Analys-och-Linj-r-algibra/Egenvärderna (Kap 10).md

DEF: Låt A vara m\times{n} matris. Polynomet p_A(\lambda)=\det(A-\lambda I). Kallas för matrisens kavaktieiska polynom. \lambda\dots variabeln för detta polynom EX: \begin{aligned}\text{Låt }A=\begin{bmatrix}2&-1\\3&-2\end{bmatrix}.\text{ Då är }A-\lambda{I}=\\\begin{bmatrix}2&-1\\3&-2\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}\lambda&0\\0&\lambda\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2-\lambda&-1\\3&-2-\lambda\end{bmatrix}\\\Rightarrow\det(A-\lambda{I})=\begin{vmatrix}2-\lambda&-1\\3&-2-\lambda\end{vmatrix}=(2-\lambda)(-2-\lambda)-(-1)\times3\\=-4\cancel{-2\lambda}\cancel{+2\lambda}+\lambda^2+3=\underbrace{\lambda^2-4}\\\text{OBS: En $2\times2$ matris har en andragrads karaktieristisk polynom}\end{aligned} DEF: Låt A vara en m\times{n} matris. Nollställena till matrisens karakterisktiska polynom kalla för matrisens egenvärdarna.P_A(\lambda)=0 OBS:

• En m\times{n} matris har alltid m stycken egenvärden räknad med multiplicitet. P_A(\lambda)=(\lambda-1)^3(\lambda-2)\Rightarrow\underbrace{4}.\text{ Lösninger: }\lambda=1,\lambda=1,\lambda=1,\lambda=2
• En matris med reella element behöver inte ha reella egenvärden P_A(\lambda)=\lambda^2+1\Rightarrow\lambda^2+1=0\Rightarrow\lambda=+i,\lambda=-i EX: \begin{aligned}A=\begin{bmatrix}2&-1\\3&-2\end{bmatrix}\Rightarrow P_A(\lambda)=\lambda^2-1\Rightarrow\text{egenvärdena: }\lambda^2-1=0\Rightarrow\lambda=\pm1\end{aligned} EX: \begin{aligned}\text{Beräknaq egenvärdena av matrisen }A=\begin{bmatrix}13&4&8\\-6&-1&-4\\18&-6&-11\end{bmatrix}\\\text{Vi beräknar:}\\\det(A-\lambda I)=\begin{vmatrix}13-\lambda&4&8\\-6&-1-\lambda&-4\\-18&-6&-11-\lambda\end{vmatrix}=\\(13-\lambda)\begin{vmatrix}-1-\lambda&-4\\-6&-11-\lambda\end{vmatrix}-4\begin{vmatrix}-6&-4\\-18&-11\lambda\end{vmatrix}+8\begin{vmatrix}-6&-1-\lambda\\-18&-6\end{vmatrix}\\(13-\lambda)\left(11+\lambda+11\lambda+\lambda^2-24\right)-4(66+6\lambda-72)+8(36-18-18\lambda)\\=(13-\lambda)(\lambda^2+12\lambda-13)-4(64-6)+8(18-18\lambda)\\=13\lambda^2+12\times13\lambda-13^2-\lambda^3-12\lambda^2+13\lambda-24\lambda+24+144-144\lambda\\=-\lambda^3+\lambda^2+\lambda-1=-\lambda^2)(\lambda-1)+(\lambda-1)=(\lambda-1)(-\lambda^2-1)=\\(\lambda-1)\times(-1)\times(\lambda^2-1)=(\lambda^2-1)\times(-1)\times(\lambda-1)(\lambda+1)\\=-(\lambda-1)^2(\lambda+1)\end{aligned} SATS: Låt A vara en m\times{n} matris, ich anta att A antigen är diagonal eller triangulär (över eller under). Då sammanfaller engenvärdena med matrisens diagonala element BEVIS: Observera att matrisen A-\lambda I är också diagonal eller tirangulär. Men för sådana matriser är determinanten lika med produkten av diagonala element (Föreläsning 12)\begin{aligned}\Rightarrow P_A(\lambda)=\det(A-\lambda I)=\prod_{i=1}^{m}(a_{ii}-\lambda)\\\Rightarrow P_A(\lambda)=0\text{ precis för }\lambda=a_{11},\;\lambda=a_{22}\;\dots,\;\lambda=a_{mm}\end{aligned} DEF: Låt A vara en m\times{n} matris och \lambda vara ett av matrisens egenvärden. En m\times1 kolumnmatris \overrightarrow{x} kallas för en egenvektor tillhörande \lambda om \overrightarrow{x}\neq\overrightarrow{0} och $A\overrightarrow{x}=\lambda\overrightarrow{x}$ OBS:
• Varje egenvärde har minst en egenskap
• Om ett egenvärde upprepas, kan vi endast ha en linjärt oberoende egenvektor
• Följande kan också hända: För ett egenvärde som upprepas $k$-gånger kan det finnas k linjärt oberoende egenvektorer
• Egenskaper räknas ut med hjälp av ett gauss shcema EX $$\begin{aligned} A=\begin{bmatrix} 2&-1\ 3&-1 \end{bmatrix},\text{ där vi redan har beröknat att }\lambda=\pm1\text{ egenvärdena}\ \text{Vad är de motsvarande egenvektorerna?}\ \begin{aligned} \text{Vilket schema?}\Rightarrow\begin{aligned} VL=A-\lambda I\ HL=\overrightarrow{o} \end{aligned} && \begin{pmatrix} A\overrightarrow{x}&=\lambda\overrightarrow{x}\ A\overrightarrow{x}-\lambda\overrightarrow{x}&=\overrightarrow{0}\ \left(A-\lambda I\right)\overrightarrow{x}&\overrightarrow{0} \end{pmatrix} \end{aligned}\ \lambda=+1:\begin{pmatrix} 1&-3&|&0\ 3&-3&|&0 \end{pmatrix} \begin{aligned} R_2-3R_1\rightarrow{R_2}\ \xrightarrow{} \end{aligned} \begin{pmatrix} 1&-1&|&0\ 0&0&|&0 \end{pmatrix}\Rightarrow\overrightarrow{x}\=\begin{bmatrix} x\y \end{bmatrix}\text{ Där }\begin{aligned} y=t\text{ (fri variable)}\ x-y=0\Rightarrow x=t \end{aligned}\\ \lambda=-1:\begin{pmatrix} 3&-1&|&0\ 3&-1&|&0 \end{pmatrix} \begin{aligned} R_2-R_1\rightarrow{R_2}\ \xrightarrow{} \end{aligned} \begin{pmatrix} 3&-1&|&0\ 0&0&|&0 \end{pmatrix}\ \begin{aligned} \frac13R_1\rightarrow{R_1}\ \xrightarrow{} \end{aligned} \begin{pmatrix} 1&-\frac13&|&0\ 0&0&|&0 \end{pmatrix}\Rightarrow\begin{aligned} y=t\text{ (fri variable)}\ x-\frac13y=0\Rightarrow x=\frac13t\\Rightarrow\begin{bmatrix} x\y \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} \frac13t\ t \end{bmatrix}=t\times\begin{bmatrix} \frac13\ 1 \end{bmatrix} \end{aligned} \end{aligned}$$