vault backup: 2026-03-09 16:57:52

.obsidian/appearance.json

@@ -1,4 +1,5 @@
 {
   "cssTheme": "Catppuccin",
-  "baseFontSize": 20
+  "baseFontSize": 20,
+  "nativeMenus": true
 }

.obsidian/community-plugins.json

@@ -1,6 +1,7 @@
 [
   "obsidian-git",
   "obsidian-style-settings",
+  "obsidian-completr",
   "obsidian-tikzjax",
-  "obsidian-completr"
+  "obsidian-desmos"
 ]

.obsidian/plugins/obsidian-completr/scanned_words.txt

@@ -19,6 +19,8 @@ Dominains
 Double
 Diagonal
 Determinant
+DIMENSIONSSATS
+Diagonalisering
 Ett
 En
 Ex
@@ -40,6 +42,9 @@ EdNL
 Ez
 Exemple
 Element
+Endast
+Enhetsmatrisen
+Egenvärdena
 linjärt
 ller
 linjär
@@ -70,6 +75,14 @@ lhgh
 length
 leads
 längden
+lyfter
+linjära
+lösningarna
+lönsing
+längd
+läst
+leka
+liksidiga
 ekvationssystem
 en
 ekvationer
@@ -103,6 +116,23 @@ equal
 equations
 ekvationen
 em
+egenvärdarna
+egenvärden
+engenvärdena
+egenvektor
+egenvärde
+egenskap
+endast
+egenvektorer
+exakt
+entydig
+entydligt
+enhetsmatrisen
+enher
+enhet
+enheter
+efter
+egenvärdet
 med
 moam
 matris
@@ -136,6 +166,13 @@ measured
 mellan
 matrisen
 mängden
+multiplicitet
+mot
+möjliga
+matriserns
+medger
+matrises
+mämligen
 reella
 rella
 rektagulär
@@ -177,6 +214,11 @@ rätviklig
 rektangle
 räkneregler
 realla
+resultat
+räknad
+räknas
+rang
+räkna
 koefficienter
 konstant
 koeffienter
@@ -204,6 +246,23 @@ kvadratisk
 kända
 kvar
 kvadratiska
+kofaktormatris
+kavaktieiska
+karakterisktiska
+kalla
+kolumnmatris
+kolumnmatriser
+kombinatoner
+kolumnmatrisen
+kolunrummet
+kärna
+kärnrum
+kolomn
+korninatsystemet
+kombination
+korndinaterna
+kordinater
+kunna
 är
 än
 ändpunkten
@@ -263,6 +322,20 @@ standerd
 skulle
 summa
 skriva
+sammanfaller
+shcema
+schemat
+shcemat
+ska
+ste
+skrivas
+standerndbasen
+standerdbasen
+signerade
+sägs
+späns
+spenns
+skälärprodukten
 av
 alla
 allmänt
@@ -298,6 +371,12 @@ also
 are
 använda
 anta
+alltid
+antaliet
+antingen
+aldrig
+area
+arean
 där
 det
 den
@@ -337,6 +416,8 @@ determinant
 deferminanten
 determinanten
 diaonal
+dana
+dimensonella
 Varje
 Variablar
 Variabeln
@@ -351,6 +432,8 @@ Visa
 VN
 VF
 Vilka
+Volym
+Volum
 innerh
 inte
 int
@@ -373,6 +456,12 @@ identitersmatrisen
 invers
 inverser
 index
+ich
+ibland
+ingen
+inversom
+istället
+innan
 variabler
 vatiabler
 vatiable
@@ -399,6 +488,18 @@ vars
 vinkeln
 vanliga
 vet
+vata
+vektorer
+varja
+vektoter
+vekrje
+vidare
+vektorerna
+varandra
+vektoerna
+viktigt
+volymen
+val
 och
 om
 ordning
@@ -424,6 +525,19 @@ odd
 okänd
 ordningen
 ojämt
+ohc
+oberoende
+overrightarrow
+ortagonal
+olika
+ortekonala
+ortogonal
+ortogonala
+ortognala
+ortiginal
+oss
+ordingen
+orienterad
 hat
 herstamade
 här
@@ -442,6 +556,10 @@ hJ
 hBf
 hence
 ha
+hända
+händer
+höjdet
+hade
 gemmesamma
 gauss
 gäller
@@ -457,6 +575,9 @@ global
 gG
 general
 genom
+gra
+gälla
+gamla
 för
 förekommer
 första
@@ -488,6 +609,12 @@ function
 fuction
 funkar
 find
+finnas
+fortsätning
+fira
+fallet
+före
+figuren
 term
 tal
 till
@@ -523,6 +650,17 @@ talet
 talen
 termer
 ta
+triangul
+tirangulär
+tänkas
+tvp
+tredhe
+ty
+tt
+tirangel
+tar
+triageln
+tetraheder
 ut
 utgöt
 under
@@ -538,12 +676,19 @@ uZ
 unit
 uppfyller
 utvald
+upprepas
+uppn
+up
+utgörs
+underförst
+uo
 HL
 Hur
 HmE
 HaW
 HRU
 Half
+Heltalspotenser
 Jauss
 Jämför
 Jf
@@ -567,6 +712,8 @@ Solve
 Similarly
 Som
 SATS
+Samma
+Standerdbasen
 börjar
 bestämmer
 befiner
@@ -592,6 +739,11 @@ bara
 beroende
 byten
 bort
+bestämnda
+bas
+beräknar
+basbyte
+basen
 Ur
 Under
 Uk
@@ -619,6 +771,17 @@ plane
 penmutationer
 permutation
 parytor
+polynom
+produkten
+prisis
+parallellogramet
+pratar
+parallellogramen
+positiv
+parallella
+parallellogram
+parallellepiod
+parallelopipod
 Alla
 Antigen
 Avslutande
@@ -632,6 +795,8 @@ At
 Aa
 AT
 Användiongs
+Anars
+Areabyte
 Oändligt
 Om
 OBS
@@ -642,6 +807,7 @@ Obs
 Oqj
 OL
 Op
+Observera
 nga
 nollställen
 nu
@@ -656,6 +822,10 @@ njh
 ndet
 nN
 nNeO
+nolldimension
+när
+nellan
+nya
 Mist
 Mera
 Mindre
@@ -712,6 +882,8 @@ The
 Then
 Transponering
 Transponanten
+Transponaten
+Tv
 Falsk
 För
 Funktionen
@@ -724,6 +896,8 @@ Fr
 For
 FAKTA
 Fins
+Föreläsning
+Följande
 Global
 GD
 Graf
@@ -737,6 +911,10 @@ KKK
 Koraste
 KZ
 Koordinatrummet
+Kallas
+Kom
+Kolumnerna
+Kordinater
 Primärfunktioner
 Produkt
 Paramaterformen
@@ -768,11 +946,14 @@ It
 In
 Inverse
 Imdermatrosem
+Ih
 Bestäm
 Betäkning
 Bmm
 BD
 BEVIS
+Betrakta
+Beräkna
 öppet
 över
 cos
@@ -820,6 +1001,8 @@ Nutth
 Nd
 Note
 Negatives
+Nollställena
+Nör
 WT
 Wn
 Wdj
@@ -832,6 +1015,7 @@ jmm
 jS
 jjj
 jämnt
+jobbar
 XmE
 XG
 Xg

.obsidian/plugins/obsidian-desmos/data.json

@@ -0,0 +1,8 @@
+{
+  "version": "0.6.8",
+  "renderer": true,
+  "cache": {
+    "enabled": true,
+    "location": "Memory"
+  }
+}

.obsidian/plugins/obsidian-desmos/manifest.json

@@ -0,0 +1,8 @@
+{
+    "id": "obsidian-desmos",
+    "name": "Desmos",
+    "version": "0.6.8",
+    "minAppVersion": "0.9.12",
+    "description": "Embed Desmos graphs into your notes",
+    "author": "Nigecat"
+}

.obsidian/plugins/obsidian-git/manifest.json

@@ -6,5 +6,5 @@
     "description": "Integrate Git version control with automatic backup and other advanced features.",
     "isDesktopOnly": false,
     "fundingUrl": "https://ko-fi.com/vinzent",
-    "version": "2.35.1"
+    "version": "2.38.0"
 }

.obsidian/plugins/obsidian-git/styles.css

@@ -8,6 +8,15 @@
     }
 }
 
+.git-signs-gutter {
+    .cm-gutterElement {
+        /* Needed to align the sign properly for different line heigts. Such as
+         * when having a heading or list item.
+         */
+        padding-top: 0 !important;
+    }
+}
+
 .workspace-leaf-content[data-type="git-view"] .button-border {
     border: 2px solid var(--interactive-accent);
     border-radius: var(--radius-s);
@@ -72,6 +81,11 @@
     height: 100%;
 }
 
+/* Re-enable wrapping of nav buttns to prevent overflow on smaller screens #*/
+.workspace-drawer .git-view .nav-buttons-container {
+    flex-wrap: wrap;
+}
+
 .git-tools {
     display: flex;
     margin-left: auto;
@@ -129,444 +143,401 @@
     color: var(--text-accent);
 }
 
