vault backup: 2025-11-12 17:02:15

.obsidian/community-plugins.json

@@ -1,4 +1,5 @@
 [
   "obsidian-git",
-  "obsidian-style-settings"
+  "obsidian-style-settings",
+  "obsidian-tikzjax"
 ]

.obsidian/plugins/obsidian-tikzjax/manifest.json

@@ -0,0 +1,10 @@
+{
+	"id": "obsidian-tikzjax",
+	"name": "TikZJax",
+	"version": "0.5.2",
+	"minAppVersion": "0.12.0",
+	"description": "Render LaTeX and TikZ diagrams in your notes",
+	"author": "artisticat",
+	"authorUrl": "https://github.com/artisticat1",
+	"isDesktopOnly": false
+}

.obsidian/workspace.json

@@ -24,6 +24,20 @@
           {
             "id": "66704e0159322e3f",
             "type": "leaf",
+            "state": {
+              "type": "markdown",
+              "state": {
+                "file": "Funktioner Forts.md",
+                "mode": "source",
+                "source": false
+              },
+              "icon": "lucide-file",
+              "title": "Funktioner Forts"
+            }
+          },
+          {
+            "id": "54baa3edd65a7c5d",
+            "type": "leaf",
             "state": {
               "type": "markdown",
               "state": {
@@ -34,9 +48,23 @@
               "icon": "lucide-file",
               "title": "Grafer"
             }
+          },
+          {
+            "id": "4eef5f8feb086f9e",
+            "type": "leaf",
+            "state": {
+              "type": "markdown",
+              "state": {
+                "file": "Trigonometri.md",
+                "mode": "source",
+                "source": false
+              },
+              "icon": "lucide-file",
+              "title": "Trigonometri"
+            }
           }
         ],
-        "currentTab": 1
+        "currentTab": 3
       }
     ],
     "direction": "vertical"
@@ -93,7 +121,8 @@
       }
     ],
     "direction": "horizontal",
-    "width": 300
+    "width": 300,
+    "collapsed": true
   },
   "right": {
     "id": "b700e0cd0f882a5c",
@@ -181,7 +210,7 @@
       }
     ],
     "direction": "horizontal",
-    "width": 426
+    "width": 200
   },
   "left-ribbon": {
     "hiddenItems": {
@@ -197,8 +226,18 @@
   },
   "active": "e616c86f78b96cf1",
   "lastOpenFiles": [
-    "Funktioner.md",
+    "k2.png",
+    "k1.png",
+    "gv1.png",
+    "Komplexa tal.md",
+    "Gräsvärde (1).md",
+    "Funktioner Forts.md",
+    "Trigonometri.md",
     "Grafer.md",
+    "Funktioner.md",
+    "f_inverse.png",
+    "g2.png",
+    "g1.png",
     "Untitled.canvas"
   ]
 }

