diff --git a/.obsidian/plugins/obsidian-completr/scanned_words.txt b/.obsidian/plugins/obsidian-completr/scanned_words.txt new file mode 100644 index 0000000..77f9780 --- /dev/null +++ b/.obsidian/plugins/obsidian-completr/scanned_words.txt @@ -0,0 +1,230 @@ +Def +DEF +Den +Ett +En +Ex +Exakt +Entydlig +Eftersom +EX +linjärt +ller +linjär +ledande +lika +läsa +lösning +lösningar +lösningsmängden +lösningen +löser +ekvationssystem +en +ekvationer +ekvation +ett +ekvationssystemet +ekvastions +etta +eller +elementen +element +ekvationssystemets +egenskaper +ettan +entydlig +ekvations +ekvationser +elemäntera +ellement +med +moam +matris +minst +motsvarar +motsvarande +medans +motsägelse +möjlighet +mindre +man +multiplicerar +mutipel +reella +rella +rektagulär +rader +refuserats +rad +raden +räknar +radoperationer +raderna +koefficienter +konstant +koeffienter +koefiencer +kallad +kolomnvektor +koefficienterma +kolonnvektor +kallas +kolumn +kan +kolumnen +kapitle +är +än +samling +stycken +som +st +ser +schema +samlas +sammling +system +sin +successivt +senare +sig +systemet +sampt +säger +skall +samma +samt +sista +saknas +saknar +av +alla +allmänt +annat +antigen +att +alts +antal +antalet +alal +adderar +där +det +den +de +detta +dessa +delas +Varje +Variablar +Variabeln +Vi +innerh +inte +int +variabler +vatiabler +vatiable +variablar +vi +variabel +variabeln +variable +vara +vore +variablel +varje +och +om +ordning +ocks +oändliga +omöjligt +oändligt +hat +herstamade +här +häramde +har +homohen +hala +hohogena +homogen +homogena +hjälp +gemmesamma +gauss +gäller +för +förekommer +första +följande +fria +fri +fott +fulla +fall +fast +fr +term +tal +till +tillhör +tillhörande +trappform +trappformen +tv +times +ut +utgöt +under +upp +HL +Hur +Jauss +Schema +Saknar +Sista +börjar +bestämmer +befiner +bestämnd +bestämd +bekräftat +bestämt +byter +Ur +Under +piv +priv +partikulära +plats +Alla +Antigen +Avslutande +Oändligt +Om +OBS +Oändliga +nga +nollställen +nu +näst +noll +nollstild +Mist +Mera +Mindre +Men +Man +Lika +Lösning +Över +Rad +Radbyte +Radmultiplikation +Radaddition +Ty +Falsk +För \ No newline at end of file diff --git a/.obsidian/workspace.json b/.obsidian/workspace.json index fc6328c..4c9576e 100644 --- a/.obsidian/workspace.json +++ b/.obsidian/workspace.json @@ -48,9 +48,23 @@ "icon": "lucide-file", "title": "Ekvations System" } + }, + { + "id": "cf5e20d35ba10881", + "type": "leaf", + "state": { + "type": "markdown", + "state": { + "file": "Ekvations