-.workspace-leaf-content[data-type="diff-view"] .d2h-d-none {
-    display: none;
-}
-
-.workspace-leaf-content[data-type="diff-view"] .d2h-wrapper {
-    text-align: left;
-}
-
-.workspace-leaf-content[data-type="diff-view"] .d2h-file-header {
-    background-color: var(--background-primary);
-    border-bottom: 1px solid var(--interactive-accent);
-    font-family: var(--font-monospace);
-    height: 35px;
-    padding: 5px 10px;
-}
-
-.workspace-leaf-content[data-type="diff-view"] .d2h-file-header,
-.workspace-leaf-content[data-type="diff-view"] .d2h-file-stats {
-    display: -webkit-box;
-    display: -ms-flexbox;
-    display: flex;
-}
-
-.workspace-leaf-content[data-type="diff-view"] .d2h-file-stats {
-    font-size: 14px;
-    margin-left: auto;
-}
-
-.workspace-leaf-content[data-type="diff-view"] .d2h-lines-added {
-    border: 1px solid #b4e2b4;
-    border-radius: 5px 0 0 5px;
-    color: #399839;
-    padding: 2px;
-    text-align: right;
-    vertical-align: middle;
-}
-
-.workspace-leaf-content[data-type="diff-view"] .d2h-lines-deleted {
-    border: 1px solid #e9aeae;
-    border-radius: 0 5px 5px 0;
-    color: #c33;
-    margin-left: 1px;
-    padding: 2px;
-    text-align: left;
-    vertical-align: middle;
-}
-
-.workspace-leaf-content[data-type="diff-view"] .d2h-file-name-wrapper {
-    -webkit-box-align: center;
-    -ms-flex-align: center;
-    align-items: center;
-    display: -webkit-box;
-    display: -ms-flexbox;
-    display: flex;
-    font-size: 15px;
-    width: 100%;
-}
-
-.workspace-leaf-content[data-type="diff-view"] .d2h-file-name {
-    overflow-x: hidden;
-    text-overflow: ellipsis;
-    white-space: nowrap;
-}
-
-.workspace-leaf-content[data-type="diff-view"] .d2h-file-wrapper {
-    border: 1px solid var(--background-modifier-border);
-    border-radius: 3px;
-    margin-bottom: 1em;
-}
-
-.workspace-leaf-content[data-type="diff-view"] .d2h-file-collapse {
-    -webkit-box-pack: end;
-    -ms-flex-pack: end;
-    -webkit-box-align: center;
-    -ms-flex-align: center;
-    align-items: center;
-    border: 1px solid var(--background-modifier-border);
-    border-radius: 3px;
-    cursor: pointer;
-    display: none;
-    font-size: 12px;
-    justify-content: flex-end;
-    padding: 4px 8px;
-}
-
-.workspace-leaf-content[data-type="diff-view"] .d2h-file-collapse.d2h-selected {
-    background-color: #c8e1ff;
-}
-
-.workspace-leaf-content[data-type="diff-view"] .d2h-file-collapse-input {
-    margin: 0 4px 0 0;
-}
-
-.workspace-leaf-content[data-type="diff-view"] .d2h-diff-table {
-    border-collapse: collapse;
-    font-family: Menlo, Consolas, monospace;
-    font-size: 13px;
-    width: 100%;
-}
-
-.workspace-leaf-content[data-type="diff-view"] .d2h-files-diff {
-    width: 100%;
-}
-
-.workspace-leaf-content[data-type="diff-view"] .d2h-file-diff {
-    overflow-y: hidden;
-}
-
-.workspace-leaf-content[data-type="diff-view"] .d2h-file-side-diff {
-    display: inline-block;
-    margin-bottom: -8px;
-    margin-right: -4px;
-    overflow-x: scroll;
-    overflow-y: hidden;
-    width: 50%;
-}
-
-.workspace-leaf-content[data-type="diff-view"] .d2h-code-line {
-    padding: 0 8em;
-}
-
-.workspace-leaf-content[data-type="diff-view"] .d2h-code-line,
-.workspace-leaf-content[data-type="diff-view"] .d2h-code-side-line {
-    display: inline-block;
-    -webkit-user-select: none;
-    -moz-user-select: none;
-    -ms-user-select: none;
-    user-select: none;
-    white-space: nowrap;
-    width: 100%;
-}
-
-.workspace-leaf-content[data-type="diff-view"] .d2h-code-side-line {
-    padding: 0 4.5em;
-}
-
-.workspace-leaf-content[data-type="diff-view"] .d2h-code-line-ctn {
-    word-wrap: normal;
-    background: none;
-    display: inline-block;
-    padding: 0;
-    -webkit-user-select: text;
-    -moz-user-select: text;
-    -ms-user-select: text;
-    user-select: text;
-    vertical-align: middle;
-    white-space: pre;
-    width: 100%;
-}
-
-.theme-light .workspace-leaf-content[data-type="diff-view"] .d2h-code-line del,
-.theme-light
-    .workspace-leaf-content[data-type="diff-view"]
-    .d2h-code-side-line
-    del {
-    background-color: #ffb6ba;
-}
-
-.theme-dark .workspace-leaf-content[data-type="diff-view"] .d2h-code-line del,
-.theme-dark
-    .workspace-leaf-content[data-type="diff-view"]
-    .d2h-code-side-line
-    del {
-    background-color: #8d232881;
-}
-
-.workspace-leaf-content[data-type="diff-view"] .d2h-code-line del,
-.workspace-leaf-content[data-type="diff-view"] .d2h-code-line ins,
-.workspace-leaf-content[data-type="diff-view"] .d2h-code-side-line del,
-.workspace-leaf-content[data-type="diff-view"] .d2h-code-side-line ins {
-    border-radius: 0.2em;
-    display: inline-block;
-    margin-top: -1px;
-    text-decoration: none;
-    vertical-align: middle;
-}
-
-.theme-light .workspace-leaf-content[data-type="diff-view"] .d2h-code-line ins,
-.theme-light
-    .workspace-leaf-content[data-type="diff-view"]
-    .d2h-code-side-line
-    ins {
-    background-color: #97f295;
-    text-align: left;
-}
-
-.theme-dark .workspace-leaf-content[data-type="diff-view"] .d2h-code-line ins,
-.theme-dark
-    .workspace-leaf-content[data-type="diff-view"]
-    .d2h-code-side-line
-    ins {
-    background-color: #1d921996;
-    text-align: left;
-}
-
-.workspace-leaf-content[data-type="diff-view"] .d2h-code-line-prefix {
-    word-wrap: normal;
-    background: none;
-    display: inline;
-    padding: 0;
-    white-space: pre;
-}
-
-.workspace-leaf-content[data-type="diff-view"] .line-num1 {
-    float: left;
-}
-
-.workspace-leaf-content[data-type="diff-view"] .line-num1,
-.workspace-leaf-content[data-type="diff-view"] .line-num2 {
-    -webkit-box-sizing: border-box;
-    box-sizing: border-box;
-    overflow: hidden;
-    padding: 0 0.5em;
-    text-overflow: ellipsis;
-    width: 3.5em;
-}
-
-.workspace-leaf-content[data-type="diff-view"] .line-num2 {
-    float: right;
-}
-
-.workspace-leaf-content[data-type="diff-view"] .d2h-code-linenumber {
-    background-color: var(--background-primary);
-    border: solid var(--background-modifier-border);
-    border-width: 0 1px;
-    -webkit-box-sizing: border-box;
-    box-sizing: border-box;
-    color: var(--text-muted);
-    cursor: pointer;
-    display: inline-block;
-    position: absolute;
-    text-align: right;
-    width: 7.5em;
-}
-
-.workspace-leaf-content[data-type="diff-view"] .d2h-code-linenumber:after {
-    content: "\200b";
-}
-
-.workspace-leaf-content[data-type="diff-view"] .d2h-code-side-linenumber {
-    background-color: var(--background-primary);
-    border: solid var(--background-modifier-border);
-    border-width: 0 1px;
-    -webkit-box-sizing: border-box;
-    box-sizing: border-box;
-    color: var(--text-muted);
-    cursor: pointer;
-    display: inline-block;
-    overflow: hidden;
-    padding: 0 0.5em;
-    position: absolute;
-    text-align: right;
-    text-overflow: ellipsis;
-    width: 4em;
-}
-
-.workspace-leaf-content[data-type="diff-view"] .d2h-diff-tbody tr {
-    position: relative;
-}
-
-.workspace-leaf-content[data-type="diff-view"] .d2h-code-side-linenumber:after {
-    content: "\200b";
-}
-
-.workspace-leaf-content[data-type="diff-view"] .d2h-code-side-emptyplaceholder,
-.workspace-leaf-content[data-type="diff-view"] .d2h-emptyplaceholder {
-    background-color: var(--background-primary);
-    border-color: var(--background-modifier-border);
-}
-
-.workspace-leaf-content[data-type="diff-view"] .d2h-code-line-prefix,
-.workspace-leaf-content[data-type="diff-view"] .d2h-code-linenumber,
-.workspace-leaf-content[data-type="diff-view"] .d2h-code-side-linenumber,
-.workspace-leaf-content[data-type="diff-view"] .d2h-emptyplaceholder {
-    -webkit-user-select: none;
-    -moz-user-select: none;
-    -ms-user-select: none;
-    user-select: none;
-}
-
-.workspace-leaf-content[data-type="diff-view"] .d2h-code-linenumber,
-.workspace-leaf-content[data-type="diff-view"] .d2h-code-side-linenumber {
-    direction: rtl;
-}
-
-.theme-light .workspace-leaf-content[data-type="diff-view"] .d2h-del {
-    background-color: #fee8e9;
-    border-color: #e9aeae;
-}
-
-.theme-light .workspace-leaf-content[data-type="diff-view"] .d2h-ins {
-    background-color: #dfd;
-    border-color: #b4e2b4;
-}
-
-.theme-dark .workspace-leaf-content[data-type="diff-view"] .d2h-del {
-    background-color: #521b1d83;
-    border-color: #691d1d73;
-}
-
-.theme-dark .workspace-leaf-content[data-type="diff-view"] .d2h-ins {
-    background-color: rgba(30, 71, 30, 0.5);
-    border-color: #13501381;
-}
-
-.workspace-leaf-content[data-type="diff-view"] .d2h-info {
-    background-color: var(--background-primary);
-    border-color: var(--background-modifier-border);
-    color: var(--text-normal);
-}
-
-.theme-light
-    .workspace-leaf-content[data-type="diff-view"]
-    .d2h-file-diff
-    .d2h-del.d2h-change {
-    background-color: #fdf2d0;
-}
-
-.theme-dark
-    .workspace-leaf-content[data-type="diff-view"]
-    .d2h-file-diff
-    .d2h-del.d2h-change {
-    background-color: #55492480;
-}
-
-.theme-light
-    .workspace-leaf-content[data-type="diff-view"]
-    .d2h-file-diff
-    .d2h-ins.d2h-change {
-    background-color: #ded;
-}
-
-.theme-dark
-    .workspace-leaf-content[data-type="diff-view"]
-    .d2h-file-diff
-    .d2h-ins.d2h-change {
-    background-color: rgba(37, 78, 37, 0.418);
-}
-
-.workspace-leaf-content[data-type="diff-view"] .d2h-file-list-wrapper {
-    margin-bottom: 10px;
-}
-
-.workspace-leaf-content[data-type="diff-view"] .d2h-file-list-wrapper a {
-    color: #3572b0;
-    text-decoration: none;
-}
-
-.workspace-leaf-content[data-type="diff-view"]
-    .d2h-file-list-wrapper
-    a:visited {
-    color: #3572b0;
-}
-
-.workspace-leaf-content[data-type="diff-view"] .d2h-file-list-header {
-    text-align: left;
-}
-
-.workspace-leaf-content[data-type="diff-view"] .d2h-file-list-title {
-    font-weight: 700;
-}
-
-.workspace-leaf-content[data-type="diff-view"] .d2h-file-list-line {
-    display: -webkit-box;
-    display: -ms-flexbox;
-    display: flex;
-    text-align: left;
-}
-
-.workspace-leaf-content[data-type="diff-view"] .d2h-file-list {
-    display: block;
-    list-style: none;
-    margin: 0;
-    padding: 0;
-}
-
-.workspace-leaf-content[data-type="diff-view"] .d2h-file-list > li {
-    border-bottom: 1px solid var(--background-modifier-border);
-    margin: 0;
-    padding: 5px 10px;
-}
-
-.workspace-leaf-content[data-type="diff-view"] .d2h-file-list > li:last-child {
-    border-bottom: none;
-}
-
-.workspace-leaf-content[data-type="diff-view"] .d2h-file-switch {
-    cursor: pointer;
-    display: none;
-    font-size: 10px;
-}
-
-.workspace-leaf-content[data-type="diff-view"] .d2h-icon {
-    fill: currentColor;
-    margin-right: 10px;
-    vertical-align: middle;
-}
-
-.workspace-leaf-content[data-type="diff-view"] .d2h-deleted {
-    color: #c33;
-}
-
-.workspace-leaf-content[data-type="diff-view"] .d2h-added {
-    color: #399839;
-}
-
-.workspace-leaf-content[data-type="diff-view"] .d2h-changed {
-    color: #d0b44c;
-}
-
-.workspace-leaf-content[data-type="diff-view"] .d2h-moved {
-    color: #3572b0;
-}
-
-.workspace-leaf-content[data-type="diff-view"] .d2h-tag {
-    background-color: var(--background-primary);
-    display: -webkit-box;
-    display: -ms-flexbox;
-    display: flex;
-    font-size: 10px;
-    margin-left: 5px;
-    padding: 0 2px;
-}
-
-.workspace-leaf-content[data-type="diff-view"] .d2h-deleted-tag {
-    border: 2px solid #c33;
-}
-
-.workspace-leaf-content[data-type="diff-view"] .d2h-added-tag {
-    border: 1px solid #399839;
-}
-
-.workspace-leaf-content[data-type="diff-view"] .d2h-changed-tag {
-    border: 1px solid #d0b44c;
-}
-
-.workspace-leaf-content[data-type="diff-view"] .d2h-moved-tag {
-    border: 1px solid #3572b0;
+/* ====== diff2html ======
+The following styles are adapted from the obsidian-version-history plugin by
+@kometenstaub https://github.com/kometenstaub/obsidian-version-history-diff/blob/main/src/styles.scss
+which itself is adapted from the diff2html library with the following original license:
+
+   	https://github.com/rtfpessoa/diff2html/blob/master/LICENSE.md
+
+	Copyright 2014-2016 Rodrigo Fernandes https://rtfpessoa.github.io/
+
+	Permission is hereby granted, free of charge, to any person obtaining a copy of this software and associated
+	documentation files (the "Software"), to deal in the Software without restriction, including without limitation the
+	rights to use, copy, modify, merge, publish, distribute, sublicense, and/or sell copies of the Software, and to permit
+	persons to whom the Software is furnished to do so, subject to the following conditions:
+
+	The above copyright notice and this permission notice shall be included in all copies or substantial portions of the
+	Software.
+
+	THE SOFTWARE IS PROVIDED "AS IS", WITHOUT WARRANTY OF ANY KIND, EXPRESS OR IMPLIED, INCLUDING BUT NOT LIMITED TO THE
+	WARRANTIES OF MERCHANTABILITY, FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE AND NONINFRINGEMENT. IN NO EVENT SHALL THE AUTHORS OR
+	COPYRIGHT HOLDERS BE LIABLE FOR ANY CLAIM, DAMAGES OR OTHER LIABILITY, WHETHER IN AN ACTION OF CONTRACT, TORT OR
+	OTHERWISE, ARISING FROM, OUT OF OR IN CONNECTION WITH THE SOFTWARE OR THE USE OR OTHER DEALINGS IN THE SOFTWARE.
+*/
+
+.theme-dark,
+.theme-light {
+    --git-delete-bg: #ff475040;
+    --git-delete-hl: #96050a75;
+    --git-insert-bg: #68d36840;
+    --git-insert-hl: #23c02350;
+    --git-change-bg: #ffd55840;
+    --git-selected: #3572b0;
+
+    --git-delete: #c33;
+    --git-insert: #399839;
+    --git-change: #d0b44c;
+    --git-move: #3572b0;
+}
+
+.git-diff {
+    .d2h-d-none {
+        display: none;
+    }
+    .d2h-wrapper {
+        text-align: left;
+        border-radius: 0.25em;
+        overflow: auto;
+    }
+    .d2h-file-header.d2h-file-header {
+        background-color: var(--background-secondary);
+        border-bottom: 1px solid var(--background-modifier-border);
+        font-family:
+            Source Sans Pro,
+            Helvetica Neue,
+            Helvetica,
+            Arial,
+            sans-serif;
+        height: 35px;
+        padding: 5px 10px;
+    }
+    .d2h-file-header,
+    .d2h-file-stats {
+        display: -webkit-box;
+        display: -ms-flexbox;
+        display: flex;
+    }
+    .d2h-file-header {
+        display: none;
+    }
+    .d2h-file-stats {
+        font-size: 14px;
+        margin-left: auto;
+    }
+    .d2h-lines-added {
+        border: 1px solid var(--color-green);
+        border-radius: 5px 0 0 5px;
+        color: var(--color-green);
+        padding: 2px;
+        text-align: right;
+        vertical-align: middle;
+    }
+    .d2h-lines-deleted {
+        border: 1px solid var(--color-red);
+        border-radius: 0 5px 5px 0;
+        color: var(--color-red);
+        margin-left: 1px;
+        padding: 2px;
+        text-align: left;
+        vertical-align: middle;
+    }
+    .d2h-file-name-wrapper {
+        -webkit-box-align: center;
+        -ms-flex-align: center;
+        align-items: center;
+        display: -webkit-box;
+        display: -ms-flexbox;
+        display: flex;
+        font-size: 15px;
+        width: 100%;
+    }
+    .d2h-file-name {
+        overflow: hidden;
+        text-overflow: ellipsis;
+        white-space: nowrap;
+        color: var(--text-normal);
+        font-size: var(--h5-size);
+    }
+    .d2h-file-wrapper {
+        border: 1px solid var(--background-secondary-alt);
+        border-radius: 3px;
+        margin-bottom: 1em;
+        max-height: 100%;
+    }
+    .d2h-file-collapse {
+        -webkit-box-pack: end;
+        -ms-flex-pack: end;
+        -webkit-box-align: center;
+        -ms-flex-align: center;
+        align-items: center;
+        border: 1px solid var(--background-secondary-alt);
+        border-radius: 3px;
+        cursor: pointer;
+        display: none;
+        font-size: 12px;
+        justify-content: flex-end;
+        padding: 4px 8px;
+    }
+    .d2h-file-collapse.d2h-selected {
+        background-color: var(--git-selected);
+    }
+    .d2h-file-collapse-input {
+        margin: 0 4px 0 0;
+    }
+    .d2h-diff-table {
+        border-collapse: collapse;
+        font-family: var(--font-monospace);
+        font-size: var(--code-size);
+        width: 100%;
+    }
+    .d2h-files-diff {
+        width: 100%;
+    }
+    .d2h-file-diff {
+        /*
+		overflow-y: scroll;
+		*/
+        border-radius: 5px;
+        font-size: var(--font-text-size);
+        line-height: var(--line-height-normal);
+    }
+    .d2h-file-side-diff {
+        display: inline-block;
+        margin-bottom: -8px;
+        margin-right: -4px;
+        overflow-x: scroll;
+        overflow-y: hidden;
+        width: 50%;
+    }
+    .d2h-code-line {
+        padding-left: 6em;
+        padding-right: 1.5em;
+    }
+    .d2h-code-line,
+    .d2h-code-side-line {
+        display: inline-block;
+        -webkit-user-select: none;
+        -moz-user-select: none;
+        -ms-user-select: none;
+        user-select: none;
+        white-space: nowrap;
+        width: 100%;
+    }
+    .d2h-code-side-line {
+        /* needed to be changed */
+        padding-left: 0.5em;
+        padding-right: 0.5em;
+    }
+    .d2h-code-line-ctn {
+        word-wrap: normal;
+        background: none;
+        display: inline-block;
+        padding: 0;
+        -webkit-user-select: text;
+        -moz-user-select: text;
+        -ms-user-select: text;
+        user-select: text;
+        vertical-align: middle;
+        width: 100%;
+        /* only works for line-by-line */
+        white-space: pre-wrap;
+    }
+    .d2h-code-line del,
+    .d2h-code-side-line del {
+        background-color: var(--git-delete-hl);
+        color: var(--text-normal);
+    }
+    .d2h-code-line del,
+    .d2h-code-line ins,
+    .d2h-code-side-line del,
+    .d2h-code-side-line ins {
+        border-radius: 0.2em;
+        display: inline-block;
+        margin-top: -1px;
+        text-decoration: none;
+        vertical-align: middle;
+    }
+    .d2h-code-line ins,
+    .d2h-code-side-line ins {
+        background-color: var(--git-insert-hl);
+        text-align: left;
+    }
+    .d2h-code-line-prefix {
+        word-wrap: normal;
+        background: none;
+        display: inline;
+        padding: 0;
+        white-space: pre;
+    }
+    .line-num1 {
+        float: left;
+    }
+    .line-num1,
+    .line-num2 {
+        -webkit-box-sizing: border-box;
+        box-sizing: border-box;
+        overflow: hidden;
+        /*
+		padding: 0 0.5em;
+		*/
+        text-overflow: ellipsis;
+        width: 2.5em;
+        padding-left: 0;
+    }
+    .line-num2 {
+        float: right;
+    }
+    .d2h-code-linenumber {
+        background-color: var(--background-primary);
+        border: solid var(--background-modifier-border);
+        border-width: 0 1px;
+        -webkit-box-sizing: border-box;
+        box-sizing: border-box;
+        color: var(--text-faint);
+        cursor: pointer;
+        display: inline-block;
+        position: absolute;
+        text-align: right;
+        width: 5.5em;
+    }
+    .d2h-code-linenumber:after {
+        content: "\200b";
+    }
+    .d2h-code-side-linenumber {
+        background-color: var(--background-primary);
+        border: solid var(--background-modifier-border);
+        border-width: 0 1px;
+        -webkit-box-sizing: border-box;
+        box-sizing: border-box;
+        color: var(--text-faint);
+        cursor: pointer;
+        overflow: hidden;
+        padding: 0 0.5em;
+        text-align: right;
+        text-overflow: ellipsis;
+        width: 4em;
+        /* needed to be changed */
+        display: table-cell;
+        position: relative;
+    }
+    .d2h-code-side-linenumber:after {
+        content: "\200b";
+    }
+    .d2h-code-side-emptyplaceholder,
+    .d2h-emptyplaceholder {
+        background-color: var(--background-primary);
+        border-color: var(--background-modifier-border);
+    }
+    .d2h-code-line-prefix,
+    .d2h-code-linenumber,
+    .d2h-code-side-linenumber,
+    .d2h-emptyplaceholder {
+        -webkit-user-select: none;
+        -moz-user-select: none;
+        -ms-user-select: none;
+        user-select: none;
+    }
+    .d2h-code-linenumber,
+    .d2h-code-side-linenumber {
+        direction: rtl;
+    }
+    .d2h-del {
+        background-color: var(--git-delete-bg);
+        border-color: var(--git-delete-hl);
+    }
+    .d2h-ins {
+        background-color: var(--git-insert-bg);
+        border-color: var(--git-insert-hl);
+    }
+    .d2h-info {
+        background-color: var(--background-primary);
+        border-color: var(--background-modifier-border);
+        color: var(--text-faint);
+    }
+    .d2h-del,
+    .d2h-ins,
+    .d2h-file-diff .d2h-change {
+        color: var(--text-normal);
+    }
+    .d2h-file-diff .d2h-del.d2h-change {
+        background-color: var(--git-change-bg);
+    }
+    .d2h-file-diff .d2h-ins.d2h-change {
+        background-color: var(--git-insert-bg);
+    }
+    .d2h-file-list-wrapper {
+        a {
+            text-decoration: none;
+            cursor: default;
+            -webkit-user-drag: none;
+        }
+
+        svg {
+            display: none;
+        }
+    }
+    .d2h-file-list-header {
+        text-align: left;
+    }
+    .d2h-file-list-title {
+        display: none;
+    }
+    .d2h-file-list-line {
+        display: -webkit-box;
+        display: -ms-flexbox;
+        display: flex;
+        text-align: left;
+    }
+    .d2h-file-list {
+    }
+    .d2h-file-list > li {
+        border-bottom: 1px solid var(--background-modifier-border);
+        margin: 0;
+        padding: 5px 10px;
+    }
+    .d2h-file-list > li:last-child {
+        border-bottom: none;
+    }
+    .d2h-file-switch {
+        cursor: pointer;
+        display: none;
+        font-size: 10px;
+    }
+    .d2h-icon {
+        fill: currentColor;
+        margin-right: 10px;
+        vertical-align: middle;
+    }
+    .d2h-deleted {
+        color: var(--git-delete);
+    }
+    .d2h-added {
+        color: var(--git-insert);
+    }
+    .d2h-changed {
+        color: var(--git-change);
+    }
+    .d2h-moved {
+        color: var(--git-move);
+    }
+    .d2h-tag {
+        background-color: var(--background-secondary);
+        display: -webkit-box;
+        display: -ms-flexbox;
+        display: flex;
+        font-size: 10px;
+        margin-left: 5px;
+        padding: 0 2px;
+    }
+    .d2h-deleted-tag {
+        border: 1px solid var(--git-delete);
+    }
+    .d2h-added-tag {
+        border: 1px solid var(--git-insert);
+    }
+    .d2h-changed-tag {
+        border: 1px solid var(--git-change);
+    }
+    .d2h-moved-tag {
+        border: 1px solid var(--git-move);
+    }
+
+    /* needed for line-by-line*/
+
+    .d2h-diff-tbody {
+        position: relative;
+    }
 }
 