Funktioner Forts.md

@@ -0,0 +1,54 @@
+- Begränsade funktioner
+	- Uppåt begränsad: $f(x)\leq{M}$, $\forall{x}\in{D_r}$
+		- Ex: $f(x)=-x^2-2x$
+	- Nedåt begränsad: $f(x)\geq{M}$, $\forall{x}\in{D_f}$
+		- Ex: $f(x)=x^2+2x+2$
+- Monoton funktion
+	- Växande: $x_1<x_2\Rightarrow{f(x_1)}\leq{f(x_2)}$
+	- Strängt växande: $x_1<x_2\Rightarrow{f(x_1)}<f(x_2)$
+	- Avtagande: $x_1<x_2\Rightarrow{f(x_1)}\geq{f(x_2)}$
+	- Avtagande: $x_1<x_2\Rightarrow{f(x_1)}>f(x_2)$
+	- *(Strängt) Monoton funktion är (Strängt) växande eller (Strängt) avtagande*
+- Jämna, Udda funktioner
+	- Jämna: $f(-x)=f(x)$
+		- Ex: $|x|,\;x^2,\;\cos{x}$
+		- $$\begin{align*}f\text{ är udda }, O\in{D_f}\\f(-x)=-f(x)\forall{x}\in{D_f}\\f(-o)=-f(o)\\\Leftrightarrow{f(o)=-f(o)}\Leftrightarrow{2f(o)=0}\\\Leftrightarrow f(o)=\frac{o}{2}=O\end{align*}$$
+	- Udda: $f(-x)=-f(x)$
+		- Ex: $x,\;x^3,\;\sin{x}$ 
+- Sammansatta funktion
+	- $g\circ{f(x)}=g(f(x))$ 
+	- **Egenskaper**:
+		- $V_{g\circ{f}}\subseteq{V_g}$
+		- $V_{f}\subseteq{D_g}$
+	- Ex: $$\begin{align*}f(x)=\sqrt{x}\text{ and }g(x)=(x+5)^2\\f\circ{g}(x)=f(g(x))=f((x+5)^2)=\sqrt{(x+5)^2}=|x+5|\\g\circ{f}(x)=g(f(x))=g(\sqrt{x})=(\sqrt{x}+5)^2\\\text{I allmänhet }f\circ{g(x)}\neq{g\circ{f(x)}}\end{align*}$$
+- Inverse
+	- **Def**: *En funktion $g$ är inverse till funktionen $f$ om $g\circ{f(x)}=x$ och $f\circ{g(x)}=x$ för varje $x\in{D_f}$*
+	- ![[f_inverse.png]]
+	- **OPS**: $f^{-1}(x)\neq{(f(x))^{-1}}$
+	- Betekning: $f^{-1}$ är inverse till $f$
+	- Graf till inversen $f^{-1}$ är spegling av grafen till f i linjen $y=x$
+	- Injektiv funktion: $\forall{x_1,x_2}\in{D_f},\;x_1\neq{f(x_2}\rightarrow{x_1}\neq{f(x_2)}=\frac{1}{f(x)}$$$\begin{align}f\\x_1\neq{x_2}\Rightarrow{f(x_1)}\neq{f(x_2)}\end{align}$$
+	- $f$ är stängt monoton $\Rightarrow\;x$ är injektiv (inverterbar) på $D_f$
+	- $f$ är inverterbar $\Rightarrow\;D_{f-1}=V_f$ och $V_{f-1}=D_f$
+	- Ex:
+		- $f(x)\left\{\begin{align}-x+5,\;0\leq{x}\leq2\\x-4,\;2\leq{x}<4\end{align}\right.$
+		- ![[g1.png]]
+		- $f(x)=x^2,\;x\in[0,1]$ $D_f=[0,1]$
+		- ![[g2.png]]
+		- $$\begin{align}f(x)=3x+5\\g(x)=\frac{x-5}{3}\end{align}$$
+- Exponential och logarithm
+	- Exponential: $f(x)=a^x$ för något $a>0$.
+	- Logaritm: $g(x)=\log_a(x)$ för något $a>0$
+		- $f$ och $g$ inverse till varandra: $y=a^x\Leftrightarrow\log_a(y)=x$.
+		- $D_f=\mathbb{R}=V_g,\;\;V_f=(0,\infty)=D_g$.
+		- Om $a>1,\;f,\;g$ är strängt växande.
+		- $\log_a{(xy)}=\log_a(x)+\log_a(y),\;\log_a(x/y)=\log_a(x)-\log_a(y)$
+		- $\log_a(x^b)=b\log_a(x)$
+		- Basbyte: $\log_a(x)=\frac{\log_b(x)}{\log_b(a)}\Leftrightarrow\log_b(x)=\log_b(a)\log_a(x)$. $a^x=b^{x\log_b(a)}$
+		- Ex: $$\begin{align}\text{Räkna }D_f\text{ för }f(x)=\log_{10}(x^2+2x-3)\\f\text{ är definierad för }x^2+2x-3>0\\\Leftrightarrow(x+3)(x-1)>0\\\Leftrightarrow x\in(-\infty,-3)\cup(1,\infty)\\D_f=(-\infty,-3)\cup(1,\infty)\\\\2^{x+3}>4\\\Leftrightarrow\log_2(2^{x+3})>\log_24\\\Leftrightarrow x+3>2\\\Leftrightarrow x>-1\\\\\log_{10}36\\=\log_{10}(2^2\times3^2)\\=\log_{10}(2^2)+\log_{10}(3^2)\\=2\log_{10}2+2\log_{10}3\\\\2^x=e^{x\log_e2}=e^{x\ln2}\\\log_2x=(\log_2e)\ln{x}\\=\frac{\ln x}{\ln 2}\end{align}$$
+		- **Def**: $\log{x}=\log_{10}x$
+		- **Def**: $\ln{x}=\log_ex$
+		- **Def**: $a^x=e^{x\log_ea}=e^{x\ln a},\;a\in(0,\infty)$
+		- **Def**: $\log_a1=0$
+		- **Def**: $\log_aa=1$
+		- **Def**: $\log_ab=\frac{1}{\log_ba}$

