Analys-och-Linj-r-algibra/Ekvations System.md

Def: Ett linjärt ekvationssystem med reella koefficienter är en samling av m stycken ekvationer, där:

• Varje ekvation innerhåller som m'st $m$-stycken variabler, och hat gemmesamma vatiabler för alla ekvationer
• Varje vatiable förekommer om en första ordning moam $(x,;4x,;-3y,\cancel{x^2},;\cancel{xy})$
• En konstant term $(e,;0,;-5,;\cancel{2+i})$ Ex: \begin{align}x_1-2x_2+3x_3=0\\x_1-x_4=-2\\\\\cancel{{x_1}^2}-2\cancel{x_2x_5}=0\\\cancel{\sin(x_1)}-x_4=\cancel{-2+}3i\end{align} *Ett allmänt linjär ekvationssystem med reella koefficienter herstamade av m stycken ekvationer och m stycken variablar ser ut så här: *\left.\begin{align}a_{11}x_1+a_{12}x_2+\dots+a_{1m}x_n=b_1\\a_{21}x_1+a_{22}x_2+\dots+a_{2n}x_n=b_2\\\vdots\\a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\dots+a_{mn}x_n=b_m\end{align}\right\}\begin{aligned}m\times{n}\text{ stycken koeffiencer }(a_{ij})\\m\text{ stycken koeffienter }(b_i)\end{aligned} Ex: \begin{align}x_1-2x_2-3x_3=0\\x_1-x_4=-2\\\Leftrightarrow x1_2-x_2-3x_3+0x_4=0\\x1+0x_2+0x_3-x_4=-2\\\end{align} Def: En m\times{n} matris med rella koeffienter är en samling av m\times{n} stycken rella tal i en rektagulär schema med m rader och n koefiencer A=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\dots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\\a_{m1}&a_{m2}&\dots&a_{mn}\end{bmatrix}\leftarrow m\times{n}\text{ matris} *Variablar till häramde ett ekvationssystem samlas i en n\times1 matris \overrightarrow{x} (också kallad för en kolomnvektor), och en koefficienterma b_i som utgöt HL av en ekvationssystemet samlas i m\times1 matris $\overrightarrow{b}(ett annat kolonnvektor)*\overrightarrow{x}=\left[\begin{align}x_1\\x_2\\x_3\\\vdots\;\\\vdots\;\\x_n\end{align}\right]\;\;\;\overrightarrow{b}=\left[\begin{aligned}b_1\\b_2\\\vdots\;\\\vdots\;\\b_m\end{aligned}\right]$

Ex: \begin{aligned}x_1-2x_2-3x_x=0\\x_1-x_4=-2\\\\A=\begin{bmatrix}1&-2&-3&0\\1&0&0&-1\end{bmatrix}\\\overrightarrow{x}=\left[\begin{aligned}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{aligned}\right]\;\;\;\overrightarrow{b}=\left[\begin{aligned}0\\-2\end{aligned}\right]\end{aligned}

• Def: Ett gauss schema är en sammling av A, och \overrightarrow{b} som tillhör ett ekvastions system:\left(A\mid\overrightarrow{b}\right)=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}&|&b_1\\a_{21}&a_{22}&\dots&a_{2n}&|&b_2\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&|&\vdots&\\a_{m1}&a_{m2}&\dots&a_{mn}&|&b_m\end{pmatrix}
  • Ett Jauss Schema (tillhörande ett ekvationssystem) har refuserats till sin trappform om följande gäller
    • Varje rad börjar med en etta på $VL$(kallas för ledande etta), eller så är alla elementen på VL lika med $0$