 /* ====================== Line Authoring Information ====================== */
@@ -627,3 +598,113 @@
     background: var(--interactive-hover);
     color: var(--text-accent-hover);
 }
+
+.git-signs-gutter {
+    .cm-gutterElement {
+        display: grid;
+    }
+}
+
+.git-gutter-marker:hover {
+    border-radius: 2px;
+}
+
+.git-gutter-marker.git-add {
+    background-color: var(--color-green);
+    justify-self: center;
+    height: inherit;
+    width: 0.2rem;
+}
+
+.git-gutter-marker.git-change {
+    background-color: var(--color-yellow);
+    justify-self: center;
+    height: inherit;
+    width: 0.2rem;
+}
+
+.git-gutter-marker.git-changedelete {
+    color: var(--color-yellow);
+    font-weight: var(--font-bold);
+    font-size: 1rem;
+    justify-self: center;
+    height: inherit;
+}
+
+.git-gutter-marker.git-delete {
+    background-color: var(--color-red);
+    height: 0.2rem;
+    width: 0.8rem;
+    align-self: end;
+}
+
+.git-gutter-marker.git-topdelete {
+    background-color: var(--color-red);
+    height: 0.2rem;
+    width: 0.8rem;
+    align-self: start;
+}
+
+div:hover > .git-gutter-marker.git-change {
+    width: 0.6rem;
+}
+
+div:hover > .git-gutter-marker.git-add {
+    width: 0.6rem;
+}
+
+div:hover > .git-gutter-marker.git-delete {
+    height: 0.6rem;
+}
+
+div:hover > .git-gutter-marker.git-topdelete {
+    height: 0.6rem;
+}
+
+div:hover > .git-gutter-marker.git-changedelete {
+    font-weight: var(--font-bold);
+}
+
+.git-gutter-marker.staged {
+    opacity: 0.5;
+}
+
+.git-diff {
+    .cm-merge-revert {
+        width: 4em;
+    }
+    /* Ensure that merge revert markers are positioned correctly */
+    .cm-merge-revert > * {
+        position: absolute;
+        background-color: var(--background-secondary);
+        display: flex;
+    }
+}
+
+/* Prevent shifting of the editor when git signs gutter is the only gutter present */
+.cm-gutters.cm-gutters-before:has(> .git-signs-gutter:only-child) {
+    margin-inline-end: 0;
+    .git-signs-gutter {
+        margin-inline-start: -1rem;
+    }
+}
+
+.git-changes-status-bar-colored {
+    .git-add {
+        color: var(--color-green);
+    }
+    .git-change {
+        color: var(--color-yellow);
+    }
+    .git-delete {
+        color: var(--color-red);
+    }
+}
+
+.git-changes-status-bar .git-add {
+    margin-right: 0.3em;
+}
+
+.git-changes-status-bar .git-change {
+    margin-right: 0.3em;
+}