Grafer.md

@@ -1,3 +1,42 @@
 - Graf
 	- Graf till funtion $f:\{(x,f(x)):x\in{D_f}$
 	- *Graf till $f$ med $y=V_f$ och $x=D_f$*
+	- Ex: $$\begin{align*}f(x)=\left\{\begin{aligned}&2,\;0\leq{x}\leq{1}\\&x+3,\;1<x<2\\&-1,\;2\leq{x}<3\end{aligned}\right.\\D_f=[0,3)\\V_f=(-3,-2]\cup\{2\}\cup(4,5)\end{align*}$$
+- Variablebyte
+	- *Låt $f$ vara en funtion med $D_f=(x_1,x_2),\;V_f=(y_1,y_2)$*
+	- $g(x)=f(x-a)$, grafen flyttar $a$ enheter längst x-axeln. $$D_g=(x_1+a,x_2+a),\;V_g=(y_1,y_2)$$
+	- $g(x)=f(x)+b$, grafen flyttar $b$ enheter längt y-axeln $$D_g=(x_1,x_2),\;V_g=(y_1+b,y_2+b)$$
+	- $g(x)=f(cx),c\neq0$, "Scaling" längst x-axeln
+	- $g(x)=d\times{f(x)}$, "Scaling" längst y-axeln
+- Absolutbelopp
+	- **Def**: *Absolutbelopp funktion $|\dot{}|:\mathbb{R}\mapsto[0,\infty)$ definieras av $$|x|=\left\{\begin{aligned}x,\;\text{då }x\geq0,\\-x,\;\text{då }x<0.\end{aligned}\right.$$*
+	- Egenskapaer
+		- $|x|=\sqrt{x^2}\;\;\forall{x}\in\mathbb{R}$. (Alternativ definition av absolutbelopp)
+		- $|-x|=|x|\;\;\forall{x}\in\mathbb{R}$. (Jämn funktion)
+		- Multiplikation regle: $|x\times{y}|=|x|\times{|y|}\;\;\forall{x,y}\in\mathbb{R}$ 
+		- Triangel olikhet: $|x+y|\leq|x|+|y|$
+		- $|x-y|$ är avstånd mellan $x$ och $y$ på reell-linje. I synnerhet är $|x|$ avståndet mellan $x$ och $0$.
+	- Ex: Lös ekvationen $|x-3|=2$$$\begin{align*}|x-3|\Leftrightarrow\sqrt{(x-3)^2}=2\\\Leftrightarrow{}(x-3)^2=2^2\text{(kvadrering)}\\\Leftrightarrow{}(x-3)^2-2^2=0\Leftrightarrow(x-3+2)(x-3-2)=0\\\Leftrightarrow{}x_1=1,\;x_2=5\end{align*}$$
+	- Ex: Lös olikheten $|x-3|<2$$$\begin{align*}|x-3|=\left\{\begin{aligned}x-3,\;x-3\geq0\\3-x,\;x-3<0\end{aligned}\right.\\\text{Fall 1: }x-3\geq0\Leftrightarrow{x}\geq3\\|x-3|<2\Leftrightarrow{x}-3<2\\\Leftrightarrow{x}<2+4=5\\3\leq{x}<5\\\text{Fall 2: }x-3<0\Leftrightarrow{x}<3\\|x-3|<2\Leftrightarrow3-x<2\\\Leftrightarrow{x}>3-2=1\\1<x<3\\\\\text{Lösningmängd till }|x-3|<2\\(1,3)\cup{[3,5)}=(1,5)\end{align*}$$
+- Polynom
+	- **Def**: *En funtion i formen  $$p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0=\sum^{n}_{k=0}{a_kx^k}$$är ett polynom. $a_k$ för $k=0,1,\dots,n$ är koefficienter. Om $a_n$ har polynomet grad $n$. Skrivs $grad(p)=n$*