System.md", + "mode": "source", + "source": false + }, + "icon": "lucide-file", + "title": "Ekvations System" + } } ], - "currentTab": 2 + "currentTab": 3 } ], "direction": "vertical" @@ -209,10 +223,11 @@ "obsidian-git:Open Git source control": false } }, - "active": "ca10233d6e0048f7", + "active": "cf5e20d35ba10881", "lastOpenFiles": [ - "Linjer.md", + "Untitled.md", "Ekvations System.md", + "Linjer.md", "Vektorer.md", "Primära Funktioner.md", "ODE.md", diff --git a/Ekvations System.md b/Ekvations System.md index 9056b42..85e1fe1 100644 --- a/Ekvations System.md +++ b/Ekvations System.md @@ -37,47 +37,9 @@ 6. **Över-bestämd system/Saknar lösning**$$\begin{aligned}\begin{aligned}x-4y+2z&=&2\\x-z&=&3\\4y-3z&=&1\\3x-4y&=&1\end{aligned}\Rightarrow\begin{pmatrix}1&-4&2&|&2\\1&0&-1&|&3\\0&4&-3&|&1\\3&-4&0&|&1\end{pmatrix}\begin{aligned}R_2-R_1\rightarrow{R_2}\\R_4-3R_1\rightarrow{R_4}\\\xrightarrow{}\end{aligned}\begin{pmatrix}1&-4&2&|&2\\0&4&-3&|&1\\0&3&-3&|&1\\0&8&-6&|&-5\end{pmatrix}\\\begin{aligned}R_3-R_2\rightarrow{R_3}\\R_4-2R_2\rightarrow{R_4}\\\xrightarrow{}\end{aligned}\begin{pmatrix}1&-4&2&|&2\\0&4&-3&|&1\\0&0&0&|&0\\0&0&0&|&-7\end{pmatrix}\end{aligned}$$ - *I sista raden ser vi att $0x+0y+0z=-7$, samt i näst sista som säger $0x+0y+0z=0$ dessa är motsägelse fulla, altså saknas det en lösning* 7. **Under-bestämd system/Entydlig lösning** *Falsk möjlighet! Ett under bestämt system har mindre antal ekvationer än antalet variabler. Men i så fall är det omöjligt att alal variabler vore pivåvariabler* - 8. **Under-bestämd system/Oändliga lösningar**$$\begin{aligned} -\begin{aligned} -x-y-z&=&1\\ -x+z&=&2 -\end{aligned} -\Rightarrow -\begin{pmatrix} -1&-1&-1&|&1\\ -1&0&1&|&2 -\end{pmatrix} -\begin{aligned} -R_2-R_1\rightarrow{R_2}\\ -\xrightarrow{} -\end{aligned} -\begin{pmatrix} -1&-1&-1&|&1\\ -0&1&2&|&1 -\end{pmatrix} -\end{aligned}$$ - - *Ty att vi har en fri variablel så har ekvations systemet oändligt många lösningar*$$\begin{aligned} -z=t,\;t\in\mathbb{R}\\y+2z=1\Rightarrow{}y=-2z+1=-2t+1\\x-y-z=1\Rightarrow{}x=y+z+1=-t+2 -\end{aligned}$$ - 9. **Under-bestämd system/Saknar lösningar**$$\begin{aligned} -\begin{aligned} -x-y-z&=&1\\ -x-y-z&=&2 -\end{aligned} -\Rightarrow -\begin{pmatrix} -1&-1&-1&|&1\\ -1&-1&-1&|&2 -\end{pmatrix} -\begin{aligned} -R_2-R_1\rightarrow{R_2} -\xrightarrow{} -\end{aligned} -\begin{pmatrix} -1&-1&-1&|&1\\ -0&0&0&|&1 -\end{pmatrix} -\end{aligned}$$ + 8. **Under-bestämd system/Oändliga