.obsidian/workspace.json

@@ -4,38 +4,67 @@
     "type": "split",
     "children": [
       {
-        "id": "eec1dd4145fc2eac",
+        "id": "668c17ea9b4a6808",
         "type": "tabs",
         "children": [
           {
-            "id": "334286c6c273f693",
+            "id": "eb1bb5014b86fac7",
             "type": "leaf",
             "state": {
               "type": "markdown",
               "state": {
-                "file": "Determinanter (Kap. 6).md",
+                "file": "Area och Basbyte.md",
                 "mode": "source",
                 "source": false
               },
               "icon": "lucide-file",
-              "title": "Determinanter (Kap. 6)"
+              "title": "Area och Basbyte"
             }
           },
           {
-            "id": "91afe3b628f39918",
+            "id": "ba7a1e5edb2a0c5f",
             "type": "leaf",
             "state": {
               "type": "markdown",
               "state": {
-                "file": "Ekvations System.md",
+                "file": "Linjär avbildning.md",
                 "mode": "source",
                 "source": false
               },
               "icon": "lucide-file",
-              "title": "Ekvations System"
+              "title": "Linjär avbildning"
+            }
+          },
+          {
+            "id": "4915fdc1e459c44b",
+            "type": "leaf",
+            "state": {
+              "type": "markdown",
+              "state": {
+                "file": "Grudlägande Matriser.md",
+                "mode": "source",
+                "source": false
+              },
+              "icon": "lucide-file",
+              "title": "Grudlägande Matriser"
+            }
+          },
+          {
+            "id": "f156cc6a3efcf65c",
+            "type": "leaf",
+            "state": {
+              "type": "markdown",
+              "state": {
+                "file": "Diagonalisering.md",
+                "mode": "source",
+                "source": false
+              },
+              "icon": "lucide-file",
+              "title": "Diagonalisering"
             }
           }
-        ]
+        ],
+        "currentTab": 2
       }
     ],
     "direction": "vertical"
@@ -67,7 +96,7 @@
             "state": {
               "type": "search",
               "state": {
-                "query": "transponering",
+                "query": "",
                 "matchingCase": false,
                 "explainSearch": false,
                 "collapseAll": false,
@@ -194,10 +223,16 @@
       "obsidian-git:Open Git source control": false
     }
   },
-  "active": "334286c6c273f693",
+  "active": "4915fdc1e459c44b",
   "lastOpenFiles": [
-    "Ekvations System.md",
+    "Area och Basbyte.md",
+    "Grudlägande Matriser.md",
+    "Linjär avbildning.md",
+    "Diagonalisering.md",
+    "Matrisgeometri (Kap 5).md",
+    "Egenvärderna (Kap 10).md",
     "Determinanter (Kap. 6).md",
+    "Ekvations System.md",
     "Matriser.md",
     "Vektorer.md",
     "Maclaurin.md",