+	- Nollställe/Rötter: Lösningar till $p(x)=0$
+	- Polynom av grad 0: $p(x)=c$, konstant function. Graf är parallel till x-axel.
+	- Polynom av grad 1 $p(x)=ax+b$, linjär function. Graf är en icke vertikal linje.
+- Andragradspolynom
+	- $p(x)=ax^2+bx+c,\;a\neq0$
+	- Faktorisering med kvadratkomplettering: $$\begin{align*}ax^2+bx+c=a\left(x^2+\frac{b}{a}\times\frac{c}{a}\right)\\=a\left(x^2+2\times{x}\times\frac{b}{2a}+\frac{b^2}{4a^2}-\frac{b^2}{3a^2}+\frac{c}{a}\right)\\=a\left(\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2-4ac}{4a^2}\right)\\=a\left(x+\frac{b}{2a}+\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}\right)\left(x+\frac{b}{2a}-\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}\right)\\=a\left(x+\frac{b+\sqrt{D}}{2a}\right)\left(x+\frac{b-\sqrt{D}}{2a}\right)\end{align*}$$Discriminant: $D=b²-4ac$
+	- Lösningar: $p(x)=ax^2+bx+c=0$ med $a\neq0$ har:
+		- Inga reella lösnngar om $D<0$. (Komplexa lösningar)
+		- En lösning (doubleroot) om $D=0$: $$x=-\frac{b}{2a}$$
+		- Två olika lösningar om $D>0$: $$x=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}$$
+		- Remark: Om $grad(p)=n,p(x)=0$ har max $n$ olika lösningar
+	- Ex Lös $x^2+2x-1=0$ $$\begin{align*}p(x)=x^2+2x-1=0\\=\end{align*}$$
+	- Ex: $$\begin{align*}p(x)=2x²+4x+4\\D=4^2-4\times2\times4<0\\p(x)=2x^2+4x+4\\=2(x^2+2x+2)\\=2(x^2+2x+1-1+2)\\=2\left((x+1)^2+1\right)\end{align*}$$
+	- Ex: $$\begin{align}p(x)=2x^2+2x+18\\D=12^2-4\times2\times18=0\\\text{en dubbel rot}\\p(x)=2x^2+12x+18\\=2(x^2+6x+18)\\=2(x+3)^2\end{align}$$
+	- Dubleroot vissar att det är två gånger samma factor i factorisering
+- Polynomdivision
+	- Rationell funktion: $f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}$ där $p(x)$, $q(x)$ är polynom.
+	- **Def**: *$p(x)$ och $q(x)$ är polynom $\Rightarrow$ det fins polynom $k(x)$ (kvot) och $r(x)$ (rest) så att $$\begin{align}p(x)=q(x)k(x)+r(x)\\\frac{p(x)}{q(x)}=k(x)+\frac{r(x)}{q(x)}\end{align}$$, och $grad(r)<grad(q)$ om $grad(q)>0$*
+	- Remark: Om $r(x)=0$ för varje $x$ (nollpolynomet), divisionen får jämt ut. Vi har faktorisering $p(x)=q(x)k(x)$
+- 

