Analys-och-Linj-r-algibra/Grafer.md

• Graf
  • Graf till funtion f:\{(x,f(x)):x\in{D_f}
  • Graf till f med y=V_f och $x=D_f$
  • Ex: \begin{align*}f(x)=\left\{\begin{aligned}&2,\;0\leq{x}\leq{1}\\&x+3,\;1<x<2\\&-1,\;2\leq{x}<3\end{aligned}\right.\\D_f=[0,3)\\V_f=(-3,-2]\cup\{2\}\cup(4,5)\end{align*}
• Variablebyte
  • Låt f vara en funtion med $D_f=(x_1,x_2),;V_f=(y_1,y_2)$
  • g(x)=f(x-a), grafen flyttar a enheter längst x-axeln. D_g=(x_1+a,x_2+a),\;V_g=(y_1,y_2)
  • g(x)=f(x)+b, grafen flyttar b enheter längt y-axeln D_g=(x_1,x_2),\;V_g=(y_1+b,y_2+b)
  • g(x)=f(cx),c\neq0, "Scaling" längst x-axeln
  • g(x)=d\times{f(x)}, "Scaling" längst y-axeln
• Absolutbelopp
  • Def: Absolutbelopp funktion |\dot{}|:\mathbb{R}\mapsto[0,\infty) definieras av $|x|=\left\{\begin{aligned}x,\;\text{då }x\geq0,\\-x,\;\text{då }x<0.\end{aligned}\right.$
  • Egenskapaer
    • |x|=\sqrt{x^2}\;\;\forall{x}\in\mathbb{R}. (Alternativ definition av absolutbelopp)
    • |-x|=|x|\;\;\forall{x}\in\mathbb{R}. (Jämn funktion)
    • Multiplikation regle: |x\times{y}|=|x|\times{|y|}\;\;\forall{x,y}\in\mathbb{R}
    • Triangel olikhet: |x+y|\leq|x|+|y|
    • |x-y| är avstånd mellan x och y på reell-linje. I synnerhet är |x| avståndet mellan x och 0.
  • Ex: Lös ekvationen |x-3|=2\begin{align*}|x-3|\Leftrightarrow\sqrt{(x-3)^2}=2\\\Leftrightarrow{}(x-3)^2=2^2\text{(kvadrering)}\\\Leftrightarrow{}(x-3)^2-2^2=0\Leftrightarrow(x-3+2)(x-3-2)=0\\\Leftrightarrow{}x_1=1,\;x_2=5\end{align*}
  • Ex: Lös olikheten |x-3|<2\begin{align*}|x-3|=\left\{\begin{aligned}x-3,\;x-3\geq0\\3-x,\;x-3<0\end{aligned}\right.\\\text{Fall 1: }x-3\geq0\Leftrightarrow{x}\geq3\\|x-3|<2\Leftrightarrow{x}-3<2\\\Leftrightarrow{x}<2+4=5\\3\leq{x}<5\\\text{Fall 2: }x-3<0\Leftrightarrow{x}<3\\|x-3|<2\Leftrightarrow3-x<2\\\Leftrightarrow{x}>3-2=1\\1<x<3\\\\\text{Lösningmängd till }|x-3|<2\\(1,3)\cup{[3,5)}=(1,5)\end{align*}
• Polynom
  • Def: En funtion i formen $p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0=\sum^{n}_{k=0}{a_kx^k}$är ett polynom. a_k för k=0,1,\dots,n är koefficienter. Om a_n har polynomet grad n. Skrivs $grad(p)=n$
  • Nollställe/Rötter: Lösningar till p(x)=0
  • Polynom av grad 0: p(x)=c, konstant function. Graf är parallel till x-axel.
  • Polynom av grad 1 p(x)=ax+b, linjär function. Graf är en icke vertikal linje.
• Andragradspolynom
  • p(x)=ax^2+bx+c,\;a\neq0
  • Faktorisering med kvadratkomplettering: $\begin{align*}ax^2+bx+c=a\left(x^2+\frac{b}{a}\times\frac{c}{a}\right)\\=a\left(x^2+2\times{x}\times\frac{b}{2a}+\frac{b^2}{4a^2}-\frac{b^2}{3a^2}+\frac{c}{a}\right)\\=a\left(\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2-4ac}{4a^2}\right)\\=a\left(x+\frac{b}{2a}+\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}\right)\left(x+\frac{b}{2a}-\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}\right)\\=a\left(x+\frac{b+\sqrt{D}}{2a}\right)\left(x+\frac{b-\sqrt{D}}{2a}\right)\end{align*}$Discriminant: D=b²-4ac
  • Lösningar: p(x)=ax^2+bx+c=0 med a\neq0 har:
    • Inga reella lösnngar om D<0. (Komplexa lösningar)
    • En lösning (doubleroot) om D=0: x=-\frac{b}{2a}
    • Två olika lösningar om D>0: x=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}
    • Remark: Om grad(p)=n,p(x)=0 har max n olika lösningar
  • Ex Lös x^2+2x-1=0 \begin{align*}p(x)=x^2+2x-1=0\\=\end{align*}
  • Ex: \begin{align*}p(x)=2x²+4x+4\\D=4^2-4\times2\times4<0\\p(x)=2x^2+4x+4\\=2(x^2+2x+2)\\=2(x^2+2x+1-1+2)\\=2\left((x+1)^2+1\right)\end{align*}
  • Ex: \begin{align}p(x)=2x^2+2x+18\\D=12^2-4\times2\times18=0\\\text{en dubbel rot}\\p(x)=2x^2+12x+18\\=2(x^2+6x+18)\\=2(x+3)^2\end{align}
  • Dubleroot vissar att det är två gånger samma factor i factorisering
• Polynomdivision
  • Rationell funktion: f(x)=\frac{p(x)}{q(x)} där p(x), q(x) är polynom.
  • Def: p(x) och q(x) är polynom \Rightarrow det fins polynom k(x) (kvot) och r(x) (rest) så att \begin{align}p(x)=q(x)k(x)+r(x)\\\frac{p(x)}{q(x)}=k(x)+\frac{r(x)}{q(x)}\end{align}, och grad(r)<grad(q) om $grad(q)>0$
  • Remark: Om r(x)=0 för varje x (nollpolynomet), divisionen får jämt ut. Vi har faktorisering p(x)=q(x)k(x)