Area och Basbyte.md

@@ -0,0 +1,82 @@
+```desmos-graph
+left=-5; right=5;
+top=5; bottom=-5;
+---
+([0,0],[0,1])
+([0,1],[0,0])
+0 < y < 1 {0 < x < 1}
+```
+
+*En area enher av parallellogramet som spänns up av vektorerna. Standerdbasen $\overrightarrow{e_1},\;\overrightarrow{e_2}$ utgörs av korndinaterna av* $$\begin{bmatrix}
+1&0\\0&1
+\end{bmatrix}$$
+**DEF**: *En "standerd area enhet" är lika med talet $\det{I}=1$. Om det är underförstått att vi jobbar med standerdbasen, då pratar vi endast om "area enheter".*
+
+**DEF**: *Den signerade arean (dvs. arean med signerade + eller -) av parallellogramen som spänns uo av vektoerna* $$\overrightarrow{u}=(u_1,\;u_2),\;\overrightarrow{v}=(v_1,\;v_2)\in\mathbb{R}^2$$*är leka med determinanten av matrisen vars kolumner utgörs av $\overrightarrow{u}$ och $\overrightarrow{v}$*
+
+*Om vi har en tirangel istället, få tar vi $\frac12$ av den här determinanten*
+**OBS**: *ordingen av $\overrightarrow{u}$ och $\overrightarrow{v}$ är viktigt:*$$\underset{\substack{\parallel\\u_1v_2-v_1u_2}}{\det(\begin{bmatrix}
+u_1&v_1\\u_2&v_2
+\end{bmatrix}}=-1\underset{\substack{\parallel\\v_1u_2-u_1v_2}}{\det(\begin{bmatrix}
+v_1&u_1\\v_2&u_2
+\end{bmatrix}}$$
+
+**DEF** *Två vektorer $\overrightarrow{u},\;\overrightarrow{v}$ sägs vara positiv orienterad om den signerade arean som späns upp av $\overrightarrow{u}$ och $\overrightarrow{v}$ är positiv*
+
+**OBS** *Om $\overrightarrow{u}$ och $\overrightarrow{v}$ är parallella, då*$$\det(\underset{\substack{
+\wedge\\\parallel\\\vee\\
+\text{parallellogramen som spänns up av $\overrightarrow{u}$ och $\overrightarrow{v}$ har area }0
+}}{\begin{bmatrix}
+u_1&v_1\\
+u_2&v_2
+\end{bmatrix}})=0\Leftrightarrow\text{}\text{kolumnerna är linjärt levande}$$
+```desmos-graph
+left=-1; right=5;
+top=1; bottom=-1;
+---
+(1,0.1)|blue|hidden|label:`\overrightarrow{v}`
+(3,0.1)|green|hidden|label:`\overrightarrow{u}`
+([0,2],[0,0])|blue
+([0,4],[0,0])|green
+```
+[Graph of a triangle area]
+*Area av den liksidiga triageln*$$\frac12\det(A)\frac12\times\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}$$
+**Areabyte**:
+- **Kordinater**: $$I\times\begin{bmatrix}
+\zeta_1\\\zeta_2\\\zeta_3
+\end{bmatrix}=A\times\begin{bmatrix}
+\alpha_1\\\alpha_2\\\alpha_3
+\end{bmatrix}$$
+- **Area**: *Om vi hade en area av $X$ a.e. innan basbyte, då har vi $\det{A}\times{X}$ a.e. efter basbyte.*
+- **Volym**: *x v.e. före basbyte $\Rightarrow$ $\det(A)\times{X}$ a.e. efter basbyte.*
+**OBS**:
+- *Area av triangle $=\frac12$ area av parallellogram*
+- *Volum av tetraheder $=\frac13$ volum av parallellepiod*
+- *4-d volum av 4-d tetrahden $=\frac1{24}$ 4-d volum av 4-d parallelopipod*
+
+
+**SATS**: *Låt $A$ vara en $m\times{n}$ ortogonal matris. Då är $\operatorname{def}(A)$ antigen $+1$ eller $-1$.*
+**BEVIS**:
+- *För ortogonala matriser är $A^{-1}=A^T$*
+- *$\det(A)=\det(A^T)$*
+- *$\operatorname{def}(AB)=\operatorname{def}(A)\times\operatorname{def}(B)$*
+$\Rightarrow{A}\times{A^T}=I\Rightarrow\det(AA^T)=\det(I)\Rightarrow\det(A)\times\det{A^T}=1\Rightarrow\operatorname{def}(A)^2=1\Rightarrow\operatorname{def}(A)\text{är }+1\text{ eller }-1$
+**OBS**: *Om vi har en $m\times{n}$ matris $A$, då är $\det(A)$ lika med den $m-$dimensonella volymen av figuren som spenns up av matrises kolumner*
+**EX**: $$\begin{bmatrix}
+1&0\\0&1
+\end{bmatrix}\rightarrow\begin{bmatrix}
+1&\frac12\\
+0&\frac{\sqrt{3}}2
+\end{bmatrix}\Rightarrow\text{svårt att beskriva}$$
+[ ]
+
+**FAKTA**: *Om $A$ är en ortogonal matris, då är skälärprodukten nellan två vektorer samma i så val den gamla basen som den nya basen*
+
+**Diagonalisering**
+$$\begin{aligned}PDP^{-1}=\begin{bmatrix}1&\frac13\\1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&\frac13\\1&1\end{bmatrix}^{-1}\\=\begin{bmatrix}1&-\frac13\\1&-1\end{bmatrix}\times\frac1{\frac23}\times\begin{bmatrix}1&-\frac13\\-1&1\end{bmatrix}\\=\frac32\times\begin{bmatrix}1&-\frac13\\1&-1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&-\frac13\\-1&1\end{bmatrix}=\frac23\times\begin{bmatrix}\frac43&-\frac23\\2&-\frac43\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}2&-1\\3&-2\end{bmatrix}=A\end{aligned}$$
+**Heltalspotenser**
+*Hur skulle vi kunna räkna ut $A^{2026}$?*
+$$(A^{2026}=\underbrace{AA\dots{A}}_{2026\text{ gånger}})$$
+**OBS**: $$\begin{aligned}A=PDP^{-1}\\A^2=AA=PD\underbracket{P^{-1}P}_{=I}DP^{-1}=PDDP^{-1}=PD^2P^{-1}\\A^3=AAA=PD\underbracket{P^{-1}P}_{=I}D\underbracket{P^{-1}P}_{=I}DP^{-1}=PD^3P^{-1}\\\Rightarrow{A^n}=PD^nP^{-1}\end{aligned}$$
+**EX**: $$\begin{aligned}\text{Om }D=\begin{bmatrix}d_1&0\\0&d_2\end{bmatrix}\\\Rightarrow&\\&D^2=\begin{bmatrix}d_1&0\\0&d_2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}d_1&0\\0&d_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{d_1}^2&0\\0&{d_2}^2\end{bmatrix}\\&D^3=\begin{bmatrix}d_1&0\\0&d_2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}d_1&0\\0&d_2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}d_1&0\\0&d_2\end{bmatrix}\\&=\begin{bmatrix}{d_1}^2&0\\0&{d_2}^2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}d_1&0\\0&d_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{d_1}^3&0\\0&{d_2}^3\end{bmatrix}\\&\vdots\end{aligned}\Rightarrow{D^n}=\begin{bmatrix}{d_1}^n&0\\0&{d_2}^n\end{bmatrix}$$
+**EX**: *Beräkna $A^{2026}$ för $A=\begin{bmatrix}2&-1\\3&-2\end{bmatrix}$*$$\begin{aligned}A^{2026}=PD^{2026}P^{-1}=\begin{bmatrix}1&\frac13\\1&1\end{bmatrix}\times\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}^{2026}\times\begin{bmatrix}1&\frac13\\1&1\end{bmatrix}^{-1}\\\begin{bmatrix}1&\frac13\\1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}\times\begin{bmatrix}1&\frac13\\1&1\end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix}1&\frac13\\1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&\frac13\\1&1\end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}=I\\\\\begin{matrix}A=A&A^3=A&A^5=A&\dots\\A^2=I&A^4=I&A^6=A&\dots\end{matrix}\end{aligned}$$