Gräsvärde (1).md

@@ -0,0 +1,21 @@
+- Gränsvärden
+	- **Def**: *Om för varje $\epsilon>0$ existerar $\delta>0$ så att $$\mid{x-a}\mid<\delta\Rightarrow\mid{f(x)-L}\mid<\epsilon$$är talet $L$ gransvärde till $f(x)$ då $x$ får mot $a$. Betekning: $f(x)\longrightarrow{L}$ då $x\longrightarrow{a}$, eller $$\lim_{x\to{a}} f(x)=L$$*
+	- **Def**: *Om för varje $\epsilon>0$ existerar $M>0$ så att$$x>M\;\Rightarrow\;\mid{f(x)-L}\mid<\epsilon$$är talet $L$ gränsvärde till $f(x) då $x$ går mot oändlighit. Beteckning: $f(x)\longrightarrow{L}$ då $x\longrightarrow\infty$, eller $$\lim_{x\to\infty}f(x)=L$$*
+- Remarks
+	- *Om det inte fins sådant $L$ värde, saknar funktionen gränsvärde på punkten $a$,*
+		- **Ex**: $$\begin{align}f(x)=\sin x\\\lim_{x\to\infty}\sin x\\\text{Existerar inte}\end{align}$$
+		- **Ex**: $$\begin{align}f(x)=\sin\frac1x\\\lim_{x\to0}\sin\frac1x\\\text{Existerar inte}\end{align}$$
+	- *Punkten $a$ behöver inte vara i $D_f$.*
+	- *Beteende av funktionen kring "problempunkter" är intressant.*
+	- *Långsiktig beteende hos funktioner: $$\lim_{x\longrightarrow\infty}f(x)$$*
+	- *Derivator, integraler, asymptot etc definieras med hjälp av gränsvärde.*
+	- *Om $a$ int är "problempunkt" stoppar vi in $x=a$ i $f(x)$*
+	- **Def**: *"Problempunkt" t.ex $\lim_{x\to 0}\frac1x$ går inte att direkt lösa på grund av division med $0$*
+- One sided limits
+	- ![[gv1.png]]
+- Problem fall
+	- $\left[\frac00\right]$ form: **Ex**: $$\lim_{x\to1}\frac{x^2-3x+2}{x^2-1},\;\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}x,\;\lim_{x\to\infty}\frac{\tan{x}}x$$
+	- $\left[\frac\infty\infty\right]$ form: **Ex**: $$\lim_{x\to\infty}\frac{x^2-3x+2}{x^2-1},\;\lim_{x\to\infty}\frac{x^3}{2^x}$$
+	- $\left[0\times\infty\right]$ form: **Ex**: $$\lim_{x\to\infty}x^2\ln\mid{x}\mid$$
+	- $\left[0^0\right]$ form: **Ex**: $$\lim_{x\to0+}x^x$$
+	- $\left[\infty^0\right]$ form **Ex**: $$\lim_{x\to\infty}$$

