Analys-och-Linj-r-algibra/ODE.md

ODE \Longleftrightarrow Ordinära differentialekvation PDE \Longleftrightarrow Partiell differentialekvation

• Separabel ODE

• Linjär ODE av ordning 1

• Linjär ODE av ordning 2 med konstant koefficienter

• Ex: Newtons lag m\frac{d^2}{df^2}\stackrel{\rightarrow}{s}(t)=\stackrel{\rightarrow}{F}(t)

• Ex: PDE Maxwellsekvation, Schrödingerekvation \begin{align}\text{Okänd funktion }y(x)\\\text{ODE: }F\left(x,y(x),y'(x),\dots,y^{(n)}(x)\right)=0\\\text{Ording: }n\end{align}

• Ex: ODE av ordning 3: xy'''(x)+x^{1/4}y'(x)+\left(y(x)\right)^2=7x+3

• Linjär ODE

  • \begin{align}a_n(x)y^{(x)}(x)+\dots+a_1(x)y'(x)+a_0(x)y(x)=h(x)\\a_k\text{ är funktionen av }x\end{align}
  • Ex: \begin{align}\sqrt{x}y''+\frac1xy'+\pi{y}=e^x\_\_(\star)\\\text{Om }y_{_1}\&y_{_2}\text{ uppfylen}\\\sqrt{x}y''+\frac1xy'+\pi{y}=0\_\_(1)\\\text{så är }\alpha{y_1}+\beta{y_2},\;\alpha,\beta\in\mathbb{R}\text{ också lösning till }(1)\end{align}
  • (\star) är en linjär ODE
    • Ex: yy'=x+2: Icke-linjär
    • Ex: \left.\begin{aligned}y'+\underline{\sqrt{y}}=x+2\\\underline{\sqrt{y'}}+y=2x+3\end{aligned}\right\}: Icke-linjär
    • Ex: \underline{e^y}+\underline{\sin y}+y'=0: Icke-linjär
    • Ex: (\sin x)y'+\sqrt{x}=\pi: Linjär
  • Ex: \begin{align}5y''=x+\sin x\\\Leftrightarrow y''=\frac15(x+\sin x)\\\text{Integrera m.a.p. }x\\y'=\frac15\int(x+\sin x)dx=\frac15\left(\frac{x^2}2-\cos x\right)+C\\y=\int\left(\frac15\left(\frac{x^2}2-\cos x\right)+C_1\right)dx\\=\frac15\left(\frac{x^3}6-\sin x\right)+C_1x+C_2\\\text{där }C_1,C_2\text{ är konstanter}\end{align}

• $\begin{align}\text{ODE: }g(y)y'=h(x)\\\text{Lösning: }g(y)y'=h(x)\\g(y)y'dx=h(x)dy\\\int g(x)dy=\int h(x)dx\\G(y)=H(x)+C\end{align}$Där G är primitiv till g och H är primitiv till h

• Ex: \begin{align}y^2y'=x\sqrt{y}\;\;\left.\begin{aligned}\text{Icke-kin.}\\\text{ODE av}\\\text{ordning 1}\end{aligned}\right.\\\text{för }y\not\equiv0\\y^2y'=2x\sqrt{y}\\\Leftrightarrow\frac{y^2}{\sqrt{y}}y'=2x\Leftrightarrow y^{3/2}y'=2x\\\text{Integrera m.a.p. x}\\\int y^{3/2}y'dx=\int 2xdx\\\Leftrightarrow\int y^{3/2}dy=\cancel{2}\frac{x^{1+1}}{\cancel{1+1}}+C\\\Leftrightarrow y^{5/2}=\frac52\left(x^2+C\right)\\\Rightarrow y=\left[\frac52\left(x^2+C\right)\right]^{}2/5,C\in\mathbb{R}\\\text{Om }y(x)=0\;\forall{x}\in\mathbb{R},\text{ så är }y'(x)=0\\\left.\begin{aligned}\text{VL: }y^2y'?0^2\times0=0\\\text{HL: }2x\sqrt{y}=2x\times+=0\end{aligned}\right\}\;\;y(x)=0\text{ är en lösning}\\\underline{\text{Svar}}:y(x)=\left[\frac52\left(x^2+C\right)\right]^{2/5},\;x\in\mathbb{R}\\\text{eller }y(x)=0\end{align}

• Initialvärdersproblem

  • Ex: Lös IVP \begin{align}y^2y'=2x\sqrt{y},\;\;y(1)=1\\\underline{\text{Lösn}}:y=\left[\frac52\left(x^2+C\right)\right]^{2/5}\text{ eller }y=0\\y=0\text{ uppfyller inte vilkor }y(1)=1\\y(1)=1\\\Leftrightarrow\left[\frac52\left(1^2+C\right)\right]^{2/5}=1\\\Leftrightarrow\left[\frac52(10C)\right]^2=1^5=1\\\Leftrightarrow\frac52(1+C)=\pm1\\\Leftrightarrow1+C=\pm\frac25\Leftrightarrow\left\{\begin{aligned}-1+\frac25\\-1-\frac25\end{aligned}\right.\\\Leftrightarrow C=\frac{-3}5\text{ eller }\frac{-7}5\\\underline{\text{svar}}:y=\left[\frac52\left(x^2-\frac35\right)\right]^{2/5}\text{ eller}\\y=\left[\frac52\left(x^2-\frac75\right)\right]^{2/5}\end{align}