2.3 KiB
DEF: Låt A vara m\times{n} matris. Polynomet p_A(\lambda)=\det(A-\lambda I). Kallas för matrisens kavaktieiska polynom. \lambda\dots variabeln för detta polynom
EX: $$\begin{aligned}
\text{Låt }A=\begin{bmatrix}
2&-1\
3&-2
\end{bmatrix}.\text{ Då är }A-\lambda{I}=\
\begin{bmatrix}
2&-1\
3&-2
\end{bmatrix}-
\begin{bmatrix}
\lambda&0\
0&\lambda
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
2-\lambda&-1\
3&-2-\lambda
\end{bmatrix}\
\Rightarrow\det(A-\lambda{I})=
\begin{vmatrix}
2-\lambda&-1\
3&-2-\lambda
\end{vmatrix}=
(2-\lambda)(-2-\lambda)-(-1)\times3\
=-4\cancel{-2\lambda}\cancel{+2\lambda}+\lambda^2+3=\underbrace{\lambda^2-4}\
\text{OBS: En 2\times2 matris har en andragrads karaktieristisk polynom}
\end{aligned}$$
DEF: Låt A vara en m\times{n} matris. Nollställena till matrisens karakterisktiska polynom kalla för matrisens egenvärdarna.P_A(\lambda)=0
OBS:
- En
m\times{n}matris har alltidmstycken egenvärden räknad med multiplicitet.P_A(\lambda)=(\lambda-1)^3(\lambda-2)\Rightarrow\underbrace{4}.\text{ Lösninger: }\lambda=1,\lambda=1,\lambda=1,\lambda=2 - En matris med reella element behöver inte ha reella egenvärden
P_A(\lambda)=\lambda^2+1\Rightarrow\lambda^2+1=0\Rightarrow\lambda=+i,\lambda=-iEX:\begin{aligned}A=\begin{bmatrix}2&-1\\3&-2\end{bmatrix}\Rightarrow P_A(\lambda)=\lambda^2-1\Rightarrow\text{egenvärdena: }\lambda^2-1=0\Rightarrow\lambda=\pm1\end{aligned}EX: $$\begin{aligned} \text{Beräknaq egenvärdena av matrisen }A=\begin{bmatrix} 13&4&8\ -6&-1&-4\ 18&-6&-11 \end{bmatrix}\ \text{Vi beräknar:}\ \det(A-\lambda I)=\begin{vmatrix} 13-\lambda&4&8\ -6&-1-\lambda&-4\ -18&-6&-11-\lambda \end{vmatrix}=\ (13-\lambda)\begin{vmatrix} -1-\lambda&-4\ -6&-11-\lambda \end{vmatrix}-4\begin{vmatrix} -6&-4\ -18&-11\lambda \end{vmatrix}+8\begin{vmatrix} -6&-1-\lambda\ -18&-6 \end{vmatrix}\ (13-\lambda)\left(11+\lambda+11\lambda+\lambda^2-24\right)-4(66+6\lambda-72)+8(36-18-18\lambda)\ =(13-\lambda)(\lambda^2+12\lambda-13)-4(64-6)+8(18-18\lambda)\ =13\lambda^2+12\times13\lambda-13^2-\lambda^3-12\lambda^2+13\lambda-24\lambda+24+144-144\lambda\ =-\lambda^3+\lambda^2+\lambda-1=-\lambda^2)(\lambda-1)+(\lambda-1)=(\lambda-1)(-\lambda^2-1)=\ (\lambda-1)\times(-1)\times(\lambda^2-1)=(\lambda^2-1)\times(-1)\times(\lambda-1)(\lambda+1)\ =-(\lambda-1)^2(\lambda+1) \end{aligned}$$