lösningar**$$\begin{aligned}\begin{aligned}x-y-z&=&1\\x+z&=&2\end{aligned}\Rightarrow\begin{pmatrix}1&-1&-1&|&1\\1&0&1&|&2\end{pmatrix}\begin{aligned}R_2-R_1\rightarrow{R_2}\\\xrightarrow{}\end{aligned}\begin{pmatrix}1&-1&-1&|&1\\0&1&2&|&1\end{pmatrix}\end{aligned}$$ + - *Ty att vi har en fri variablel så har ekvations systemet oändligt många lösningar*$$\begin{aligned}z=t,\;t\in\mathbb{R}\\y+2z=1\Rightarrow{}y=-2z+1=-2t+1\\x-y-z=1\Rightarrow{}x=y+z+1=-t+2\end{aligned}$$ + 9. **Under-bestämd system/Saknar lösningar**$$\begin{aligned}\begin{aligned}x-y-z&=&1\\x-y-z&=&2\end{aligned}\Rightarrow\begin{pmatrix}1&-1&-1&|&1\\1&-1&-1&|&2\end{pmatrix}\begin{aligned}R_2-R_1\rightarrow{R_2}\xrightarrow{}\end{aligned}\begin{pmatrix}1&-1&-1&|&1\\0&0&0&|&1\end{pmatrix}\end{aligned}$$ - *Sista ekvationer säger att $0=1\Rightarrow$ ekvationssystemet saknar lösning.* - **DEF**: *Ett ekvations system kallas homohen om hala $HL$ är noll* $$\text{EX: }\begin{aligned} x-y+z&=&0\\ @@ -89,21 +51,7 @@ x-y+z&=&0\\ - **För varje ekvations system med oändligt många lösningar kan lösningsmängden delas upp i två**: $$y''-2y'+y=x^2+1$$ - *Den homogena lösningen: den som löser samma ekvationer, fast med $HL$ lika med $0$* - *Den partikulära lösningen: en lösning av ekvations systemet* - - **EX**$$\begin{aligned} -\begin{aligned} -x-3y+2z&=&3\\ -x-2z&=&3\\ --3y+4z&=&0\\ -3x-3y-2z&=&9 -\end{aligned} -\xRightarrow{\text{Lösning i EX 5}} -\begin{aligned} -z=t,\;t\in\mathbb{R}\\ -y=\frac43\\ -x=2t+3 -\end{aligned} -\Leftrightarrow{}(x,y,z)=(2t+3,\frac43t,t)\\\underbracket{(3,0,0)}_{\text{Partikulära Lösningen}}+\underbracket{t\times(2,\frac43,1)}_{\text{Homogena Lösningen}} -\end{aligned}$$ + - **EX**$$\begin{aligned}\begin{aligned}x-3y+2z&=&3\\x-2z&=&3\\-3y+4z&=&0\\3x-3y-2z&=&9\end{aligned}\xRightarrow{\text{Lösning i EX 5}}\begin{aligned}z=t,\;t\in\mathbb{R}\\y=\frac43\\x=2t+3\end{aligned}\Leftrightarrow{}(x,y,z)=(2t+3,\frac43t,t)\\\underbracket{(3,0,0)}_{\text{Partikulära Lösningen}}+\underbracket{t\times(2,\frac43,1)}_{\text{Homogena Lösningen}}\end{aligned}$$ - **Ex**: $$\begin{aligned}\begin{aligned}x_1-2x_2-3x_x&=&0\\x_1-x_4&=&-2\end{aligned}\\\\\Rightarrow\begin{pmatrix}1&-2&-3&0&|&0\\1&0&0&-1&|&-2\end{pmatrix}\end{aligned}$$ - **Ex**: $$\left.\begin{aligned}x+2y-u+3v&=&2\\2x+3y+2z-2u+10v&=&0\\x+3y-2z-4u+2v&=&3\\\underbrace{-x-3y+2z+3u-v}_{\substack{\text{VL $4\times5$}\\\text{=20 platser i schemat}}}&=&\underbrace{-4}_{\substack{\text{HL $4$}\\\text{ platser}}}\\\end{aligned}\right.