Analys-och-Linj-r-algibra/Ekvations System.md

Def: Ett linjärt ekvationssystem med reella koefficienter är en samling av m stycken ekvationer, där:

• Varje ekvation innerhåller som m'st $m$-stycken variabler, och hat gemmesamma vatiabler för alla ekvationer
• Varje vatiable förekommer om en första ordning moam $(x,;4x,;-3y,\cancel{x^2},;\cancel{xy})$
• En konstant term $(e,;0,;-5,;\cancel{2+i})$ Ex: \begin{align}x_1-2x_2+3x_3=0\\x_1-x_4=-2\\\\\cancel{{x_1}^2}-2\cancel{x_2x_5}=0\\\cancel{\sin(x_1)}-x_4=\cancel{-2+}3i\end{align} *Ett allmänt linjär ekvationssystem med reella koefficienter herstamade av m stycken ekvationer och m stycken variablar ser ut så här: *\left.\begin{align}a_{11}x_1+a_{12}x_2+\dots+a_{1m}x_n=b_1\\a_{21}x_1+a_{22}x_2+\dots+a_{2n}x_n=b_2\\\vdots\\a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\dots+a_{mn}x_n=b_m\end{align}\right\}\begin{aligned}m\times{n}\text{ stycken koeffiencer }(a_{ij})\\m\text{ stycken koeffienter }(b_i)\end{aligned} Ex: \begin{align}x_1-2x_2-3x_3==\\x_1-x_4=-2\\\Leftrightarrow x1_2-x_2-3x_3+0x_4=0\\x1+0x_2+0x_3-x_4=-2\\\end{align} Def: En m\times{n} matris med rella koeffienter är en samling av m\times{n} stycken rella tal i en rektagulär schema med m rader och n koefiencer A=\left[\begin{aligned}a_{11}\;\;\;\;a_{12}\;\;\dots\;\;\;\;a_{1n}\\a_{21}\;\;\;\;a_{22}\;\;\dots\;\;\;\;a_{2n}\\\vdots\;\;\;\;\;\;\;\vdots\;\;\;\ddots\;\;\;\;\;\;\vdots\;\;\\a_{m1}\;\;a_{m2}\;\;\dots\;\;a_{mn}\end{aligned}\right]\leftarrow m\times{n}\text{ matris} *Variablar till häramde ett ekvationssystem samlas i en n\times1 matris \overrightarrow{x} (också kallad för en kolomnvektor), och en koefficienterma b_i som utgöt HL av en ekvationssystemet samlas i m\times1 matris $\overrightarrow{b}(ett annat kolonnvektor)*\overrightarrow{x}=\left[\begin{align}x_1\\x_2\\x_3\\\vdots\;\\\vdots\;\\x_n\end{align}\right]\;\;\;\overrightarrow{b}=\left[\begin{aligned}b_1\\b_2\\\vdots\;\\\vdots\;\\b_m\end{aligned}\right]$

Ex: \begin{aligned}x_1-2x_2-3x_x=0\\x_1-x_4=-2\\\\A=\left[\begin{aligned}1\;\;-2\;\;-3\;\;\;\;\;\;0\\1\;\;\;\;\:\;\;0\;\;\;\;\;\;0\;\;-1\end{aligned}\right]\\\overrightarrow{x}=\left[\begin{aligned}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{aligned}\right]\;\;\;\overrightarrow{b}=\left[\begin{aligned}0\\-2\end{aligned}\right]\end{aligned}

• Def: Ett gauss schema är en sammling av A, och \overrightarrow{b} som tillhör ett ekvastions system:\left(A\mid\overrightarrow{b}\right)=\left(\begin{aligned}a_{11}\;\;a_{12}\;\;\dots\;\;a_{1n}:b_1\\a_{21}\;\;a_{22}\;\;\dots\;\;a_{2n}:b_2\\\vdots\;\;\;\;\;\;\vdots\;\;\;\ddots\;\;\;\;\vdots\;\;\;\;\;\vdots\;\;\\a_{m1}\;a_{m2}\;\dots\;a_{mn}:b_m\end{aligned}\right)
• Ex: \begin{aligned}x_1-2x_2-3x_x=0\\x_1-x_4=-2\\\\\Rightarrow\left(\begin{aligned}1\;\;-2\;\;-3\;\;\;\;\;\;0:\;\;\;0\\1\;\;\;\;\:\;\;0\;\;\;\;\;\;0\;\;-1:-2\end{aligned}\right)\end{aligned}
• Ex: \left.\begin{aligned}x+2y-u+3v=2\\2x+3y+2z-2u+10v=0\\x+3y-2z-4u+2v=3\\\underbrace{-x-3y+2z+3u-v}_{\text{VL }4\times5=20 \text{ platser i schemat}}=\underbrace{-4}_{\text{HL }4\text{ platser}}\\\end{aligned}\right.\Rightarrow\left(a\mid\overrightarrow{b}\right)=\left(\begin{aligned}1\;\;\;\;\;\;2\;\;\;\;\;0\;-1\;\;\;3:\;\;\;2\\2\;\;\;\;\;\;3\;\;\;\;\;2\;-2\;10:\;\;\;0\\1\;\;\;\;\;3\;-2\;-3\;\;\;2:\;\;\;3\\-1\;-3\;\;\;\;\;2\;\;\;\;\;\;3\;\;\;1:-4\end{aligned}\right) Hur räknar man med ett gauss schema? Man räknar med hjälp av elemäntera radoperationer:
• Radbyte: Vi byter plats på alla element i raderna i och j : $R_i\leftrightarrow{R_j};;\left(R_1\leftrightarrow{R_3}\right)$
• Radmultiplikation: Vi multiplicerar alla ellement i raden i med en och samma nollstild tal \lambda\in\mathbb{R}: $\lambda\times{R_i}\rightarrow{R_i};;\left(2R_1\leftarrow{R_1}\right)$
• Radaddition: Vi adderar till varje element i raden i en $\lambda$-mutipel av motsvarande element från raden j: $R_i+\lambda{R_j}\rightarrow{R_1};;\left(R_1-3R_2\rightarrow{R_1}\right)$ Ex: \left(\begin{aligned}1\;-2\;3\;0:0\\1\;0\;0\;-1:-2\end{aligned}\right).\;\;R_2-R_1\rightarrow{R_2}\left(\begin{aligned}1\;-2\;-3\;0:0\\0\;2\;3\;-1:-2\end{aligned}\right).\;\;\frac12R_2\rightarrow{R_2}\left(\begin{aligned}1\;-2\;-3\;0:0\\0\;1\;\frac32\;\frac{-1}2:-1\end{aligned}\right) Ex: \left(\begin{aligned}1\:2\;0\;-1\;3:2\\2\;3\;2\;-2\;10:+\end{aligned}\right)