Komplexa tal.md

@@ -0,0 +1,30 @@
+- Komplexa tal
+	- **Def**: $x^2+1=0$ saknar reell lösning. Vi antar talet $i\notin\mathbb{R}$ löser ekvationen, d.v.s $i^2=-1$
+	- Mängd av komplexa talen: $\mathbb{C}=\{a+bi:a,b\in\mathbb{R}\}$
+	- Om $z=a+bi,a=Re(z)$ och $b=Im(z)$
+	- **Konjugat**: $z=a+bi\Rightarrow\bar{z}=a-bi$
+	- **Regler**:
+		- $\bar{\bar{z}}=z$
+		- $\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}$
+		- $\overline{z_1\times{z_2}}=\overline{z_1}\times{z_2}$
+	- **Absolut belopp**: $$\mid{z}\mid=\mid\overline{z}\mid=\sqrt{z\overline{z}}=\sqrt{a^2+b^2}\text{ om }z=a+bi$$
+	- **Triangelsformeln**: $\mid{z_1+z_2}\mid\leq\mid{z_1}\mid+\mid{z_2}\mid$
+	- **Ex**: $$\begin{align}z_1=2+3i\\z_2=2-i\\\\z_1+z_2=(2+3i)+(2-1)\\=4+2i\\\overline{z_1+z_2}=4-2i\\\overline{z_1}=2-3i,\;\overline{z_2}=2+i\\\overline{z_1}+\overline{z_2}=2-3i+2+i\\=3-2i\\\\z_1\times{z_2}=(2+3i)(2-i)\\=4-2i+6i-3i^2\\=4+4i+3\\=7+4i\\\overline{z_1\times{z_2}}=7-4i\\\overline{z_1}=2-3i,\;\overline{z_2}=2+i\\\overline{z_1}\times\overline{z_2}=(2-3i(2+i)\\=4+2i-6i-3i^2\\=4-2i+3\\=7-4i\end{align}$$
+	- **Ex 2**: $$\begin{align}z=a+bi\\\overline{z}=a-bi\\z\times\overline{z}=(a+bi)(a-bi)\\=a^2-\left(bi\right)^2\\=a^2-b^2i^2\\=a^2+b^2\end{align}$$
+	- **Ex 3**: $$\begin{align}\mid{z_1+z_2}\mid=\mid4+2i\mid\\=\sqrt{4^2+2^2}\\=\sqrt{16+4}=2\sqrt{5}\\\mid{z_1}\mid=\mid2+3i=\sqrt{2^2+3^2}\\=\sqrt{13}\\\mid{z_2}\mid=\mid2-i\mid=\sqrt{2^2+(-i)^2}=\sqrt{5}\end{align}$$
+	- **Ex 4**: $$\begin{align}\frac{z_1}{z_2}=\frac{2+3i}{2-i}\\=\frac{2+3i}{2-i}\times\frac{2+i}{2+i}\\=\frac{4+2i+6i+3i^2}{2^2-i^2}\\=\frac{1+8i}{5}\\=\frac{1}{5}+\frac{8}{5}i\end{align}$$
+- Grafer
+	- ![[k1.png]]
+	- ![[k2.png]]
+- Polär form
+	- **Eulers formel**: $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$
+	- Varje komplex tal $z=x+yi$ kan skrivas på pol'r form som $$z=re^{i\theta}$$ där $$r=\sqrt{x^2+y^2}$$ och $arg(z)=\theta$ är så att $$\cos\theta=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\text{ och }\sin\theta=\frac{y}{x^2+y^2}$$
+	- **de Moivre**: $z=re^{i\theta}\Rightarrow z^n=r^ne^{in\theta}=r^n(\cos(n\theta)+i\sin(n\theta))$