    • Varje successivt rad börjar med en etta minst en kolumn senare, eller så är alla element på VL lika med $0$
  • Ur trappform kan vi läsa av ekvationssystemets egenskaper
    1. Varje rad som har en ledande etta bestämmer en pivåvariabel - det är den variabeln som motsvarar kolumnen där ledande ettan befiner sig. Variabeln som inte har en motsvarande ledande etta är fria variabler
    2. Ett ekvationssystem har:
       • En entydlig lösning: Alla variablar är privåvariabler
       • Oändligt många lösningar: Mist en fri variable
       • Saknar lösning: Om vi har en rad i trappformen där alla element på VL är 0, medans HL är nollställen
  • Ett ekvations system är antigen
    • Exakt-bestämnd: Lika många ekvationer som variabler
    • Över-bestämnd: Mera ekvationser än variabler
    • Under-bestämnd: Mindre ekvationser än variablar
• Ex:
  1. Exakt bestämd system/Entydlig lösning\begin{aligned}\begin{aligned}x-2y+z&=&3\\2x+y&=&1\\3y+2z&=&2\end{aligned}\Rightarrow\begin{pmatrix}1&-2&1&|&3\\2&-1&0&|&1\\0&3&2&|&2\end{pmatrix}\\\begin{aligned}\frac12R_2\rightarrow{R_2}\\\xrightarrow{}\end{aligned}\begin{pmatrix}1&-2&1&|&3\\1&-\frac12&0&|&\frac12\\0&3&2&|&2\end{pmatrix}\begin{aligned}R_2-R_1\rightarrow{R_2}\\\xrightarrow{}\end{aligned}\begin{pmatrix}1&-2&1&|&3\\0&\frac32&-1&|&-\frac52\\0&3&2&|&2\end{pmatrix}\\\begin{aligned}\frac32R_2\rightarrow{R_2}\\\xrightarrow{}\end{aligned}\begin{pmatrix}1&-2&1&|&3\\0&1&-\frac23&|&-\frac53\\0&3&2&|&2\end{pmatrix}\begin{aligned}R_3-3R_2\rightarrow{R_3}\\\xrightarrow{}\end{aligned}\begin{pmatrix}1&-2&1&|&3\\0&1&-\frac23&|&-\frac53\\0&0&4&|&7\end{pmatrix}\\\begin{aligned}\frac14R_3\rightarrow{R_3}\\\xrightarrow{}\end{aligned}\begin{pmatrix}1&-2&1&|&3\\0&1&-\frac23&|&-\frac53\\0&0&1&|&\frac74\end{pmatrix}\end{aligned}
     • Vi hat nu bekräftat att ekvations systemet har en entydlig lösning\begin{aligned}1\times{z}=\frac74\Longrightarrow{z=\frac74}\\1\times{y}-\frac23z=-\frac53\Rightarrow{y}=\frac23z-\frac53=\end{aligned}
  2. Exakt-bestämnd system/oändliga lösningar\begin{aligned}\begin{aligned}x-2y+z&=&3\\2x-2y&=&1\\3x-4y+z&=&4\end{aligned}\Rightarrow\begin{pmatrix}1&-2&1&|&3\\2&-2&0&|&1\\3&-4&1&|&4\end{pmatrix}\begin{aligned}R_2-2R_1\rightarrow{R_2}\\R_3-3R_1\rightarrow{R_3}\\\xrightarrow{}\end{aligned}\begin{pmatrix}1&-2&1&|&3\\0&2&-2&|&-5\\0&2&-2&|&-5\end{pmatrix}\\\begin{aligned}R_3-R_2\rightarrow{R_3}\\\xrightarrow{}\end{aligned}\begin{pmatrix}1&-2&1&|&3\\0&2&-2&|&-5\\0&0&0&|&0\end{pmatrix}\begin{aligned}\frac12R_2\rightarrow{R_2}\\\xrightarrow{}\end{aligned}\begin{pmatrix}1&-2&1&|&3\\0&1&-1&|&-\frac52\\0&0&0&|&0\end{pmatrix}\Rightarrow\\\begin{aligned}\text{Vi har två pivåvariabler $x$ och $y$, och en fri variabel, $z$. Vi har altså oändligt många lösningar.}\end{aligned}\end{aligned}
