Analys-och-Linj-r-algibra/Primära Funktioner.md

OBS Kontrolera, ALTID

• Definition
  • Def: En funktion F är en primär funktion till funktionen f i ett intervall I om F'(x)=f(x) för varje $x\in{I}$
  • \left.\begin{aligned}F'_1(x)=f(x)\\F'_2(x)=f(x)\end{aligned}\right\}\Rightarrow F_1(x)=F_2(x)+C,\;\;C\text{ är godtycklig konstant.}
  • Beteckning: \int{f(x)dx}=F(x)+C där F är en partikulär primitiv funktion till f och C är en godtycklig konstant.
  • Ex: *Visa att \ln\mid{x+\sqrt{x^2+a}}\mid är en primitiv funktion till $\frac1{\sqrt{x^2+a}}* \begin{align}\frac{d}{dx}\left(\ln\left|x+\sqrt{x^2+a}\right|\right)\\=\frac1{x+\sqrt{x^2+a}}\left(\frac{d}{dx}\left(x+\sqrt{x^2+a}\right)\right)\text{ (kedjeregel)}\\=\frac1{x+\sqrt{x^2+a}}\left(1+\frac1{2\sqrt{x^2+a}}\frac{d}{dx}\left(x^2+a\right)\right)\text{ (kedjeregle, linjärtet)}\\=\frac1{x+\sqrt{x^2+a}}\left(1+\frac{\cancel2x}{\cancel2\sqrt{x^2+a}}\right)\\=\frac1{\cancel{x+\sqrt{x^2+a}}}\times\frac{\cancel{\sqrt{x^2+a}+x}}{\sqrt{x^2+a}}=\frac1{x^2+a}\\\ln\left|x+\sqrt{x^2+a}\right|\text{ är en primär funktion till }\frac1{\sqrt{x^2+a}}\end{align}$
• Standerd Primetiv
  1. f(x)=0\;\;\Rightarrow\;\;F(x)=C
  2. f(x)=x^n\;\;\Rightarrow\;\;F(x)=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\;n\in\mathbb{Z}\setminus\{-1\}
  3. f(x)=x^\alpha\;\;\Rightarrow\;\;F(x)=\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C\;\alpha\in\mathbb{R}\setminus\{-1\},\;x>0
  4. f(x)=e^x\;\;\Rightarrow\;\;F(x)=e^x+C
  5. f(x)=x^{-1}\;\;\Rightarrow\;\;F(x)=\ln\left|x\right|+C,\;x\neq0
  6. f(x)=\sin x\;\;\Rightarrow\;\;F(x)=-\cos x+C
  7. f(x)=\cos x\;\;\Rightarrow\;\;F(x)=\sin x+C
  8. f(x)=\sec^2x=1+\tan^2x\;\;\Rightarrow\;\;F(x)=\tan x+C
  9. f(x)=a^x\;\;\Rightarrow\;\;F(x)=\frac{a^x}{\ln a}+C,\;a>0
• Regler
  • Låt F vara så att $F'(x)=f(x)$
    • Linjäritet: \int\left(\alpha f+\beta g\right)dx=\alpha\int gdx
    • Sammansatt funktion: \int\left(f\left(g\left(x\right)\right)g'\left(x\right)\right)dx=F\left(g\left(x\right)\right)+C I synnerhet: \int\left(f\left(ax+b\right)\right)dx=\frac1aF\left(ax+b\right)+C
    • Divition: \int{\frac{f'(x)}{f(X)}dx}=\ln\left|f(x)\right|+C
    • Partiell integration: \begin{align}\int{\left(f\left(x\right)\right)dx}=\left(\int{fdx}\right)g\left(x\right)-\int\left(\int{fdx}\right)g'\left(x\right)dx\\=F\left(x\right)g\left(x\right)-\int{F\left(x\right)g'\left(x\right)dx}\end{align}

Integral	\sqrt{ax+b}	\sqrt{\frac{ax+b}{cx+d}}	\sqrt{x^2+a}
Utbyte	t=\sqrt{ax+b}	t=\sqrt{\frac{ax+b}{cx+d}}	t=x+\sqrt{x^2+a}