+	- **Ex**: Lös $z^3=1+i\sqrt3$ $$\begin{align*}1+i\sqrt3=n_\circ e^{i\theta}, \theta\in\left[0,2\pi\right)\\n_\circ=\sqrt{1^2+\left(\sqrt3\right)^2}=2\\\theta\in\left[0,2\pi\right)\text{ uppfyller}\\\cos\theta=\frac12,\sin\theta=\frac{\sqrt3}2\\\Rightarrow\theta=\frac\pi3\\z^3=1+i\sqrt3=2e^{i\frac\pi3}\\\text{Låt }z=n_1e^{i\phi}\\\text{Då är }z^3=n_1^3e^{i3\phi}\\\Leftrightarrow\left\{\begin{aligned}n_1^3=2,n\in\mathbb{R}\\e\phi=\frac\pi3+2\pi{k},k\in\mathbb{Z},\phi\in\left[0,2\pi\right)\end{aligned}\right.\\\Leftrightarrow\left\{\begin{aligned}n_1=\sqrt[3]{2}\\\phi=\frac\pi9+\frac{2\pi k}{3},k=0,1,2\end{aligned}\right.\\k=0:\;\phi=\frac\pi9+\frac{2\pi}3\times0=\frac\pi9\\k=1:\;\phi=\frac\pi9+\frac{2\pi}3=\frac{7\pi}9\\k=2:\;\phi=\frac\pi9+\frac{2\pi}4\times2=\frac{13\pi}9\end{align*}$$
+	- **Ex 2**: $$\begin{align}z=-\frac{\sqrt3}{2}+\frac{1}{2}i\\z=ne^{i\theta}\\n=\sqrt{\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2}=1\\\theta\text{ är så att }\cos\theta=\frac{\sqrt{3}}{2},\sin\theta=\frac{1}{2}\\\text{En lösning}:\theta=\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}\\\text{Alla lösningar}:\theta=\frac{5\pi}{6}+2\pi{n},n\in\mathbb{Z}\\z=e^{i\left(\frac{5\pi}{6}+2\pi{n}\right)},n\in\mathbb{Z}\\\text{Svar: }z=e^{i\frac{5\pi}{6}}\end{align}$$
+- Polynom
+	- **Theorem**: *Algebrans huvudsats: Polynomet$$p(z)=c_nz^n+c_{n-1}z^{n-1}\dots+c_0,\;c_k\in\mathbb{C}$$har en rot i $\mathbb{C}$. D.v.s det finns en $z_1\in\mathbb{C}$ så att $p(z_1)=0$.*
+	- **Faktorsats**: $p(z)=(z-z_1)q(z)$
+	- **Theorem**: *Polynomet ovan kan skrivas som $p(z)=c_n(z-z_1)\dots(z-z_n)$. Alla polynom har $n$ komplexa rötter (och faktorer).*
+	- **Theorem**: *Polynom med reella koefficienter:$p(x)=a_nz^n+a_{n-1}z^{n-1}\dots+a_0,\;a_k\in\mathbb{R}$. Om $z_0$ är en rot så är $\overline{z_0}$*
+	- **Ex**: $$\begin{align}p(z)=3z^3-7z^2+17z-5\\p(1+2i)=0\\\text{Polynomet har reella koefficienten. även konjugatet 1-2i är en rot.}\\\text{Enlight faktorsatsen}\\p(z)=(z-1-2i)(z-1+2i)q(z)\\\text{för något polynom }q(z)\\p(z)=\left(\left(z-1\right)^2-\left(2i\right)^2\right)q(z)\\=\left(z^2-2z+1+4\right)q(z)\\=\left(z^2-2z+5\right)q(z)\\\text{Polynomdivision: }\\\frac{3z-1}{z^2-2z+5}\\p(z)=\left(z-1-2i\right)\left(z-1+2i\right)\left(3z-1\right)\\\text{Rötter: }1+2i,1-2i,\frac13\end{align}$$

