```desmos-graph
left=-5; right=5;
top=5; bottom=-5;
---
([0,0],[0,1])
([0,1],[0,0])
0 < y < 1 {0 < x < 1}
```

*En area enher av parallellogramet som spänns up av vektorerna. Standerdbasen $\overrightarrow{e_1},\;\overrightarrow{e_2}$ utgörs av korndinaterna av* $$\begin{bmatrix}
1&0\\0&1
\end{bmatrix}$$
**DEF**: *En "standerd area enhet" är lika med talet $\det{I}=1$. Om det är underförstått att vi jobbar med standerdbasen, då pratar vi endast om "area enheter".*

**DEF**: *Den signerade arean (dvs. arean med signerade + eller -) av parallellogramen som spänns uo av vektoerna* $$\overrightarrow{u}=(u_1,\;u_2),\;\overrightarrow{v}=(v_1,\;v_2)\in\mathbb{R}^2$$*är leka med determinanten av matrisen vars kolumner utgörs av $\overrightarrow{u}$ och $\overrightarrow{v}$*

*Om vi har en tirangel istället, få tar vi $\frac12$ av den här determinanten*
**OBS**: *ordingen av $\overrightarrow{u}$ och $\overrightarrow{v}$ är viktigt:*$$\underset{\substack{\parallel\\u_1v_2-v_1u_2}}{\det(\begin{bmatrix}
u_1&v_1\\u_2&v_2
\end{bmatrix}}=-1\underset{\substack{\parallel\\v_1u_2-u_1v_2}}{\det(\begin{bmatrix}
v_1&u_1\\v_2&u_2
\end{bmatrix}}$$

**DEF** *Två vektorer $\overrightarrow{u},\;\overrightarrow{v}$ sägs vara positiv orienterad om den signerade arean som späns upp av $\overrightarrow{u}$ och $\overrightarrow{v}$ är positiv*

**OBS** *Om $\overrightarrow{u}$ och $\overrightarrow{v}$ är parallella, då*$$\det(\underset{\substack{
\wedge\\\parallel\\\vee\\
\text{parallellogramen som spänns up av $\overrightarrow{u}$ och $\overrightarrow{v}$ har area }0
}}{\begin{bmatrix}
u_1&v_1\\
u_2&v_2
\end{bmatrix}})=0\Leftrightarrow\text{}\text{kolumnerna är linjärt levande}$$
```desmos-graph
left=-1; right=5;
top=1; bottom=-1;
---
(1,0.1)|blue|hidden|label:`\overrightarrow{v}`
(3,0.1)|green|hidden|label:`\overrightarrow{u}`
([0,2],[0,0])|blue
([0,4],[0,0])|green
```
[Graph of a triangle area]
*Area av den liksidiga triageln*$$\frac12\det(A)\frac12\times\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}$$
**Areabyte**:
- **Kordinater**: $$I\times\begin{bmatrix}
\zeta_1\\\zeta_2\\\zeta_3
\end{bmatrix}=A\times\begin{bmatrix}
\alpha_1\\\alpha_2\\\alpha_3
\end{bmatrix}$$
- **Area**: *Om vi hade en area av $X$ a.e. innan basbyte, då har vi $\det{A}\times{X}$ a.e. efter basbyte.*
- **Volym**: *x v.e. före basbyte $\Rightarrow$ $\det(A)\times{X}$ a.e. efter basbyte.*
**OBS**:
- *Area av triangle $=\frac12$ area av parallellogram*
- *Volum av tetraheder $=\frac13$ volum av parallellepiod*
- *4-d volum av 4-d tetrahden $=\frac1{24}$ 4-d volum av 4-d parallelopipod*