\Rightarrow\left(a\mid\overrightarrow{b}\right)=\begin{pmatrix}1&2&0&-1&3&|&2\\2&3&2&-2&10&|&0\\1&3&-2&-3&2&|&3\\-1&-3&2&3&1&|&-4\end{pmatrix}$$ *Hur räknar man med ett gauss schema? Man räknar med hjälp av elemäntera radoperationer:* @@ -113,8 +61,13 @@ x=2t+3 **Ex**: $$\left(\begin{aligned}1\;-2\;3\;\;\;\;\;0:\;\;\;0\\1\;\;\;\;\;0\;0\;-1:-2\end{aligned}\right).\;\;R_2-R_1\rightarrow{R_2}\left(\begin{aligned}1\;-2\;-3\;\;\;\;\;0:\;\;\;0\\0\;\;\;\;\;2\;\;\;\;\;3\;-1:-2\end{aligned}\right).\;\;\frac12R_2\rightarrow{R_2}\left(\begin{aligned}1\;-2\;-3\;\;\;\;0\;\;:\;\;\;0\\0\;\;\;\;\;1\;\;\;\;\;\frac32\;\frac{-1}2:-1\end{aligned}\right)$$ **Ex**: $$\begin{pmatrix}1&2&0&-1&3&|&2\\2&3&2&-2&10&|&0\\1&3&-2&-4&2&|&3\\-1&-3&2&2&-4&|&-4\end{pmatrix}\left.\begin{aligned}R_2-2R_1\rightarrow{R_2}\\R_3-R_1\rightarrow{R_3}\\\xrightarrow{}\\R_4+R_1\rightarrow{R_4}\end{aligned}\right.\begin{pmatrix}1&2&0&-1&3&|&2\\0&-1&2&0&4&|&-4\\0&1&-2&-3&-1&|&1\\0&-1&2&2&2&|&-2\end{pmatrix}$$ -**Avslutande av kapitle**: $$\begin{aligned} -\begin{aligned} - -\end{aligned} +**Avslutande av kapitle**: $$\begin{aligned}\begin{aligned}x+2y-u+3v&=&2\\2x+3y+2z-2u+10v&=&0\\x+3y-2z-4u+2v&=&3\\-x-3y+2z+3u-v&=&-4\end{aligned}\Rightarrow\begin{pmatrix}1&2&0&-1&3&|&2\\2&3&2&-2&10&|&0\\1&3&-2&-4&2&|&3\\-1&-3&2&3&-1&|&-4\end{pmatrix}\\\begin{aligned}R_2-2R_1\rightarrow{}R_2\\R_3-R_1\rightarrow{}R_3\\R_4+R_1\rightarrow{}R_4\\\xrightarrow{}\end{aligned}\begin{pmatrix}1&2&0&-1&3&|&2\\0&-1&2&0&4&|&-4\\0&1&-2&-3&-1&|&1\\0&-1&2&2&2&|&-2\end{pmatrix}\begin{aligned}R_3+R_2\rightarrow{}R_3\\R_4-R_2\rightarrow{}R_4\\\xrightarrow{}\end{aligned}\begin{pmatrix}1&2&0&-1&3&|&2\\0&-1&2&0&4&|&-4\\0&0&0&-3&3&|&-3\\0&0&0&2&-2&|&2\end{pmatrix}\\\begin{aligned}R_2\rightarrow{}R_2\\\frac13R_3\rightarrow{}R_3\\\frac12R_4\rightarrow{}R_4\\\xrightarrow{}\end{aligned}\begin{pmatrix}1&2&0&-1&3&|&2\\0&1&-2&0&-4&|&4\\0&0&0&1&-1&|&1\\0&0&0&1&-1&|&1\end{pmatrix}\begin{aligned}R_4-R_3\rightarrow{}R_4\\\xrightarrow{}\end{aligned}\begin{pmatrix}1&2&0&-1&3&|&2\\0&1&-2&0&-4&|&4\\0&0&0&1&-1&|&1\\0&0&0&0&0&|&0\end{pmatrix}\end{aligned}$$ +- *$z$ och $v$ är fria variablar i detta systemet* +- $$\begin{aligned} +n=s,\text{ där }s\in\mathbb{R}\text{ (frivariable)}\\ +u-n=1\Rightarrow{u=1-s}\\ +z=t,\text{ där }t\in\mathbb{R}\\ +y-2z-4v=4\Rightarrow{}y=2t+4s+4\\ +x+2y-u+3v=z\Rightarrow{}x=-2\left(2t+4s+4\right)+\left(1+s\right)-3s+2\\ +x=-4t-10s-5 \end{aligned}$$ \ No newline at end of file diff --git a/Untitled.md b/Untitled.md new file mode 100644 index 0000000..e69de29