Diagonalisering.md

@@ -0,0 +1 @@
+$$$$

Egenvärderna (Kap 10).md

@@ -0,0 +1,84 @@
+**DEF**: *Låt $A$ vara $m\times{n}$ matris. Polynomet $$p_A(\lambda)=\det(A-\lambda I)$$. Kallas för matrisens kavaktieiska polynom. $\lambda\dots$ variabeln för detta polynom*
+**EX**: $$\begin{aligned}\text{Låt }A=\begin{bmatrix}2&-1\\3&-2\end{bmatrix}.\text{ Då är }A-\lambda{I}=\\\begin{bmatrix}2&-1\\3&-2\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}\lambda&0\\0&\lambda\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2-\lambda&-1\\3&-2-\lambda\end{bmatrix}\\\Rightarrow\det(A-\lambda{I})=\begin{vmatrix}2-\lambda&-1\\3&-2-\lambda\end{vmatrix}=(2-\lambda)(-2-\lambda)-(-1)\times3\\=-4\cancel{-2\lambda}\cancel{+2\lambda}+\lambda^2+3=\underbrace{\lambda^2-4}\\\text{OBS: En $2\times2$ matris har en andragrads karaktieristisk polynom}\end{aligned}$$
+**DEF**: *Låt A vara en $m\times{n}$ matris. Nollställena till matrisens karakterisktiska polynom kalla för matrisens egenvärdarna.*$$P_A(\lambda)=0$$
+**OBS**:
+- *En $m\times{n}$ matris har alltid $m$ stycken egenvärden räknad med multiplicitet.* $$P_A(\lambda)=(\lambda-1)^3(\lambda-2)\Rightarrow\underbrace{4}.\text{ Lösninger: }\lambda=1,\lambda=1,\lambda=1,\lambda=2$$
+- *En matris med reella element behöver inte ha reella egenvärden* $$P_A(\lambda)=\lambda^2+1\Rightarrow\lambda^2+1=0\Rightarrow\lambda=+i,\lambda=-i$$
+**EX**: $$\begin{aligned}A=\begin{bmatrix}2&-1\\3&-2\end{bmatrix}\Rightarrow P_A(\lambda)=\lambda^2-1\Rightarrow\text{egenvärdena: }\lambda^2-1=0\Rightarrow\lambda=\pm1\end{aligned}$$
+**EX**: $$\begin{aligned}\text{Beräknaq egenvärdena av matrisen }A=\begin{bmatrix}13&4&8\\-6&-1&-4\\18&-6&-11\end{bmatrix}\\\text{Vi beräknar:}\\\det(A-\lambda I)=\begin{vmatrix}13-\lambda&4&8\\-6&-1-\lambda&-4\\-18&-6&-11-\lambda\end{vmatrix}=\\(13-\lambda)\begin{vmatrix}-1-\lambda&-4\\-6&-11-\lambda\end{vmatrix}-4\begin{vmatrix}-6&-4\\-18&-11\lambda\end{vmatrix}+8\begin{vmatrix}-6&-1-\lambda\\-18&-6\end{vmatrix}\\(13-\lambda)\left(11+\lambda+11\lambda+\lambda^2-24\right)-4(66+6\lambda-72)+8(36-18-18\lambda)\\=(13-\lambda)(\lambda^2+12\lambda-13)-4(64-6)+8(18-18\lambda)\\=13\lambda^2+12\times13\lambda-13^2-\lambda^3-12\lambda^2+13\lambda-24\lambda+24+144-144\lambda\\=-\lambda^3+\lambda^2+\lambda-1=-\lambda^2)(\lambda-1)+(\lambda-1)=(\lambda-1)(-\lambda^2-1)=\\(\lambda-1)\times(-1)\times(\lambda^2-1)=(\lambda^2-1)\times(-1)\times(\lambda-1)(\lambda+1)\\=-(\lambda-1)^2(\lambda+1)\end{aligned}$$
+**SATS**: *Låt $A$ vara en $m\times{n}$ matris, ich anta att $A$ antigen är diagonal eller triangulär (över eller under). Då sammanfaller engenvärdena med matrisens diagonala element*
+**BEVIS**: *Observera att matrisen $A-\lambda I$ är också diagonal eller tirangulär. Men för sådana matriser är determinanten lika med produkten av diagonala element (Föreläsning 12)*$$\begin{aligned}\Rightarrow P_A(\lambda)=\det(A-\lambda I)=\prod_{i=1}^{m}(a_{ii}-\lambda)\\\Rightarrow P_A(\lambda)=0\text{ precis för }\lambda=a_{11},\;\lambda=a_{22}\;\dots,\;\lambda=a_{mm}\end{aligned}$$
+**DEF**: *Låt $A$ vara en $m\times{n}$ matris och $\lambda$ vara ett av matrisens egenvärden. En $m\times1$ kolumnmatris $\overrightarrow{x}$ kallas för en egenvektor tillhörande $\lambda$ om $\overrightarrow{x}\neq\overrightarrow{0}$ och $A\overrightarrow{x}=\lambda\overrightarrow{x}$*
+**OBS**:
+- *Varje egenvärde har minst en egenskap*
+- *Om ett egenvärde upprepas, kan vi endast ha en linjärt oberoende egenvektor*
+- *Följande kan också hända: För ett egenvärde som upprepas $k$-gånger kan det finnas $k$ linjärt oberoende egenvektorer*
+- *Egenskaper räknas ut med hjälp av ett gauss shcema*
+**EX** $$\begin{aligned}
+A=\begin{bmatrix}
+2&-1\\
+3&-1
+\end{bmatrix},\text{ där vi redan har beröknat att }\lambda=\pm1\text{ egenvärdena}\\
+\text{Vad är de motsvarande egenvektorerna?}\\
+\begin{aligned}
+\text{Vilket schema?}\Rightarrow\begin{aligned}
+VL=A-\lambda I\\
+HL=\overrightarrow{o}
+\end{aligned}
+&&
+\begin{pmatrix}
+A\overrightarrow{x}&=\lambda\overrightarrow{x}\\
+A\overrightarrow{x}-\lambda\overrightarrow{x}&=\overrightarrow{0}\\
+\left(A-\lambda I\right)\overrightarrow{x}&\overrightarrow{0}
+\end{pmatrix}
+\end{aligned}\\
+\lambda=+1:\begin{pmatrix}
+1&-3&|&0\\
+3&-3&|&0
+\end{pmatrix}
+\begin{aligned}
+R_2-3R_1\rightarrow{R_2}\\
+\xrightarrow{}
+\end{aligned}
+\begin{pmatrix}
+1&-1&|&0\\
+0&0&|&0
+\end{pmatrix}\Rightarrow\overrightarrow{x}\\=\begin{bmatrix}
+x\\y
+\end{bmatrix}\text{ Där }\begin{aligned}
+y=t\text{ (fri variable)}\\
+x-y=0\Rightarrow x=t
+\end{aligned}\\\\
+\lambda=-1:\begin{pmatrix}
+3&-1&|&0\\
+3&-1&|&0
+\end{pmatrix}
+\begin{aligned}
+R_2-R_1\rightarrow{R_2}\\
+\xrightarrow{}
+\end{aligned}
+\begin{pmatrix}
+3&-1&|&0\\
+0&0&|&0
+\end{pmatrix}\\
+\begin{aligned}
+\frac13R_1\rightarrow{R_1}\\
+\xrightarrow{}
+\end{aligned}
+\begin{pmatrix}
+1&-\frac13&|&0\\
+0&0&|&0
+\end{pmatrix}\Rightarrow\begin{aligned}
+y=t\text{ (fri variable)}\\
+x-\frac13y=0\Rightarrow x=\frac13t\\\Rightarrow\begin{bmatrix}
+x\\y
+\end{bmatrix}
+=\begin{bmatrix}
+\frac13t\\
+t
+\end{bmatrix}=t\times\begin{bmatrix}
+\frac13\\
+1
+\end{bmatrix}
+\end{aligned}
+\end{aligned}$$

Grudlägande Matriser.md

@@ -0,0 +1,45 @@
+**I. Enhetsmatrisen**
+$$A=\begin{bmatrix}
+1&0\\0&1
+\end{bmatrix}\Rightarrow F_A((u_1,\;u_2))=(u_1,\;u_2)$$
+- *$\det(A)=1,\;A^{-1}=A$*
+- *Egenvärdena är $+1,\;+1$*
+- *Två linjärt oberoende egenvektorer för egenvärdet $+1$, mämligen $(1,0),\;(0,1)$*
+**II. Likformig skalning**
+$$a=\begin{bmatrix}
+k&0\\0&k
+\end{bmatrix},\;k>0\Rightarrow F_A((u_1,\;u_2))=(ku_1,\;ku_2)$$
+- *$\det(A)=k^2>0$ (area förändras, orienteringen blir samma)*
+- *Egenvärdena: $+k,\;+k$*
+- *Två linjärt oberoende egencektorer: $(1,0),\;(0,1)$*
+**III. Pressning**
+$$A=\begin{bmatrix}
+k&0\\0&\frac1k
+\end{bmatrix},\;(k>0)\Rightarrow F_A((u_1,\;u_2))=(ku_1,\;\frac1k)$$
+- *\det(A)=+1$ (Både area och orientering förblir det samma)*
+- *Egenvärde är $k$ och $\frac1k$*
+- *Motsvarande egenvektor: $\begin{aligned}k\rightsquigarrow(1,0)\\\frac1k\rightsquigarrow(0,1)\end{aligned}$*
+**IV. Skjuvning**
+$$a=\begin{bmatrix}
+1&k\\0&1
+\end{bmatrix},\;(k>0)\Rightarrow F_A((u_1,\;u_2))=(u_1+ku_2,u_2)$$
+- *$\det(A)=+1$: (Både area och orintering förblir det samma)*
+- *Egenvärdena: $+1,\;+1$*
+- *Endast en linjärt oberoende egenvektor: $(1,\;0)$*
+**V. Framförskjutning**
+$$\begin{bmatrix}
+0&0\\1&0
+\end{bmatrix}\Rightarrow F_A((u_1,u_2))=(0,u_1)$$
+- *$\det(A)=0$: (Arean förstörs)*
+- *Egenvärdena: $0,\;0$*
+- *Egenvektorerna: $(0,\;1)$*
+**VI. Bakförsjutning**
+$$A=\begin{bmatrix}
+0&1\\0&0
+\end{bmatrix}\Rightarrow F_A((u_1,\;u_2))=(u_2,0)$$
+**VII. Rotation för $\frac\pi2$ moturs**
+$$A=\begin{bmatrix}
+0&-1\\1&0
+\end{bmatrix}=F_A((u_1,\;u_2))=(-u_1,u_2)$$
+- *$\det(A)=+1$*
+- *Egenvärden: $+i,-i$*

