Analys-och-Linj-r-algibra/Matrisgeometri (Kap 5).md

OBS: En m\times{n} matris kan tänkas bestå av n stycken m\times1 kolumnerA=\begin{bmatrix}a_{11}&1_{12}&\dots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\dots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\dots&a_{mn}\end{bmatrix}\Rightarrow A=\begin{bmatrix}|&|&\dots&|\\\overrightarrow{a_1}&\overrightarrow{a_2}&\dots&\overrightarrow{a_m}\\|&|&\dots&|\end{bmatrix} EX: A=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}\Rightarrow\overrightarrow{a_1}=\begin{bmatrix}1\\5\end{bmatrix},\;\overrightarrow{a_2}=\begin{bmatrix}2\\5\end{bmatrix},\;\overrightarrow{a_3}=\begin{bmatrix}3\\6\end{bmatrix} OBS (fortsätning): Transponaten av en matris lyfter rader mot kolumner och kolumner mot raderA^T=\begin{bmatrix}\textemdash&\overrightarrow{a_1}^T&\textemdash\\\textemdash&\overrightarrow{a_2}^T&\textemdash\\&\vdots\\\textemdash&\overrightarrow{a_m}^T&\textemdash\end{bmatrix}\;\;\begin{aligned}\text{EX: }A=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}\Rightarrow A^T=\begin{bmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{bmatrix}\\\Rightarrow \overrightarrow{a_1}^T=\begin{bmatrix}1&4\end{bmatrix},\;\overrightarrow{a_2}^T=\begin{bmatrix}2&5\end{bmatrix},\;\overrightarrow{a_3}^T=\begin{bmatrix}3&6\end{bmatrix}\end{aligned} OBS: Vad händer om vi har två 3\times1 kolumnmatriser \overrightarrow{a}=\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix},\overrightarrow{l}=\begin{bmatrix}7\\8\\9\end{bmatrix}

[Fyll i från Föreläsning 02/26]

OBS: Låt \overrightarrow{u_1},\;\overrightarrow{u_2},\;\dots,\;\overrightarrow{u_k} vara några vektorer i \mathbb{R}^m. Mängden består av alla möjliga linjära kombinatoner av dessa k vektorer kallas det linjära höjdet av \overrightarrow{u_1},\;\overrightarrow{u_2},\;\dots,\;\overrightarrow{u_k}. EX: \begin{aligned}\text{Vad är höjdet av }\overrightarrow{u_1}=(a,2,0)\text{ och }\overrightarrow{u_2}=(-2,1,0)\text{ i }\mathbb{R}\\\\\text{En vektor }\overrightarrow{v}=(v_1,v_2,v_3)\text{ är en linjär kobminatiom av }\overrightarrow{u_1}\text{ och }\overrightarrow{u_1}\text{ om}\\\overrightarrow{v}=\lambda_1\overrightarrow{u_1}+\lambda_2\overrightarrow{u_2}\\\\(v_1,v_2,v_3)=\lambda_1\times(1,2,0)+\lambda\times(-2,1,0)\Rightarrow\\(v_1,v_2,v_3)=(\lambda_1-2\lambda_2,2\lambda_1+\lambda_2,0)\Rightarrow v_3=0\\\\\text{Om vi är givna }v_1,v_2\text{, går det att lösa ut }\lambda_1,\lambda_2?\\\\\begin{aligned}v_1=\lambda_1-2\lambda_2\\v_2=2\lambda_1+\lambda_2\end{aligned}\leftrightarrow\begin{aligned}\text{Vilken matris står}\\\text{bakom detta ekvationssystemet}\end{aligned}\\\leftrightarrow\begin{bmatrix}1&-2\\2&1\end{bmatrix}\Rightarrow\det\left(\begin{bmatrix}1&-2\\2&1\end{bmatrix}\right)=5\neq0\\\leftrightarrow\text{Den här matrisern har en invers}\\\Rightarrow\text{Det fins ingen begränsning för }v_1\text{ och }v_2\\\\\text{Slutsats: Vilka vektorer $\overrightarrow{v}$ kan skrivas som en linjär kombination av $\overrightarrow{u_1}$ och $\overrightarrow{u_2}$?}\\\text{Alla vektorer $\overrightarrow{v}$ med $v_3=0$. (Det linjära höjden av $\overrightarrow{u_1}$ och $\overrightarrow{u_2}$ består av alla}\\\text{ vektorer}\overrightarrow{v}\text{ med $v_3=0$)}\end{aligned} EX: \begin{aligned}\overrightarrow{v}=(4,5,6)\Rightarrow\text{ Går INTE att skriva som }\lambda_1\overrightarrow{u_1}+\lambda\overrightarrow{u_2}\\\overrightarrow{v}=(4,5,0)\Rightarrow\text{ Går att skriva som }\lambda_1\overrightarrow{u_1}+\lambda\overrightarrow{u_2}\end{aligned} DEF: Låt A vara en m\times{n} matris. Det linjära höjdet av matriserns kolumnmatrisen kallas för kolunrummet. Antalet linjär oberoende kolumnmatriser kallas för matrisens rang (\operatorname{rang}(A)) och är lika med antaliet pivåvariabler i gauss schemat $\begin{pmatrix}A&|&\overrightarrow{o}\end{pmatrix}$ DEF: Det linjära höjdet av lösningarna av ekvationssystemet A\overrightarrow{x}=\overrightarrow{0} kallas för matrisens kärna (kärnrum). Antalet linjära oberoende vektorer ibland lösningar till A\overrightarrow{x}=\overrightarrow{0} kallas för matrisens nolldimension $\operatorname{noll}(A)$m och är lika med antalet fira variablar i gauss schema $\begin{pmatrix}A&|&\overrightarrow{o}\end{pmatrix}$ EX: \begin{aligned}\text{Betrakta }A=\begin{bmatrix}1&-1&1\\1&-1&-3\\2&-2&-2\end{bmatrix}.\text{Kolumnrum? Kärna? Rang? Nolldimension?}\\\begin{pmatrix}1&-1&1&|&0\\1&-1&-3&|&0\\2&-2&-2&|&0\end{pmatrix}\begin{aligned}R_2-R_1\rightarrow{R_2}\\R_3-2R_1\rightarrow{R_3}\\\xrightarrow{}\end{aligned}\begin{pmatrix}1&-1&1&|&0\\0&0&-4&|&0\\0&0&-4&|&0\end{pmatrix}\begin{aligned}R_3-R_2\rightarrow{R_3}\\\xrightarrow{}\end{aligned}\\\begin{pmatrix}1&-1&1&|&0\\0&0&-4&|&0\\0&0&0&|&0\end{pmatrix}\begin{aligned}-\frac14R_2\rightarrow{R_2}\\\xrightarrow{}\end{aligned}\begin{pmatrix}1&-1&1&|&0\\0&0&1&|&0\\0&0&0&|&0\end{pmatrix}\\\Rightarrow\begin{aligned}2\text{ pivåvariablar }\Rightarrow\operatorname{rang}(A)=2\\1\text{ fri variabel }\Rightarrow\operatorname{noll}(A)=1\end{aligned}\\\text{kolumnrummet är det höjdet av }\begin{bmatrix}1\\1\\2\end{bmatrix}\text{ och }\begin{bmatrix}1\\-1\\-2\end{bmatrix}\\\text{För att bestäma kärnan behöver vi lösa ekvationen i systemet }A\overrightarrow{x}=\overrightarrow{0}\\\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}\text{ Löser ekvationstsystemet om: }\begin{aligned}1\times z=0\\z=0\end{aligned}\;|\;\begin{aligned}y=t\\\text{Fri variable}\end{aligned}\;|\;\begin{aligned}x-y+z=0\\x=t\end{aligned}\;=\\\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}t\\t\\0\end{bmatrix}=t\times\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix}\Rightarrow\text{matrisens kärna är det linjära höjden av }\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix}\end{aligned} SATS: (DIMENSIONSSATS). Låt A vara en m\times{n} matris. Då gäller det att \operatorname{rang}(A)+\operatorname{noll}(A)=m. BEVIS:

