diff --git a/.obsidian/appearance.json b/.obsidian/appearance.json index 15b4fa9..4d2623f 100644 --- a/.obsidian/appearance.json +++ b/.obsidian/appearance.json @@ -1,3 +1,4 @@ { - "cssTheme": "Catppuccin" + "cssTheme": "Catppuccin", + "baseFontSize": 20 } \ No newline at end of file diff --git a/.obsidian/plugins/obsidian-completr/scanned_words.txt b/.obsidian/plugins/obsidian-completr/scanned_words.txt index 27192e6..9ba9be0 100644 --- a/.obsidian/plugins/obsidian-completr/scanned_words.txt +++ b/.obsidian/plugins/obsidian-completr/scanned_words.txt @@ -18,6 +18,7 @@ DR Dominains Double Diagonal +Determinant Ett En Ex @@ -100,6 +101,8 @@ eOM es equal equations +ekvationen +em med moam matris @@ -132,6 +135,7 @@ measuring measured mellan matrisen +mängden reella rella rektagulär @@ -172,6 +176,7 @@ relations rätviklig rektangle räkneregler +realla koefficienter konstant koeffienter @@ -196,6 +201,9 @@ kmc ktp koordinattpunkter kvadratisk +kända +kvar +kvadratiska är än ändpunkten @@ -245,6 +253,16 @@ stämmer skalärer symmetrisk symetriska +skriver +sen +säkerställer +slut +samordningar +skiljer +standerd +skulle +summa +skriva av alla allmänt @@ -279,6 +297,7 @@ above also are använda +anta där det den @@ -313,6 +332,10 @@ defined decreasing diagonala diagonal +dan +determinant +deferminanten +determinanten Varje Variablar Variabeln @@ -344,6 +367,10 @@ is identity increasing inverible +identitetsmatrisen +identitersmatrisen +invers +inverser variabler vatiabler vatiable @@ -368,6 +395,7 @@ vJ ve vars vinkeln +vanliga och om ordning @@ -390,6 +418,9 @@ of omitted on odd +okänd +ordningen +ojämt hat herstamade här @@ -407,6 +438,7 @@ hQ hJ hBf hence +ha gemmesamma gauss gäller @@ -452,6 +484,7 @@ formula function fuction funkar +find term tal till @@ -483,6 +516,9 @@ tanges tas transponat triangulär +talet +talen +termer ut utgöt under @@ -496,6 +532,7 @@ uD uN uZ unit +uppfyller HL Hur HmE @@ -543,6 +580,11 @@ bv bj by best +betänkas +beräknas +bara +beroende +byten Ur Under Uk @@ -567,6 +609,9 @@ pRaa pX pk plane +penmutationer +permutation +parytor Alla Antigen Avslutande @@ -641,6 +686,9 @@ Riy RW RSM Radian +Räkneregler +Refererar +Redan Ty Theorem TODO @@ -665,6 +713,8 @@ Felet Fz Fr For +FAKTA +Fins Global GD Graf @@ -724,6 +774,7 @@ cr center circular corresponding +chema xi xg xR @@ -769,6 +820,7 @@ jB jmm jS jjj +jämnt XmE XG Xg diff --git a/.obsidian/workspace.json b/.obsidian/workspace.json index 067ec97..65cdf47 100644 --- a/.obsidian/workspace.json +++ b/.obsidian/workspace.json @@ -13,12 +13,26 @@ "state": { "type": "markdown", "state": { - "file": "Matriser.md", + "file": "Determinanter (Kap. 6).md", "mode": "source", "source": false }, "icon": "lucide-file", - "title": "Matriser" + "title": "Determinanter (Kap. 6)" + } + }, + { + "id": "91afe3b628f39918", + "type": "leaf", + "state": { + "type": "markdown", + "state": { + "file": "Ekvations System.md", + "mode": "source", + "source": false + }, + "icon": "lucide-file", + "title": "Ekvations System" } } ] @@ -182,11 +196,12 @@ }, "active": "334286c6c273f693", "lastOpenFiles": [ - "Vektorer.md", - "Linjer.md", "Ekvations System.md", + "Determinanter (Kap. 6).md", "Matriser.md", + "Vektorer.md", "Maclaurin.md", + "Linjer.md", "Trigonometri.md", "TE1.png", "Tenta Example.md", diff --git a/Determinanter (Kap. 6).md b/Determinanter (Kap. 6).md new file mode 100644 index 0000000..ed64a5c --- /dev/null +++ b/Determinanter (Kap. 6).md @@ -0,0 +1,23 @@ +**DEF**: *En Determinant fins bara för kvadratiska matriser, t.ex: Låt $A$ vara en $m\times{n}$ matris. Denna matrisens determinant $\det(A)$ är det realla talet man får: *$$\det(A)=\sum_{\sigma\in{S_n}}\operatorname{sgn}(\sigma)a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\dots{a_{n\sigma(n)}}$$ +- *Där $S_n$ mängden av alla penmutationer (samordningar) av talen $1,\;2,\;\dots,\;n$* +- *$\sigma$ är en permutation av talen $1,\;2,\;\dots,\;n$* +- *$\operatorname{sgn}(\sigma)$ är antigen $+1$ eller $-1$, beroende på antalet parytor som skiljer $\sigma$ från den vanliga ordningen* +**EX** $$\begin{aligned} +\text{Om vi har en $5\times5$ matris, då finns $5!