Trigonometri.md

@@ -0,0 +1,38 @@
+- Radian:
+	- **Def**: *It is the SI unit for measuring angles (in the plane).*
+	- **Def**: *$1$ radian is defined as the angle subtended at the center by a circular arc of length equal to the radius*
+	- **Def**: *A general angle is measured in radians as the ration of the length an associated circular arc and the corresponding radius. That is $\theta=\frac{s}{r}\text{rad}$*
+	- **Def**: *Usually "$rad$" is omitted.*
+	- Ex: $$\begin{align}180^\circ=\pi\text{ rad}\\\frac{\pi}{3}\text{ rad}=30^\circ\\\frac{\pi}{4}\text{ rad}=45^\circ\\\frac{\pi}{3}\text{ rad}=60^\circ\\\frac{\pi}{2}\text{ rad}=90^\circ\\2\pi\text{ rad}=360^\circ\end{align}$$
+- The right angled triangle
+	- **Def**: *The trigonometric functions: *$$\begin{align}\sin\theta=\frac{\text{perpendicular}}{\text{hypotenuse}}\\\cos\theta=\frac{\text{base}}{\text{hypotenuse}}\\\tan\theta=\frac{\text{perpendicular}}{\text{base}}\end{align}$$
+	- In addition to above, $\csc\theta=\frac{1}{\sin\theta},\sec\theta=\frac{1}{\cos\theta},\cot\theta=\frac{1}{\tan\theta}$
+	- Pythagoras' formula: $p^2+b^2=h^2$
+	  which leads to the **trigonometric identity**: $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$
+	  and also $\tan^2\theta+1=\sec^2\theta$
+	- Dominains and ranges:
+		- $D_{\sin}=\mathbb{R}\;\;R_{\sin}=[-1,1]$
+		- $D_{\cos}=\mathbb{R}\;\;R_{\cos}=[-1,1]$
+		- $D_{\tan}=\mathbb{R}\setminus\{n\pi+\frac{\pi}{2}:n\in\mathbb{Z}\}\;\;R_{\tan}=(-\infty,\infty)$
+- Useful relations
+	- $\sin(-\theta)=-\sin(\text{odd}),\cos(-\theta)=\cos\theta(\text{even})$
+	- Periodicity: $\sin(\theta+2n\pi)=\sin\theta,\cos(\theta+2n\pi)=\cos\theta,\tan(\theta+n\pi)=\tan\theta$
+	- Complementary angles: $\sin(\frac{\pi}{2}-\theta)=\cos\theta,\cos(\frac{\pi}{2}-\theta)=\sin\theta$
+	- Sift by $\pi$: $\sin(\theta\pm\pi)=-\sin\theta,\cos(\theta\pm\pi=-\cos\theta$
+	- Sum of angles: $\sin(\theta+\phi)=\sin\theta\times\cos\phi+\cos\theta\times\sin\phi,\cos(\theta+\phi)=\cos\theta\times\cos\phi-\sin\theta\times\sin\phi,\tan(\theta+\phi)=\frac{\tan\theta+\tan\phi}{1-\tan\theta\times\tan\phi}$
+	- Double angle: $\sin(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta,\tan2\theta=\frac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta},\cos(2\theta)=\cos^2-\sin^2\theta=2\cos^2\theta-1=1-2\sin^2\theta$
+	- Half angle: $2\sin^2\frac{\theta}{2}=1-\cos\theta,2\cos^2\frac{\theta}{2}=1+\cos\theta$
+- Solving trigonometric equations
+	- $\sin\theta=\sin{a}\Leftrightarrow\theta=\left\{\begin{align}a+2n\pi,n\in\mathbb{Z}\\\pi-a+2n\pi,n\in\mathbb{Z}\end{align}\right.$
+	- $\cos\theta=\cos{a}\Leftrightarrow\theta=\left\{\begin{align}a+2n\pi,n\in\mathbb{Z}\\-a+2n\pi,n\in{Z}\end{align}\right.$
+	- $\tan\theta=\tan{a}\Leftrightarrow\theta=a+n\pi,n\in\mathbb{Z}$
+	- Ex: Solve $\sin(x+\frac{\pi}{6})=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 
+- Inverse trigonometric function
+	- **Def**: *$f(x)=\sin(x),x\in\left[\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$. Then $f$ is strictly increasing on $D_f$ and hence inverible. The fuction $\arcsin$ is defined as $$\arcsin(x)=f^{-1}(x)\text{ on }D_{arcsin}=R_f=[-1,1]$$*
+	- **Similarly**: *For $g(x)=\cos(x),x\in\left[0,\pi\right]$ (which is strictly decreasing) and $h(x)=\tan(x),x\in\left[\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$ (which is strictly increasing), the function $\arccos$ and $\arctan$ are defined as $$\begin{align}\arccos(x)=g^{-1}(x)\text{ on }D_{\arccos}=\left[-1,1\right]\\\arctan(x)=h^{-1}(x)\text{ on }D_{\arctan}=\mathbb{R}\end{align}$$*
+	- **Note**: *That the tanges $R_{\arcsin}=R_{\arctan}=\left[\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$ whereas $R_{\arccos}=\left[0,\pi\right]$*
+- Properties
+	- **Def**: $$\begin{align}\sin(\arcsin(x))=x\forall{x}\in\left[-1,1\right]\text{ | }\arcsin(sin(x))=x\text{ if }x\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\\\cos(\arccos(x))=x\forall{x}\in\left[-1,1\right]\text{ | }\arccos(\cos(x))=x\text{ if }x\in\left[0,\pi\right]\\\tan(\arctan(x))=x\forall{x}\in\mathbb{R}\text{ | }\arctan(\tan(x))=x\text{ if }x\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\end{align}$$
+	- **Complementary angles**: $$\arcsin(x)+\arccos(x)=\frac{pi}{2},\;\arctan(x)+\arccos(x)=\frac{\pi}{2}$$
+	- **Negatives**: *$\arcsin$ and $\arctan$ are odd functions. $$\begin{align}\arcsin(-x)=-\arcsin(x)\\\arccos(-x)=\pi-\arccos(x)\\\arctan(-x)=-\arctan(x)\end{align}$$*
+-