- Begränsade funktioner
	- Uppåt begränsad: $f(x)\leq{M}$, $\forall{x}\in{D_r}$
		- Ex: $f(x)=-x^2-2x$
	- Nedåt begränsad: $f(x)\geq{M}$, $\forall{x}\in{D_f}$
		- Ex: $f(x)=x^2+2x+2$
- Monoton funktion
	- Växande: $x_1<x_2\Rightarrow{f(x_1)}\leq{f(x_2)}$
	- Strängt växande: $x_1<x_2\Rightarrow{f(x_1)}<f(x_2)$
	- Avtagande: $x_1<x_2\Rightarrow{f(x_1)}\geq{f(x_2)}$
	- Avtagande: $x_1<x_2\Rightarrow{f(x_1)}>f(x_2)$
	- *(Strängt) Monoton funktion är (Strängt) växande eller (Strängt) avtagande*
- Jämna, Udda funktioner
	- Jämna: $f(-x)=f(x)$
		- Ex: $|x|,\;x^2,\;\cos{x}$
		- $$\begin{align*}f\text{ är udda }, O\in{D_f}\\f(-x)=-f(x)\forall{x}\in{D_f}\\f(-o)=-f(o)\\\Leftrightarrow{f(o)=-f(o)}\Leftrightarrow{2f(o)=0}\\\Leftrightarrow f(o)=\frac{o}{2}=O\end{align*}$$
	- Udda: $f(-x)=-f(x)$
		- Ex: $x,\;x^3,\;\sin{x}$ 
- Sammansatta funktion
	- $g\circ{f(x)}=g(f(x))$ 
	- **Egenskaper**:
		- $V_{g\circ{f}}\subseteq{V_g}$
		- $V_{f}\subseteq{D_g}$
	- Ex: $$\begin{align*}f(x)=\sqrt{x}\text{ and }g(x)=(x+5)^2\\f\circ{g}(x)=f(g(x))=f((x+5)^2)=\sqrt{(x+5)^2}=|x+5|\\g\circ{f}(x)=g(f(x))=g(\sqrt{x})=(\sqrt{x}+5)^2\\\text{I allmänhet }f\circ{g(x)}\neq{g\circ{f(x)}}\end{align*}$$
- Inverse
	- **Def**: *En funktion $g$ är inverse till funktionen $f$ om $g\circ{f(x)}=x$ och $f\circ{g(x)}=x$ för varje $x\in{D_f}$*
	- ![[f_inverse.png]]
	- **OPS**: $f^{-1}(x)\neq{(f(x))^{-1}}$
	- Betekning: $f^{-1}$ är inverse till $f$
	- Graf till inversen $f^{-1}$ är spegling av grafen till f i linjen $y=x$
	- Injektiv funktion: $\forall{x_1,x_2}\in{D_f},\;x_1\neq{f(x_2}\rightarrow{x_1}\neq{f(x_2)}=\frac{1}{f(x)}$$$\begin{align}f\\x_1\neq{x_2}\Rightarrow{f(x_1)}\neq{f(x_2)}\end{align}$$
	- $f$ är stängt monoton $\Rightarrow\;x$ är injektiv (inverterbar) på $D_f$
	- $f$ är inverterbar $\Rightarrow\;D_{f-1}=V_f$ och $V_{f-1}=D_f$
	- Ex:
		- $f(x)\left\{\begin{align}-x+5,\;0\leq{x}\leq2\\x-4,\;2\leq{x}<4\end{align}\right.$
		- ![[g1.png]]
		- $f(x)=x^2,\;x\in[0,1]$ $D_f=[0,1]$
		- ![[g2.png]]
		- $$\begin{align}f(x)=3x+5\\g(x)=\frac{x-5}{3}\end{align}$$
- Exponential och logarithm
	- Exponential: $f(x)=a^x$ för något $a>0$.
	- Logaritm: $g(x)=\log_a(x)$ för något $a>0$
		- $f$ och $g$ inverse till varandra: $y=a^x\Leftrightarrow\log_a(y)=x$.
		- $D_f=\mathbb{R}=V_g,\;\;V_f=(0,\infty)=D_g$.
		- Om $a>1,\;f,\;g$ är strängt växande.
		- $\log_a{(xy)}=\log_a(x)+\log_a(y),\;\log_a(x/y)=\log_a(x)-\log_a(y)$
		- $\log_a(x^b)=b\log_a(x)$
		- Basbyte: $\log_a(x)=\frac{\log_b(x)}{\log_b(a)}\Leftrightarrow\log_b(x)=\log_b(a)\log_a(x)$. $a^x=b^{x\log_b(a)}$
		- Ex: $$\begin{align}\text{Räkna }D_f\text{ för }f(x)=\log_{10}(x^2+2x-3)\\f\text{ är definierad för }x^2+2x-3>0\\\Leftrightarrow(x+3)(x-1)>0\\\Leftrightarrow x\in(-\infty,-3)\cup(1,\infty)\\D_f=(-\infty,-3)\cup(1,\infty)\\\\2^{x+3}>4\\\Leftrightarrow\log_2(2^{x+3})>\log_24\\\Leftrightarrow x+3>2\\\Leftrightarrow x>-1\\\\\log_{10}36\\=\log_{10}(2^2\times3^2)\\=\log_{10}(2^2)+\log_{10}(3^2)\\=2\log_{10}2+2\log_{10}3\\\\2^x=e^{x\log_e2}=e^{x\ln2}\\\log_2x=(\log_2e)\ln{x}\\=\frac{\ln x}{\ln 2}\end{align}$$
		- **Def**: $\log{x}=\log_{10}x$
		- **Def**: $\ln{x}=\log_ex$
		- **Def**: $a^x=e^{x\log_ea}=e^{x\ln a},\;a\in(0,\infty)$
		- **Def**: $\log_a1=0$
		- **Def**: $\log_aa=1$
		- **Def**: $\log_ab=\frac{1}{\log_ba}$