=120$ sätt att omordna talen }1,\;2,\;3,\;4,\;5\\ +\text{Hur ser det termerna som motsvarar omordingen }\sigma=3-1-5-4-2. \text{iså fall är:}\\ +sgn(\sigma)a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}a_{3\sigma(3)}a_{4\sigma(4)}a_{5\sigma(5)}=\underbracket{(-1)}\times a_{1\fbox{3}}a_{2\fbox{1}}a_{3\fbox{5}}a_{44}a_{5\fbox{2}} +\end{aligned}$$ +*$\operatorname{sgn}$: Refererar till jämnt eller ojämt antal byten för att nå standerd ordning,* +```cpp +int sgn(int sigma_diff) +{ + return sigma_diff%2==0?1:-1; +} +``` +**EX**: $$\begin{aligned}\text{Vad är determinaten av $2\times2$ matrisen } A=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}.\\\text{Det finns bata två sätt att omordna $1,\;2$: }1-2,\fbox{2}-\fbox{1}.\\\Rightarrow\text{determinatens summa har i det här fallet endast 2 termer}:\\\det(A)=\underbracket{+1}\times{a_{11}}\times{a_{22}}+\underbracket{-1}\times{a_{12}}\times{a_{21}}\\=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\end{aligned}$$ +**EX**: $$\begin{aligned}\text{Vad är determinaten av $3\times3$ matrisen }\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}\\\text{Vad är dem 6 sätt att omordna?}\\\left.\begin{matrix}1-2-3&:&\operatorname{sgn}:&+1\\1-3-2&:&\operatorname{sgn}:&-1\\2-1-3&:&\operatorname{sgn}:&-1\\2-3-1&:&\operatorname{sgn}:&+1\\3-1-2&:&\operatorname{sgn}:&+1\\3-2-1&:&\operatorname{sgn}:&-1\\\end{matrix}\right\}\begin{aligned}\det(A)=\underbracket{+1}\times{a_{11}}a_{22}a_{33}+\\\underbracket{(-1)}\times{a_{11}}a_{23}a_{32}+\\\underbracket{(-1)}\times{a_{12}}a_{21}a_{33}+\\\underbracket{+1}\times{a_{12}}a_{23}a_{31}+\\\underbracket{+1}\times{a_{13}}a_{21}a_{32}+\\\underbracket{+1}\times{a_{13}}a_{22}a_{31}\end{aligned}\end{aligned}$$ +*Redan för $4\times4$ matriser skulle vi ha en summa med $24$ termer. Fins det något sätt att skriva deferminanten av $3\times3$ matrisen med hjälp av determinanten från $2\times2$ matrisen?* +$$\begin{aligned}\det(A)&=a_{11}a_{22}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32}&-a_{12}a_{21}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}&+a_{12}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}\\&=a_{11}\times\underbrace{\left(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32}\right)}_{\substack{\parallel\\\underline{\det\left(\begin{bmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{32}\end{bmatrix}\right)}\\A_{11}}}&-a_{12}\times\underbrace{\left(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31}\right)}_{\substack{\parallel\\\underline{\det\left(\begin{bmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{bmatrix}\right)}\\A_{12}}}&+a_{13}\times\underbrace{\left(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31}\right)}_{\substack{\parallel\\\underline{\det\left(\begin{bmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{bmatrix}\right)}\\A_{13}}}\end{aligned}$$ +**DEF**: *Låt $A$ vara en $m\times n$ matris. Imdermatrosem $A_{ij}$ är den $(m\times1)\times(n\times1)$ matrisen som fås genom att ta bort rad $i$ och kolumn $j$ från matrisen $A$.* +**EX**: $$\begin{aligned}A=\begin{bmatrix}1&2&3&4\\5&6&7&8\\9&10&11&12\end{bmatrix}\Rightarrow\begin{aligned}A_{11}=\begin{bmatrix}6&7&8\\10&11&12\end{bmatrix}\\A_{23}=\begin{bmatrix}1&2&4\\9&10&12\end{bmatrix}\end{aligned}\end{aligned}$$ +**SATS**: *(RADUTVÄKLING): låt $A$ vara en $m\times{n}$ matris. För varje utvald index $i$ (mellan $1$ och $m$) gäller det att* $$\det(A)=\sum^{m}_{j=n}(-1)^{i+j}a_{ij}\det{A_{ij}}$$