**SATS**: *Låt $A$ vara en $m\times{n}$ ortogonal matris. Då är $\operatorname{def}(A)$ antigen $+1$ eller $-1$.*
**BEVIS**:
- *För ortogonala matriser är $A^{-1}=A^T$*
- *$\det(A)=\det(A^T)$*
- *$\operatorname{def}(AB)=\operatorname{def}(A)\times\operatorname{def}(B)$*
$\Rightarrow{A}\times{A^T}=I\Rightarrow\det(AA^T)=\det(I)\Rightarrow\det(A)\times\det{A^T}=1\Rightarrow\operatorname{def}(A)^2=1\Rightarrow\operatorname{def}(A)\text{är }+1\text{ eller }-1$
**OBS**: *Om vi har en $m\times{n}$ matris $A$, då är $\det(A)$ lika med den $m-$dimensonella volymen av figuren som spenns up av matrises kolumner*
**EX**: $$\begin{bmatrix}
1&0\\0&1
\end{bmatrix}\rightarrow\begin{bmatrix}
1&\frac12\\
0&\frac{\sqrt{3}}2
\end{bmatrix}\Rightarrow\text{svårt att beskriva}$$
[ ]

**FAKTA**: *Om $A$ är en ortogonal matris, då är skälärprodukten nellan två vektorer samma i så val den gamla basen som den nya basen*

**Diagonalisering**
$$\begin{aligned}PDP^{-1}=\begin{bmatrix}1&\frac13\\1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&\frac13\\1&1\end{bmatrix}^{-1}\\=\begin{bmatrix}1&-\frac13\\1&-1\end{bmatrix}\times\frac1{\frac23}\times\begin{bmatrix}1&-\frac13\\-1&1\end{bmatrix}\\=\frac32\times\begin{bmatrix}1&-\frac13\\1&-1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&-\frac13\\-1&1\end{bmatrix}=\frac23\times\begin{bmatrix}\frac43&-\frac23\\2&-\frac43\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}2&-1\\3&-2\end{bmatrix}=A\end{aligned}$$
**Heltalspotenser**
*Hur skulle vi kunna räkna ut $A^{2026}$?*
$$(A^{2026}=\underbrace{AA\dots{A}}_{2026\text{ gånger}})$$
**OBS**: $$\begin{aligned}A=PDP^{-1}\\A^2=AA=PD\underbracket{P^{-1}P}_{=I}DP^{-1}=PDDP^{-1}=PD^2P^{-1}\\A^3=AAA=PD\underbracket{P^{-1}P}_{=I}D\underbracket{P^{-1}P}_{=I}DP^{-1}=PD^3P^{-1}\\\Rightarrow{A^n}=PD^nP^{-1}\end{aligned}$$
**EX**: $$\begin{aligned}\text{Om }D=\begin{bmatrix}d_1&0\\0&d_2\end{bmatrix}\\\Rightarrow&\\&D^2=\begin{bmatrix}d_1&0\\0&d_2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}d_1&0\\0&d_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{d_1}^2&0\\0&{d_2}^2\end{bmatrix}\\&D^3=\begin{bmatrix}d_1&0\\0&d_2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}d_1&0\\0&d_2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}d_1&0\\0&d_2\end{bmatrix}\\&=\begin{bmatrix}{d_1}^2&0\\0&{d_2}^2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}d_1&0\\0&d_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{d_1}^3&0\\0&{d_2}^3\end{bmatrix}\\&\vdots\end{aligned}\Rightarrow{D^n}=\begin{bmatrix}{d_1}^n&0\\0&{d_2}^n\end{bmatrix}$$
**EX**: *Beräkna $A^{2026}$ för $A=\begin{bmatrix}2&-1\\3&-2\end{bmatrix}$*$$\begin{aligned}A^{2026}=PD^{2026}P^{-1}=\begin{bmatrix}1&\frac13\\1&1\end{bmatrix}\times\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}^{2026}\times\begin{bmatrix}1&\frac13\\1&1\end{bmatrix}^{-1}\\\begin{bmatrix}1&\frac13\\1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}\times\begin{bmatrix}1&\frac13\\1&1\end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix}1&\frac13\\1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&\frac13\\1&1\end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}=I\\\\\begin{matrix}A=A&A^3=A&A^5=A&\dots\\A^2=I&A^4=I&A^6=A&\dots\end{matrix}\end{aligned}$$