Linjär avbildning.md

@@ -0,0 +1,29 @@
+**DEF**: *Funktionen $F$ kallas för en avbildning om $F:V_1\rightarrow{V_2}$ där $V_1,\;V_2$ är två  vektorer. Vidare kallas en avbilding för linjär om:*
+- *$F(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{u})=F(\overrightarrow{u})+F(\overrightarrow{u})$*
+- *$F(\alpha\overrightarrow{u})=\alpha\times{F}(\overrightarrow{u})$*
+**EX**: *Låt $A$ vara en $m\times{n}$ matris. Då definierar $A$ en linjär avbilding från $\mathbb{R}^n$ till $\mathbb{R}^m$ genom följande: *$$\begin{aligned}
+F_A(\overrightarrow{u})=A\overrightarrow{u}\text{ (dvs. med hjälp av matrismultiplikation)}\\
+\left(\overrightarrow{u}=(u_1,\;u_2,\;u_3,\;u_4)=\begin{bmatrix}
+u_1\\u_2\\u_3\\u_4
+\end{bmatrix}\right)
+\end{aligned}$$
+**EX**: *Vilken avbildning definieras av matrisen* $$\begin{aligned}
+A=\begin{bmatrix}
+1&2\\3&4
+\end{bmatrix}\\
+\text{Räkna ut: }A\overrightarrow{u}=\begin{bmatrix}
+1&2\\3&4
+\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
+u_1\\u_2
+\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
+u_1+2u_2\\
+3u_1+4u_2
+\end{bmatrix}\Rightarrow\begin{aligned}
+F_A(\overrightarrow{u})=A\overrightarrow{u}\\
+F_A\left(\left(u_1,\;u_2\right)\right)=\\(u_1+2u_2,\;3u_1+4u_2)
+\end{aligned}
+\end{aligned}$$
+**OBS**: *Följade bekanta begrepp är egenkligen linjära avbildningar*
+- *Derivatan: $\begin{aligned}\left(x^2+\sin(x)\right)'=\left(x^2\right)'+\left(\sin(x)\right)'=2x+\cos(x)\\\left(10x^2\right)'=10\times\left(x^2\right)'=10\times2x=20x\end{aligned}$*
+- *Den bestämnda integralen: $\begin{aligned}\int^1_0\left(x+x^2\right)dx=\int^1_0xdx+\int^1_0x^2dx=\dots\\\int^1_0(10\times{x})dx=10\times\int^1_ 0xdx=\dots\end{aligned}$*
+

