[\begin{aligned}b_1\\b_2\\\vdots\;\\\vdots\;\\b_m\end{aligned}\right]$$

-*Ex*: $$\begin{aligned}x_1-2x_2-3x_x=0\\x_1-x_4=-2\\\\A=\left[\begin{aligned}1\;\;-2\;\;-3\;\;\;\;\;\;0\\1\;\;\;\;\:\;\;0\;\;\;\;\;\;0\;\;-1\end{aligned}\right]\\\overrightarrow{x}=\left[\begin{aligned}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{aligned}\right]\;\;\;\overrightarrow{b}=\left[\begin{aligned}0\\-2\end{aligned}\right]\end{aligned}$$
- **Def**: *Ett gauss schema är en sammling av $A$, och $\overrightarrow{b}$ som tillhör ett ekvastions system:*$$\left(A\mid\overrightarrow{b}\right)=\left(\begin{aligned}a_{11}\;\;a_{12}\;\;\dots\;\;a_{1n}:b_1\\a_{21}\;\;a_{22}\;\;\dots\;\;a_{2n}:b_2\\\vdots\;\;\;\;\;\;\vdots\;\;\;\ddots\;\;\;\;\vdots\;\;\;\;\;\vdots\;\;\\a_{m1}\;a_{m2}\;\dots\;a_{mn}:b_m\end{aligned}\right)$$
- **Ex**: $$\begin{aligned}x_1-2x_2-3x_x=0\\x_1-x_4=-2\\\\\Rightarrow\left(\begin{aligned}1\;\;-2\;\;-3\;\;\;\;\;\;0:\;\;\;0\\1\;\;\;\;\:\;\;0\;\;\;\;\;\;0\;\;-1:-2\end{aligned}\right)\end{aligned}$$
- **Ex**: $$\left.\begin{aligned}x+2y-u+3v=2\\2x+3y+2z-2u+10v=0\\x+3y-2z-4u+2v=3\\\underbrace{-x-3y+2z+3u-v}_{\text{VL }4\times5=20 \text{ platser i schemat}}=\underbrace{-4}_{\text{HL }4\text{ platser}}\\\end{aligned}\right.\Rightarrow\left(a\mid\overrightarrow{b}\right)=\left(\begin{aligned}1\;\;\;\;\;\;2\;\;\;\;\;0\;-1\;\;\;3:\;\;\;2\\2\;\;\;\;\;\;3\;\;\;\;\;2\;-2\;10:\;\;\;0\\1\;\;\;\;\;3\;-2\;-3\;\;\;2:\;\;\;3\\-1\;-3\;\;\;\;\;2\;\;\;\;\;\;3\;\;\;1:-4\end{aligned}\right)$$
+*Ex*: $$\begin{aligned}x_1-2x_2-3x_x=0\\x_1-x_4=-2\\\\A=\begin{bmatrix}1&-2&-3&0\\1&0&0&-1\end{bmatrix}\\\overrightarrow{x}=\left[\begin{aligned}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{aligned}\right]\;\;\;\overrightarrow{b}=\left[\begin{aligned}0\\-2\end{aligned}\right]\end{aligned}$$
+- **Def**: *Ett gauss schema är en sammling av $A$, och $\overrightarrow{b}$ som tillhör ett ekvastions system:*$$\left(A\mid\overrightarrow{b}\right)=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}&|&b_1\\a_{21}&a_{22}&\dots&a_{2n}&|&b_2\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&|&\vdots&\\a_{m1}&a_{m2}&\dots&a_{mn}&|&b_m\end{pmatrix}$$
+- **Ex**: $$\begin{aligned}\begin{aligned}x_1-2x_2-3x_x&=&0\\x_1-x_4&=&-2\end{aligned}\\\\\Rightarrow\begin{pmatrix}1&-2&-3&0&|&0\\1&0&0&-1&|&-2\end{pmatrix}\end{aligned}$$
+- **Ex**: $$\left.\begin{aligned}x+2y-u+3v&=&2\\2x+3y+2z-2u+10v&=&0\\x+3y-2z-4u+2v&=&3\\\underbrace{-x-3y+2z+3u-v}_{\substack{\text{VL $4\times5$}\\\text{=20 platser i schemat}}}&=&\underbrace{-4}_{\substack{\text{HL $4$}\\\text{ platser}}}\\\end{aligned}\right.\Rightarrow\left(a\mid\overrightarrow{b}\right)=\begin{pmatrix}1&2&0&-1&3&|&2\\2&3&2&-2&10&|&0\\1&3&-2&-3&2&|&3\\-1&-3&2&3&1&|&-4\end{pmatrix}$$
 *Hur räknar man med ett gauss schema? Man räknar med hjälp av elemäntera radoperationer:*
 - **Radbyte**: *Vi byter plats på alla element i raderna $i$ och $j$ : $R_i\leftrightarrow{R_j}\;\;\left(R_1\leftrightarrow{R_3}\right)$*
 - **Radmultiplikation**: *Vi multiplicerar alla ellement i raden $i$ med en och samma nollstild tal $\lambda\in\mathbb{R}$: $\lambda\times{R_i}\rightarrow{R_i}\;\;\left(2R_1\leftarrow{R_1}\right)$*
 - **Radaddition**: *Vi adderar till varje element i raden $i$ en $\lambda$-mutipel av motsvarande element från raden $j$: $R_i+\lambda{R_j}\rightarrow{R_1}\;\;\left(R_1-3R_2\rightarrow{R_1}\right)$*
-**Ex**: $$\left(\begin{aligned}1\;-2\;3\;0:0\\1\;0\;0\;-1:-2\end{aligned}\right).\;\;R_2-R_1\rightarrow{R_2}\left(\begin{aligned}1\;-2\;-3\;0:0\\0\;2\;3\;-1:-2\end{aligned}\right).\;\;\frac12R_2\rightarrow{R_2}\left(\begin{aligned}1\;-2\;-3\;0:0\\0\;1\;\frac32\;\frac{-1}2:-1\end{aligned}\right)$$
-**Ex**: $$\left(\begin{aligned}1\:2\;0\;-1\;3:2\\2\;3\;2\;-2\;10:+\end{aligned}\right)$$
+**Ex**: $$\left(\begin{aligned}1\;-2\;3\;\;\;\;\;0:\;\;\;0\\1\;\;\;\;\;0\;0\;-1:-2\end{aligned}\right).\;\;R_2-R_1\rightarrow{R_2}\left(\begin{aligned}1\;-2\;-3\;\;\;\;\;0:\;\;\;0\\0\;\;\;\;\;2\;\;\;\;\;3\;-1:-2\end{aligned}\right).\;\;\frac12R_2\rightarrow{R_2}\left(\begin{aligned}1\;-2\;-3\;\;\;\;0\;\;:\;\;\;0\\0\;\;\;\;\;1\;\;\;\;\;\frac32\;\frac{-1}2:-1\end{aligned}\right)$$
+**Ex**: $$\begin{pmatrix}1&2&0&-1&3&|&2\\2&3&2&-2&10&|&0\\1&3&-2&-4&2&|&3\\-1&-3&2&2&-4&|&-4\end{pmatrix}\left.\begin{aligned}R_2-2R_1\rightarrow{R_2}\\R_3-R_1\rightarrow{R_3}\\\xrightarrow{}\\R_4+R_1\rightarrow{R_4}\end{aligned}\right.\begin{pmatrix}1&2&0&-1&3&|&2\\0&-1&2&0&4&|&-4\\0&1&-2&-3&-1&|&1\\0&-1&2&2&2&|&-2\end{pmatrix}$$