vault backup: 2026-02-04 14:01:55

Ekvations System.md

@@ -30,6 +30,23 @@
 		- *Eftersom $z$ är en fri variabler kan $z=t$, och $t\in\mathbb{R}$. sampt* $$\begin{aligned}y-z=-\frac52\Rightarrow{y}=z-\frac52=t-\frac52\\x-2y+z=3\Rightarrow{x}=2y-z+3=2\left(t-\frac52\right)-t+3=t-2\\\end{aligned}$$
 	3. **Exakt-bestämnd system/Saknar lösningar** $$\begin{aligned}\begin{aligned}x-3y+2z&=&3\\x-2y&=&2\\2x-5y+2z&=&4\end{aligned}\Rightarrow\begin{pmatrix}1&-3&2&|&3\\1&-2&2&|&2\\2&-5&2&|&-4\end{pmatrix}\begin{aligned}R_2-R_1\rightarrow{R_2}\\R_3-2R_1\rightarrow{R_3}\\\xrightarrow{}\end{aligned}\begin{pmatrix}1&-3&2&|&3\\0&1&0&|&-1\\0&1&-2&|&-2\end{pmatrix}\\\begin{aligned}R_3-R_2\rightarrow{R_3}\\\xrightarrow{}\end{aligned}\pmatrix{1&-3&2&|&3\\0&1&2&|&-1\\0&0&0&|&-1}\end{aligned}$$
 		- **OBS** *Rad $2$ och $3$ säger att det skall vara $-2$ medans de int har samma $VL$, detta går inte! samt säger det $0x+0y+0z=-1\Leftrightarrow{0=-1}$*
+	4. **Över-bestämd system/Entydlig Lösning** $$\begin{aligned}\begin{aligned}x-3y+2z&=&3\\x-2y&=&2\\x-y-z&=&2\\2x-5y+2z&=&5\end{aligned}\Rightarrow\begin{pmatrix}1&-3&2&|&3\\1&-2&0&|&2\\1&-1&-1&|&2\\2&-5&2&|&5\end{pmatrix}\begin{aligned}R_2-R_1\rightarrow{R_2}\\R_3-R_1\rightarrow{R_3}\\R_4-2R_1\rightarrow{R_4}\\\xrightarrow{}\end{aligned}\\\begin{pmatrix}1&-3&2&|&3\\0&1&-2&|&-1\\0&2&-3&|&-1\\0&1&-2&|&-1\end{pmatrix}\begin{aligned}R_3-2R_2\rightarrow{R_3}\\R_4-R_2\rightarrow{R_4}\\\xrightarrow{}\end{aligned}\begin{pmatrix}1&-3&2&|&3\\0&1&-2&|&-1\\0&0&1&|&1\\0&0&0&|&0\end{pmatrix}\end{aligned}$$
+		- *Vi har fott en entydlig lösning med*$$\begin{aligned}z=1\\y-2z=-1\Rightarrow{}y=2z-1=1\\x-3y+2z=3\Rightarrow{}x=3y-2z+3=4\end{aligned}$$
+	5. **Över-bestämd system/oändliga lösningar** $$\begin{aligned}\begin{aligned}x-3y+2z=3\\x-2z=3\\-3y+4z=0\\3x-3y+2z=9\end{aligned}\Rightarrow\begin{pmatrix}1&-3&2&|&3\\1&0&-2&|&3\\0&-3&4&|&0\\3&-3&2&|&9\end{pmatrix}\begin{aligned}R_2-R_1\rightarrow{R_2}\\R_4-3R_1\rightarrow{R_4}\\\xrightarrow{}\end{aligned}\begin{pmatrix}1&-3&2&|&3\\0&3&-4&|&0\\0&-3&4&|&0\\0&6&-8&|&0\end{pmatrix}\\\begin{aligned}R_3+R_2\rightarrow{R_3}\\R_4-2R_2\rightarrow{R_4}\\\xrightarrow{}\end{aligned}\begin{pmatrix}1&-3&2&|&3\\0&3&-4&|&0\\0&0&0&|&0\\0&0&0&|&0\end{pmatrix}\begin{aligned}\frac13R_2\rightarrow{R_2}\\\xrightarrow{}\end{aligned}\begin{pmatrix}1&-3&2&3\\0&1&-\frac34&|&0\\0&0&0&|&0\\0&0&0&|&0\end{pmatrix}\end{aligned}$$
+		- *Ty att vi har en fri variable i ekvations systemet* $$\begin{aligned}z=t,\;t\in\mathbb{R}\\y=-\frac43z=0\Rightarrow{}y=\frac43t\\x-3y+2z=3\Rightarrow x=3y-2x+3=2t+3\end{aligned}$$
+	6. **Över-bestämd system/Saknar lösning**$$\begin{aligned}\begin{aligned}x-4y+2z&=&2\\x-z&=&3\\4y-3z&=&1\\3x-4y&=&1\end{aligned}\Rightarrow\begin{pmatrix}1&-4&2&|&2\\1&0&-1&|&3\\0&4&-3&|&1\\3&-4&0&|&1\end{pmatrix}\begin{aligned}R_2-R_1\rightarrow{R_2}\\R_4-3R_1\rightarrow{R_4}\\\xrightarrow{}\end{aligned}\begin{pmatrix}1&-4&2&|&2\\0&4&-3&|&1\\0&3&-3&|&1\\0&8&-6&|&-5\end{pmatrix}\\\begin{aligned}R_3-R_2\rightarrow{R_3}\\R_4-2R_2\rightarrow{R_4}\\\xrightarrow{}\end{aligned}\begin{pmatrix}1&-4&2&|&2\\0&4&-3&|&1\\0&0&0&|&0\\0&0&0&|&-7\end{pmatrix}\end{aligned}$$
+		- *I sista raden ser vi att $0x+0y+0z=-7$, samt i näst sista som säger $0x+0y+0z=0$ dessa är motsägelse fulla, altså saknas det en lösning*
+	7. **Under-bestämd system/Entydlig lösning** *Falsk möjlighet! Ett under bestämt system har mindre antal ekvationer än antalet variabler. Men i så fall är det omöjligt att alal variabler vore pivåvariabler*
+	8. **Under-bestämd system/Oändliga lösningar**$$\begin{aligned}
+\begin{aligned}
+x-y-z&=&1\\
+x+z&=&2
+\end{aligned}
+\Rightarrow
+\begin{pmatrix}
+
+\end{pmatrix}
+\end{aligned}$$
 - **Ex**: $$\begin{aligned}\begin{aligned}x_1-2x_2-3x_x&=&0\\x_1-x_4&=&-2\end{aligned}\\\\\Rightarrow\begin{pmatrix}1&-2&-3&0&|&0\\1&0&0&-1&|&-2\end{pmatrix}\end{aligned}$$
 - **Ex**: $$\left.\begin{aligned}x+2y-u+3v&=&2\\2x+3y+2z-2u+10v&=&0\\x+3y-2z-4u+2v&=&3\\\underbrace{-x-3y+2z+3u-v}_{\substack{\text{VL $4\times5$}\\\text{=20 platser i schemat}}}&=&\underbrace{-4}_{\substack{\text{HL $4$}\\\text{ platser}}}\\\end{aligned}\right.\Rightarrow\left(a\mid\overrightarrow{b}\right)=\begin{pmatrix}1&2&0&-1&3&|&2\\2&3&2&-2&10&|&0\\1&3&-2&-3&2&|&3\\-1&-3&2&3&1&|&-4\end{pmatrix}$$
 *Hur räknar man med ett gauss schema? Man räknar med hjälp av elemäntera radoperationer:*