Matrisgeometri (Kap 5).md

@@ -0,0 +1,96 @@
+**OBS**: *En $m\times{n}$ matris kan tänkas bestå av $n$ stycken $m\times1$ kolumner*$$A=\begin{bmatrix}a_{11}&1_{12}&\dots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\dots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\dots&a_{mn}\end{bmatrix}\Rightarrow A=\begin{bmatrix}|&|&\dots&|\\\overrightarrow{a_1}&\overrightarrow{a_2}&\dots&\overrightarrow{a_m}\\|&|&\dots&|\end{bmatrix}$$
+**EX**: $$A=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}\Rightarrow\overrightarrow{a_1}=\begin{bmatrix}1\\5\end{bmatrix},\;\overrightarrow{a_2}=\begin{bmatrix}2\\5\end{bmatrix},\;\overrightarrow{a_3}=\begin{bmatrix}3\\6\end{bmatrix}$$
+**OBS (fortsätning)**: *Transponaten av en matris lyfter rader mot kolumner och kolumner mot rader*$$A^T=\begin{bmatrix}\textemdash&\overrightarrow{a_1}^T&\textemdash\\\textemdash&\overrightarrow{a_2}^T&\textemdash\\&\vdots\\\textemdash&\overrightarrow{a_m}^T&\textemdash\end{bmatrix}\;\;\begin{aligned}\text{EX: }A=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}\Rightarrow A^T=\begin{bmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{bmatrix}\\\Rightarrow \overrightarrow{a_1}^T=\begin{bmatrix}1&4\end{bmatrix},\;\overrightarrow{a_2}^T=\begin{bmatrix}2&5\end{bmatrix},\;\overrightarrow{a_3}^T=\begin{bmatrix}3&6\end{bmatrix}\end{aligned}$$
+**OBS**: *Vad händer om vi har två $3\times1$ kolumnmatriser* $$\overrightarrow{a}=\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix},\overrightarrow{l}=\begin{bmatrix}7\\8\\9\end{bmatrix}$$
+
+[Fyll i från Föreläsning 02/26]
+
+**OBS**: *Låt $\overrightarrow{u_1},\;\overrightarrow{u_2},\;\dots,\;\overrightarrow{u_k}$ vara några vektorer i $\mathbb{R}^m$. Mängden består av alla möjliga linjära kombinatoner av dessa $k$ vektorer kallas det **linjära höjdet** av $\overrightarrow{u_1},\;\overrightarrow{u_2},\;\dots,\;\overrightarrow{u_k}$.*
+**EX**: $$\begin{aligned}\text{Vad är höjdet av }\overrightarrow{u_1}=(a,2,0)\text{ och }\overrightarrow{u_2}=(-2,1,0)\text{ i }\mathbb{R}\\\\\text{En vektor }\overrightarrow{v}=(v_1,v_2,v_3)\text{ är en linjär kobminatiom av }\overrightarrow{u_1}\text{ och }\overrightarrow{u_1}\text{ om}\\\overrightarrow{v}=\lambda_1\overrightarrow{u_1}+\lambda_2\overrightarrow{u_2}\\\\(v_1,v_2,v_3)=\lambda_1\times(1,2,0)+\lambda\times(-2,1,0)\Rightarrow\\(v_1,v_2,v_3)=(\lambda_1-2\lambda_2,2\lambda_1+\lambda_2,0)\Rightarrow v_3=0\\\\\text{Om vi är givna }v_1,v_2\text{, går det att lösa ut }\lambda_1,\lambda_2?\\\\\begin{aligned}v_1=\lambda_1-2\lambda_2\\v_2=2\lambda_1+\lambda_2\end{aligned}\leftrightarrow\begin{aligned}\text{Vilken matris står}\\\text{bakom detta ekvationssystemet}\end{aligned}\\\leftrightarrow\begin{bmatrix}1&-2\\2&1\end{bmatrix}\Rightarrow\det\left(\begin{bmatrix}1&-2\\2&1\end{bmatrix}\right)=5\neq0\\\leftrightarrow\text{Den här matrisern har en invers}\\\Rightarrow\text{Det fins ingen begränsning för }v_1\text{ och }v_2\\\\\text{Slutsats: Vilka vektorer $\overrightarrow{v}$ kan skrivas som en linjär kombination av $\overrightarrow{u_1}$ och $\overrightarrow{u_2}$?}\\\text{Alla vektorer $\overrightarrow{v}$ med $v_3=0$. (Det linjära höjden av $\overrightarrow{u_1}$ och $\overrightarrow{u_2}$ består av alla}\\\text{ vektorer}\overrightarrow{v}\text{ med $v_3=0$)}\end{aligned}$$
+**EX**: $$\begin{aligned}\overrightarrow{v}=(4,5,6)\Rightarrow\text{ Går INTE att skriva som }\lambda_1\overrightarrow{u_1}+\lambda\overrightarrow{u_2}\\\overrightarrow{v}=(4,5,0)\Rightarrow\text{ Går att skriva som }\lambda_1\overrightarrow{u_1}+\lambda\overrightarrow{u_2}\end{aligned}$$
+**DEF**: *Låt $A$ vara en $m\times{n}$ matris. Det linjära höjdet av matriserns kolumnmatrisen kallas för kolunrummet. Antalet linjär oberoende kolumnmatriser kallas för matrisens rang ($\operatorname{rang}(A)$) och är lika med antaliet pivåvariabler i gauss schemat $\begin{pmatrix}A&|&\overrightarrow{o}\end{pmatrix}$*
+**DEF**: *Det linjära höjdet av lösningarna av ekvationssystemet $A\overrightarrow{x}=\overrightarrow{0}$ kallas för matrisens kärna (kärnrum). Antalet linjära oberoende vektorer ibland lösningar till $A\overrightarrow{x}=\overrightarrow{0}$ kallas för matrisens nolldimension $\operatorname{noll}(A)$m och är lika med antalet fira variablar i gauss schema $\begin{pmatrix}A&|&\overrightarrow{o}\end{pmatrix}$*
+**EX**: $$\begin{aligned}\text{Betrakta }A=\begin{bmatrix}1&-1&1\\1&-1&-3\\2&-2&-2\end{bmatrix}.\text{Kolumnrum? Kärna? Rang? Nolldimension?}\\\begin{pmatrix}1&-1&1&|&0\\1&-1&-3&|&0\\2&-2&-2&|&0\end{pmatrix}\begin{aligned}R_2-R_1\rightarrow{R_2}\\R_3-2R_1\rightarrow{R_3}\\\xrightarrow{}\end{aligned}\begin{pmatrix}1&-1&1&|&0\\0&0&-4&|&0\\0&0&-4&|&0\end{pmatrix}\begin{aligned}R_3-R_2\rightarrow{R_3}\\\xrightarrow{}\end{aligned}\\\begin{pmatrix}1&-1&1&|&0\\0&0&-4&|&0\\0&0&0&|&0\end{pmatrix}\begin{aligned}-\frac14R_2\rightarrow{R_2}\\\xrightarrow{}\end{aligned}\begin{pmatrix}1&-1&1&|&0\\0&0&1&|&0\\0&0&0&|&0\end{pmatrix}\\\Rightarrow\begin{aligned}2\text{ pivåvariablar }\Rightarrow\operatorname{rang}(A)=2\\1\text{ fri variabel }\Rightarrow\operatorname{noll}(A)=1\end{aligned}\\\text{kolumnrummet är det höjdet av }\begin{bmatrix}1\\1\\2\end{bmatrix}\text{ och }\begin{bmatrix}1\\-1\\-2\end{bmatrix}\\\text{För att bestäma kärnan behöver vi lösa ekvationen i systemet }A\overrightarrow{x}=\overrightarrow{0}\\\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}\text{ Löser ekvationstsystemet om: }\begin{aligned}1\times z=0\\z=0\end{aligned}\;|\;\begin{aligned}y=t\\\text{Fri variable}\end{aligned}\;|\;\begin{aligned}x-y+z=0\\x=t\end{aligned}\;=\\\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}t\\t\\0\end{bmatrix}=t\times\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix}\Rightarrow\text{matrisens kärna är det linjära höjden av }\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix}\end{aligned}$$
+**SATS**: *(DIMENSIONSSATS). Låt $A$ vara en $m\times{n}$ matris. Då gäller det att $\operatorname{rang}(A)+\operatorname{noll}(A)=m$.*
+**BEVIS**:
+- *$\operatorname{rang}(A)$ ... antalet pivåvariabler i $\begin{pmatrix}A&|&\overrightarrow{o}\end{pmatrix}$*
+- *$\operatorname{noll}(A)$ ... antalet fria variabler i $\begin{pmatrix}A&|&\overrightarrow{o}\end{pmatrix}$*
+*Nör vi uppnår trappformen i gauss shcemat, då har varje kolomn antingen en ledande etta (pivåvariabel) eller inte (fri variabel). Det fins ingen tredhe möjlighet. Men då: *$$\operatorname{rang}(A)+\operatorname{noll}(A)=m$$
+**OBS**:
+- *Om vi har ett exakt bestämnd ekvations system, då har ekvationssystemet $A\overrightarrow{x}=\overrightarrow{h}$ en entydig lösning prisis när $\operatorname{rang}(A)=m$ och $\operatorname{noll}(A)=0$. (Exakt bestämnd $\Leftrightarrow{A}$ är $m\times{n}$)*
+- *Om vi har ett över-bestämnd system (dvs. $A$ är $m\times{n}$ med $m>n$) då har vi en entydlig-lönsing om $\operatorname{ranf}(A)=m$ och $\operatorname{noll}(A)=m-n$*
+- *Om vi har ett under-bestämt system (dvs. $A$ är en $m\times{n}$ matris med $m<n$, Då har vi aldrig en entydlig-lösning ty att $\operatorname{rang}(A)<n$*
+**OBS**: *För exakt-bestämnda system har vi determinanten också.*$$\begin{aligned}
+\begin{aligned}
+\text{Ekvationsystemet}\\
+A\overrightarrow{x}=\overrightarrow{l}\text{ har en}\\
+\text{entydlig lösning}
+\end{aligned}&\Leftrightarrow&\operatorname{rang}(A)=m&\Leftrightarrow&\begin{aligned}
+\text{alla variabler}\\
+\text{är}\\
+\text{privåvariablar}
+\end{aligned}&\Leftrightarrow&\begin{aligned}
+\text{matrisens kolomner}\\
+\text{är linjärt oberoende}
+\end{aligned}\\
+\Updownarrow\\
+\overrightarrow{x}=A^{-1}\overrightarrow{l}&\Leftrightarrow&\begin{aligned}
+\text{matreisen }A\\
+\text{har en invers}
+\end{aligned}\\
+\Leftrightarrow\det(A)\neq0
+\end{aligned}$$
+
+**Kom Ihåg**: $$\begin{aligned}\text{Kolumnmatris}&&\text{Vektor}&&\text{Punkt}\\\begin{bmatrix}n_1\\n_2\\n_3\end{bmatrix}&\longleftrightarrow&\begin{pmatrix}n_1&n_2&n_3\end{pmatrix}&\longleftrightarrow&V=\begin{pmatrix}v_1&v_2&v_3\end{pmatrix}\end{aligned}$$
+**OBS**: $$\begin{aligned}\text{Betrakta matriserna}\\I=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix},\;A=\begin{bmatrix}\frac23&-\frac23&\frac13\\-\frac23&-\frac13&\frac23\\\frac13&\frac23&\frac23\end{bmatrix}\\\text{Alla kolumner har längd ett (Som vektor)}\\\\\left(\left.\begin{aligned}\left(\frac23,\;-\frac23,\;\frac13\right)\\\left(-\frac23,\;-\frac13,\;\frac23\right)\end{aligned}\right\}\text{ Är de ortogonala? JA}\right)\end{aligned}$$
+**DEF**: *En $m\times{n}$ matris kallas ortagonal om varja kolumn har längd $1$(som vektor) och olika kolumner är ortekonala(som vektoter)*
+**SATS**: *Om $A$ är en ortagonal matris, då gäller det att $A{-1}=A^T$*
+**BEVIS**: 
+*Endast fallet $2\times2$. Betrakta*$$A=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}$$*$A$ är ortogonal medger:*
+-  *kolumn $1$ har längd $1\Rightarrow{a}^2_{11}+a^2_{21} = 1$*
+- *kolumn $2$ har längd $1\Rightarrow{a}^2_{12}+a^2_{22} = 1$*
+- kolumn $1$ och kolumn $2$ är ortogonala $a_{11}\times{a}_{12}+a_{21}\times{a}_{22}=0$
+*Om det ska gälla att $A^{-1}=A^T$, då måste $A^TA=AA^T=T$*
+**Men**: $$\begin{aligned}A^TA=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}^T\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{21}\\a_{12}&a_{22}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}a_{11}^2+a_{21}^2&a_{11}a_{12}+a_{21}a_{22}\\a_{12}a_{11}+a_{22}a_{21}&a_{12}^2+a_{22}^2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}=I\end{aligned}$$
+**DEF**: *$m$ stycken vektorer $\overrightarrow{u_1},\;\overrightarrow{u_2},\;\dots,\;\overrightarrow{u_m}$ i korninatsystemet $\mathbb{R}^m$ utgör en bas om vekrje vektor $\overrightarrow{w}\in\mathbb{R}^m$ kan skrivas på ett entydligt sätt som en linjär kombination av $\overrightarrow{u_1},\;\dots,\;\overrightarrow{u_m}$. En bas kallas vidare för ortogonal om vektorerna $\overrightarrow{u_1},\;\dots,\;\overrightarrow{u_m}$ har alla längd $1$ och är ortognala mot varandra.*
+**OBS**: $$\lambda_1\overrightarrow{u_1}+\dots\lambda_m\overrightarrow{u_m}=\overrightarrow{w}\longleftrightarrow\begin{pmatrix}\begin{aligned}1\\\overrightarrow{u_1}\\1\end{aligned}&\begin{aligned}1\\\overrightarrow{u_2}\\1\end{aligned}&\dots&\begin{aligned}1\\\overrightarrow{u_m}\\1\end{aligned}&|&\begin{aligned}|\\\overrightarrow{w_1}\\|\end{aligned}\end{pmatrix}$$
+**DEF**: *Kolumnerna i enhetsmatrisen $I$ utgör standerndbasen för $\mathbb{R}^m$.*
+**EX**: *I $\mathbb{R}^3$ är standerndbasen lika med* $$\overrightarrow{l_1}=\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}=\begin{pmatrix}1,&0,&0\end{pmatrix},\;\overrightarrow{l_2}=\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}=\begin{pmatrix}0,&1,&0\end{pmatrix},\;\overrightarrow{l_3}=\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}=\begin{pmatrix}0,&0,&1\end{pmatrix}$$
+**OBS**: $$I\times\begin{bmatrix}\zeta_1\\\zeta_2\\\zeta_3\end{bmatrix}=A\times{\begin{bmatrix}\alpha_1\\\alpha_2\\\alpha_3\end{bmatrix}}\Longleftarrow\text{Koordinatbyte/Basbyte}$$
+**OBS**: 
+- *Om vi har ortiginal bas (från en ortogonal matris), då är $A^{1}=A^T$*
+- *Anars beräknar vi inversom som vi har läst oss*
+**EX**: $$\begin{aligned}
+\text{Låt }\overrightarrow{w}=(4,\;5,\;6)\text{ i standerdbasen. Vad är koodinaterna för $\overrightarrow{w}$}\\\text{ i basen som utgörs av kolumnarna av magtrisen}\\
+A=\begin{bmatrix}
+\frac23&-\frac23&\frac13\\
+-\frac23&-\frac13&\frac23\\
+\frac13&\frac23&\frac23
+\end{bmatrix}\Rightarrow{I}\times\begin{bmatrix}
+4\\5\\6
+\end{bmatrix}=A\times\begin{bmatrix}
+\alpha_1\\\alpha_2\\\alpha_3
+\end{bmatrix}\Rightarrow{A^{-1}}\times{I}\times\begin{bmatrix}
+4\\5\\6
+\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
+\alpha_1\\\alpha_2\\\alpha_3
+\end{bmatrix}\\\underset{\substack{A\text{ ortogonal,}\\\text{så }A^{-1}=A^T}}{\Rightarrow}A^T\times\begin{bmatrix}
+4\\5\\6
+\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
+\alpha_1\\\alpha_2\\\alpha_3
+\end{bmatrix}\underset{\substack{A\text{ symetrisk,}\\\text{så }A^T=A}}{\Rightarrow}A\times\begin{bmatrix}
+4\\5\\6
+\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
+\alpha_1\\\alpha_2\\\alpha_3
+\end{bmatrix}\\\Rightarrow\begin{bmatrix}
+\frac23&-\frac23&\frac13\\
+-\frac23&-\frac13&\frac23\\
+\frac13&\frac23&\frac23
+\end{bmatrix}
+\begin{bmatrix}
+4\\5\\6
+\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
+\alpha_1\\\alpha_2\\\alpha_3
+\end{bmatrix}\\\Rightarrow\underbracket{(4,\;5,\;6)}_{\overrightarrow{w}}=\underbracket{\frac43}_{\alpha_1}\times\underbracket{\left(\frac23,\;-\frac23,\;\frac13\right)}_{\overrightarrow{a_1}}+\underbracket{-\frac13}_{\alpha_2}\times\underbracket{\left(-\frac23,\;-\frac13,\;\frac23\right)}_{\overrightarrow{a_2}}\\+\underbracket{\frac{26}3}_{\alpha_3}\times\underbracket{\left(\frac13,\;\frac23,\;\frac23\right)}_{\overrightarrow{a_3}}\\
+\left(\left(\underbracket{(4,\;5,\;6)}_\overrightarrow{w}=\underbracket{4}_{\zeta_1}\times\underbracket{(1,\;0,\;0)}_\overrightarrow{e_1}\right)\right)
+\end{aligned}$$