Analys-och-Linj-r-algibra/Komplexa tal.md

• Komplexa tal
  • Def: x^2+1=0 saknar reell lösning. Vi antar talet i\notin\mathbb{R} löser ekvationen, d.v.s i^2=-1
  • Mängd av komplexa talen: \mathbb{C}=\{a+bi:a,b\in\mathbb{R}\}
  • Om z=a+bi,a=Re(z) och b=Im(z)
  • Konjugat: z=a+bi\Rightarrow\bar{z}=a-bi
  • Regler:
    • \bar{\bar{z}}=z
    • \overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}
    • \overline{z_1\times{z_2}}=\overline{z_1}\times{z_2}
  • Absolut belopp: \mid{z}\mid=\mid\overline{z}\mid=\sqrt{z\overline{z}}=\sqrt{a^2+b^2}\text{ om }z=a+bi
  • Triangelsformeln: \mid{z_1+z_2}\mid\leq\mid{z_1}\mid+\mid{z_2}\mid
  • Ex: \begin{align}z_1=2+3i\\z_2=2-i\\\\z_1+z_2=(2+3i)+(2-1)\\=4+2i\\\overline{z_1+z_2}=4-2i\\\overline{z_1}=2-3i,\;\overline{z_2}=2+i\\\overline{z_1}+\overline{z_2}=2-3i+2+i\\=3-2i\\\\z_1\times{z_2}=(2+3i)(2-i)\\=4-2i+6i-3i^2\\=4+4i+3\\=7+4i\\\overline{z_1\times{z_2}}=7-4i\\\overline{z_1}=2-3i,\;\overline{z_2}=2+i\\\overline{z_1}\times\overline{z_2}=(2-3i(2+i)\\=4+2i-6i-3i^2\\=4-2i+3\\=7-4i\end{align}
  • Ex 2: \begin{align}z=a+bi\\\overline{z}=a-bi\\z\times\overline{z}=(a+bi)(a-bi)\\=a^2-\left(bi\right)^2\\=a^2-b^2i^2\\=a^2+b^2\end{align}
  • Ex 3: \begin{align}\mid{z_1+z_2}\mid=\mid4+2i\mid\\=\sqrt{4^2+2^2}\\=\sqrt{16+4}=2\sqrt{5}\\\mid{z_1}\mid=\mid2+3i=\sqrt{2^2+3^2}\\=\sqrt{13}\\\mid{z_2}\mid=\mid2-i\mid=\sqrt{2^2+(-i)^2}=\sqrt{5}\end{align}
  • Ex 4: \begin{align}\frac{z_1}{z_2}=\frac{2+3i}{2-i}\\=\frac{2+3i}{2-i}\times\frac{2+i}{2+i}\\=\frac{4+2i+6i+3i^2}{2^2-i^2}\\=\frac{1+8i}{5}\\=\frac{1}{5}+\frac{8}{5}i\end{align}
• Grafer
  • !
  • !
• Polär form
  • Eulers formel: e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta
  • Varje komplex tal z=x+yi kan skrivas på pol'r form som z=re^{i\theta} där r=\sqrt{x^2+y^2} och arg(z)=\theta är så att \cos\theta=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\text{ och }\sin\theta=\frac{y}{x^2+y^2}
  • de Moivre: z=re^{i\theta}\Rightarrow z^n=r^ne^{in\theta}=r^n(\cos(n\theta)+i\sin(n\theta))
  • Ex: Lös z^3=1+i\sqrt3 \begin{align*}1+i\sqrt3=n_\circ e^{i\theta}, \theta\in\left[0,2\pi\right)\\n_\circ=\sqrt{1^2+\left(\sqrt3\right)^2}=2\\\theta\in\left[0,2\pi\right)\text{ uppfyller}\\\cos\theta=\frac12,\sin\theta=\frac{\sqrt3}2\\\Rightarrow\theta=\frac\pi3\\z^3=1+i\sqrt3=2e^{i\frac\pi3}\\\text{Låt }z=n_1e^{i\phi}\\\text{Då är }z^3=n_1^3e^{i3\phi}\\\Leftrightarrow\left\{\begin{aligned}n_1^3=2,n\in\mathbb{R}\\e\phi=\frac\pi3+2\pi{k},k\in\mathbb{Z},\phi\in\left[0,2\pi\right)\end{aligned}\right.\\\Leftrightarrow\left\{\begin{aligned}n_1=\sqrt[3]{2}\\\phi=\frac\pi9+\frac{2\pi k}{3},k=0,1,2\end{aligned}\right.\\k=0:\;\phi=\frac\pi9+\frac{2\pi}3\times0=\frac\pi9\\k=1:\;\phi=\frac\pi9+\frac{2\pi}3=\frac{7\pi}9\\k=2:\;\phi=\frac\pi9+\frac{2\pi}4\times2=\frac{13\pi}9\end{align*}
  • Ex 2: \begin{align}z=-\frac{\sqrt3}{2}+\frac{1}{2}i\\z=ne^{i\theta}\\n=\sqrt{\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2}=1\\\theta\text{ är så att }\cos\theta=\frac{\sqrt{3}}{2},\sin\theta=\frac{1}{2}\\\text{En lösning}:\theta=\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}\\\text{Alla lösningar}:\theta=\frac{5\pi}{6}+2\pi{n},n\in\mathbb{Z}\\z=e^{i\left(\frac{5\pi}{6}+2\pi{n}\right)},n\in\mathbb{Z}\\\text{Svar: }z=e^{i\frac{5\pi}{6}}\end{align}
• Polynom
  • Theorem: Algebrans huvudsats: Polynomet$p(z)=c_nz^n+c_{n-1}z^{n-1}\dots+c_0,\;c_k\in\mathbb{C}$har en rot i \mathbb{C}. D.v.s det finns en z_1\in\mathbb{C} så att p(z_1)=0.
  • Faktorsats: p(z)=(z-z_1)q(z)
  • Theorem: Polynomet ovan kan skrivas som p(z)=c_n(z-z_1)\dots(z-z_n). Alla polynom har n komplexa rötter (och faktorer).
  • Theorem: Polynom med reella koefficienter:$p(x)=a_nz^n+a_{n-1}z^{n-1}\dots+a_0,;a_k\in\mathbb{R}$. Om z_0 är en rot så är $\overline{z_0}$
  • Ex: \begin{align}p(z)=3z^3-7z^2+17z-5\\p(1+2i)=0\\\text{Polynomet har reella koefficienten. även konjugatet 1-2i är en rot.}\\\text{Enlight faktorsatsen}\\p(z)=(z-1-2i)(z-1+2i)q(z)\\\text{för något polynom }q(z)\\p(z)=\left(\left(z-1\right)^2-\left(2i\right)^2\right)q(z)\\=\left(z^2-2z+1+4\right)q(z)\\=\left(z^2-2z+5\right)q(z)\\\text{Polynomdivision: }\\\frac{3z-1}{z^2-2z+5}\\p(z)=\left(z-1-2i\right)\left(z-1+2i\right)\left(3z-1\right)\\\text{Rötter: }1+2i,1-2i,\frac13\end{align}