Analys-och-Linj-r-algibra/Linjär avbildning.md

DEF: Funktionen F kallas för en avbildning om F:V_1\rightarrow{V_2} där V_1,\;V_2 är två vektorer. Vidare kallas en avbilding för linjär om:

• $F(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{u})=F(\overrightarrow{u})+F(\overrightarrow{u})$
• $F(\alpha\overrightarrow{u})=\alpha\times{F}(\overrightarrow{u})$ EX: *Låt A vara en m\times{n} matris. Då definierar A en linjär avbilding från \mathbb{R}^n till \mathbb{R}^m genom följande: *$$\begin{aligned} F_A(\overrightarrow{u})=A\overrightarrow{u}\text{ (dvs. med hjälp av matrismultiplikation)}\ \left(\overrightarrow{u}=(u_1,;u_2,;u_3,;u_4)=\begin{bmatrix} u_1\u_2\u_3\u_4 \end{bmatrix}\right) \end{aligned}$$ EX: Vilken avbildning definieras av matrisen $$\begin{aligned} A=\begin{bmatrix} 1&2\3&4 \end{bmatrix}\ \text{Räkna ut: }A\overrightarrow{u}=\begin{bmatrix} 1&2\3&4 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} u_1\u_2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} u_1+2u_2\ 3u_1+4u_2 \end{bmatrix}\Rightarrow\begin{aligned} F_A(\overrightarrow{u})=A\overrightarrow{u}\ F_A\left(\left(u_1,;u_2\right)\right)=\(u_1+2u_2,;3u_1+4u_2) \end{aligned} \end{aligned}$$ OBS: Följade bekanta begrepp är egenkligen linjära avbildningar
• Derivatan: $\begin{aligned}\left(x^2+\sin(x)\right)'=\left(x^2\right)'+\left(\sin(x)\right)'=2x+\cos(x)\\left(10x^2\right)'=10\times\left(x^2\right)'=10\times2x=20x\end{aligned}$
• Den bestämnda integralen: $\begin{aligned}\int^1_0\left(x+x^2\right)dx=\int^1_0xdx+\int^1_0x^2dx=\dots\\int^1_0(10\times{x})dx=10\times\int^1_ 0xdx=\dots\end{aligned}$