• Regler Example \begin{align}\text{Låt }g(x)=y\Rightarrow dy=g'(x)dx\\\int f(g(x))g'(x)dx=\int f(y)dy\\F(x)+C=F(g(x))+C\end{align}
  • Ex \begin{align}\int\frac1{x^{1/2}+x^{3/2}}dx=I\\\text{Låt }y=\sqrt{x}\Rightarrow dy=\frac1{2\sqrt{x}}dx\\I=\int\frac1{\sqrt{x}\left(1+x\right)}dx=\int\frac2{1+x}\times\frac{dx}{2\sqrt{x}}\\=\int\frac2{1+y^2}dy=2\int\frac1{1+y^2}dy\;\;\left(\frac{d}{dx}\left(\arctan x\right)=\frac1{1+x^2}\right)\\=2\arctan y+C\\=2\arctan\sqrt{x}+C,\text{ där }X\in\mathbb{R}\\\text{prof: }\left(2\arctan\sqrt{x}\right)'\\=\cancel2\times\frac1{1+\left(\sqrt{x}\right)^2}\times\frac1{\cancel2\sqrt{x}}\\=\frac1{x^{1/2}+x^{3/2}}\checkmark\end{align}\begin{align}\int\cos\left(2x+\pi\right)dx\\=\frac12\sin\left(2x+\pi\right)+C\end{align}\begin{align}I=\int\frac{\sin x}{\cos x}dx=-\int\frac{\left(\cos x\right)'}{\cos x}dx=-\ln\left|\cos x\right|+C\end{align}\begin{align}\left(F(x)g(x)\right)'=F'(x)g(x)+F(x)g'(x)\\=f(x)g(x)+F(x)+g'(x)\\F(x)g(x)=\int f(x)g(x)dx+F(x)g'(x)dx\end{align}\begin{align}\int\left(x^2-4x+5\right)\sin2xdx\\\stackrel{\text{PI}}{=}\left(\int\sin2xdx\right)\left(x^2-4x+5\right)-\int{\left(\int\sin2xdx\right)\left(x^2-4x+5\right)'dx}\\=-\frac12\left(\cos2x\right)\left(x^2-4x+5\right)+\frac12\int\left(\cos2x\right)\left(3x+4\right)dx\\\stackrel{\text{PI}}{=}-\frac12\left(x^2-4x+5\right)\cos2x+\frac12\left(\sin2x\right)\left(x-2\right)-\int\frac12\sin2xdx\\=-\frac12\left(x^2-4x+5\right)\cos2x+\frac12\left(x-2\right)+\frac14\cos2x+C\\=-\frac14\left[\left(2x^2-8x+10-1\right)\cos2x-2(x-2)\sin2x\right]+C\\=\frac{x-2}2\sin2x-\frac{2x^2-8x+9}4\cos2x+C\end{align}
• Ex kontrol \begin{align}\int\left(\sin x^2\right)\left(2x\right)dx\\=-\cos x^2+C\\\text{prof: }\left(-\cos x^2+C\right)'\\=-\left(-\sin x^2\right)\left(x^2\right)'=\left(\sin x^2\right)\left(x^2\right)\end{align}
• Rationella Funktioner \begin{align}f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}\text{ där }P,Q\text{ är polynomer}\\1.\;\text{ Om }grad(P)\geq grad(Q)\text{ polynomdivition }\\f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}=k(x)+\frac{R(x)}{Q(x)}\\\text{där }K,R\text{ är polynom, }grad(R)<grad(Q)\\2.\;\text{ Faktorisera }Q(x)\\Q(x)=c(x-a_1)(x-a_2)\dots(x^2+b_1x+d)\dots\\3.\;\text{ Partialbråkuppdelning}\\\text{Antag att}\\\frac{R(x)}{Q(x)}=\frac{A_1}{x-a_1}+\frac{A_2}{x-a_2}+\dots\dots\\\text{Bestäm konstanten i HL genom att jämföra med VL}\\4.\;\text{ Integrera}\end{align}
  • Ex: \begin{align}\int\frac{5x+4}{x^2+3x+2}dx=I\\\text{Lösm: Eftersom }grad(5x+4)<grad(x^2+3x+2)\text{ polinomdivision behövs inte}\\\text{Foktoresera nämnaren: }x^2+3x+2=(x+2)(x+1)\\\text{PBU: Antag att }\exists\text{ konstanten }A,B\in\mathbb{R}:\\\frac{5x+4}{x^2+3x+2}=\frac{A}{x+2}+\frac{B}{x+1}=\frac{A(x+1)+B(x+2)}{(x+2)(x+1)}\\\Rightarrow\;5x+4=A(x+1)+B(x+2)\\\text{Metod 1: Prova olika värde av }x\\x=-1:\;\;5\times(-1)+4=A\times{O}+B(-1+2)\Leftrightarrow B=-1\\x=-2:\;\;5\times(-2)+4=A\times{O}+B\times{O}\Leftrightarrow A=6\\\text{Metod 2: Jämför koefficenten}\\5x+4=A(x+1)+B(x+2)=(A+B)x+(A+2B)\\\text{Jämför koefficienter till }x^n\\\left.\begin{aligned}x^1\;\;:\;\;\;\;5=A+B\\x^0\;\;:\;\;4=A+2B\end{aligned}\right\}\Leftrightarrow\begin{aligned}A=6\\B=-1\end{aligned}\\\frac{5x+4}{x^2+3x+2}=\frac{6}{x+2}-\frac1{x+1}\\\int\frac{5x+4}{x^2+3x+2}dx=\int\left(\frac{6}{x+2}-\frac{1}{x+1}\right)dx\\=6\int\frac1{x+2}dx=\int\frac1{x+1}\\=6\ln\mid{x+2}\mid-\ln\mid{x+1}\mid+C\end{align}
  • **Integral av $\frac{Ax+B}{x^2+ax+b}** \frac{Ax+B}$

Faktor i Q(x)	PBU
x-a	\frac{A}{x-a}
(x-a)^n	\frac{A_1}{x-a}+\frac{A_2}{(x-a)^2}+\dots+\frac{A_n}{(x-a)^n}
(x^2+ax+b),\;a^2<4b	\frac{Ax+B}{x^2+ax+b}