• \operatorname{rang}(A) ... antalet pivåvariabler i $\begin{pmatrix}A&|&\overrightarrow{o}\end{pmatrix}$
• \operatorname{noll}(A) ... antalet fria variabler i $\begin{pmatrix}A&|&\overrightarrow{o}\end{pmatrix}$ *Nör vi uppnår trappformen i gauss shcemat, då har varje kolomn antingen en ledande etta (pivåvariabel) eller inte (fri variabel). Det fins ingen tredhe möjlighet. Men då: *\operatorname{rang}(A)+\operatorname{noll}(A)=m OBS:
• Om vi har ett exakt bestämnd ekvations system, då har ekvationssystemet A\overrightarrow{x}=\overrightarrow{h} en entydig lösning prisis när \operatorname{rang}(A)=m och \operatorname{noll}(A)=0. (Exakt bestämnd \Leftrightarrow{A} är m\times{n})
• Om vi har ett över-bestämnd system (dvs. A är m\times{n} med m>n) då har vi en entydlig-lönsing om \operatorname{ranf}(A)=m och $\operatorname{noll}(A)=m-n$
• Om vi har ett under-bestämt system (dvs. A är en m\times{n} matris med m<n, Då har vi aldrig en entydlig-lösning ty att $\operatorname{rang}(A)<n$ OBS: För exakt-bestämnda system har vi determinanten också.$$\begin{aligned} \begin{aligned} \text{Ekvationsystemet}\ A\overrightarrow{x}=\overrightarrow{l}\text{ har en}\ \text{entydlig lösning} \end{aligned}&\Leftrightarrow&\operatorname{rang}(A)=m&\Leftrightarrow&\begin{aligned} \text{alla variabler}\ \text{är}\ \text{privåvariablar} \end{aligned}&\Leftrightarrow&\begin{aligned} \text{matrisens kolomner}\ \text{är linjärt oberoende} \end{aligned}\ \Updownarrow\ \overrightarrow{x}=A^{-1}\overrightarrow{l}&\Leftrightarrow&\begin{aligned} \text{matreisen }A\ \text{har en invers} \end{aligned}\ \Leftrightarrow\det(A)\neq0 \end{aligned}$$