     • Eftersom z är en fri variabler kan z=t, och t\in\mathbb{R}. sampt \begin{aligned}y-z=-\frac52\Rightarrow{y}=z-\frac52=t-\frac52\\x-2y+z=3\Rightarrow{x}=2y-z+3=2\left(t-\frac52\right)-t+3=t-2\\\end{aligned}
  3. Exakt-bestämnd system/Saknar lösningar \begin{aligned}\begin{aligned}x-3y+2z&=&3\\x-2y&=&2\\2x-5y+2z&=&4\end{aligned}\Rightarrow\begin{pmatrix}1&-3&2&|&3\\1&-2&2&|&2\\2&-5&2&|&-4\end{pmatrix}\begin{aligned}R_2-R_1\rightarrow{R_2}\\R_3-2R_1\rightarrow{R_3}\\\xrightarrow{}\end{aligned}\begin{pmatrix}1&-3&2&|&3\\0&1&0&|&-1\\0&1&-2&|&-2\end{pmatrix}\\\begin{aligned}R_3-R_2\rightarrow{R_3}\\\xrightarrow{}\end{aligned}\pmatrix{1&-3&2&|&3\\0&1&2&|&-1\\0&0&0&|&-1}\end{aligned}
     • OBS Rad 2 och 3 säger att det skall vara -2 medans de int har samma VL, detta går inte! samt säger det $0x+0y+0z=-1\Leftrightarrow{0=-1}$
• Ex: \begin{aligned}\begin{aligned}x_1-2x_2-3x_x&=&0\\x_1-x_4&=&-2\end{aligned}\\\\\Rightarrow\begin{pmatrix}1&-2&-3&0&|&0\\1&0&0&-1&|&-2\end{pmatrix}\end{aligned}
• Ex: \left.\begin{aligned}x+2y-u+3v&=&2\\2x+3y+2z-2u+10v&=&0\\x+3y-2z-4u+2v&=&3\\\underbrace{-x-3y+2z+3u-v}_{\substack{\text{VL $4\times5$}\\\text{=20 platser i schemat}}}&=&\underbrace{-4}_{\substack{\text{HL $4$}\\\text{ platser}}}\\\end{aligned}\right.\Rightarrow\left(a\mid\overrightarrow{b}\right)=\begin{pmatrix}1&2&0&-1&3&|&2\\2&3&2&-2&10&|&0\\1&3&-2&-3&2&|&3\\-1&-3&2&3&1&|&-4\end{pmatrix} Hur räknar man med ett gauss schema? Man räknar med hjälp av elemäntera radoperationer:
• Radbyte: Vi byter plats på alla element i raderna i och j : $R_i\leftrightarrow{R_j};;\left(R_1\leftrightarrow{R_3}\right)$
• Radmultiplikation: Vi multiplicerar alla ellement i raden i med en och samma nollstild tal \lambda\in\mathbb{R}: $\lambda\times{R_i}\rightarrow{R_i};;\left(2R_1\leftarrow{R_1}\right)$
• Radaddition: Vi adderar till varje element i raden i en $\lambda$-mutipel av motsvarande element från raden j: $R_i+\lambda{R_j}\rightarrow{R_1};;\left(R_1-3R_2\rightarrow{R_1}\right)$ Ex: \left(\begin{aligned}1\;-2\;3\;\;\;\;\;0:\;\;\;0\\1\;\;\;\;\;0\;0\;-1:-2\end{aligned}\right).\;\;R_2-R_1\rightarrow{R_2}\left(\begin{aligned}1\;-2\;-3\;\;\;\;\;0:\;\;\;0\\0\;\;\;\;\;2\;\;\;\;\;3\;-1:-2\end{aligned}\right).\;\;\frac12R_2\rightarrow{R_2}\left(\begin{aligned}1\;-2\;-3\;\;\;\;0\;\;:\;\;\;0\\0\;\;\;\;\;1\;\;\;\;\;\frac32\;\frac{-1}2:-1\end{aligned}\right) Ex: \begin{pmatrix}1&2&0&-1&3&|&2\\2&3&2&-2&10&|&0\\1&3&-2&-4&2&|&3\\-1&-3&2&2&-4&|&-4\end{pmatrix}\left.\begin{aligned}R_2-2R_1\rightarrow{R_2}\\R_3-R_1\rightarrow{R_3}\\\xrightarrow{}\\R_4+R_1\rightarrow{R_4}\end{aligned}\right.\begin{pmatrix}1&2&0&-1&3&|&2\\0&-1&2&0&4&|&-4\\0&1&-2&-3&-1&|&1\\0&-1&2&2&2&|&-2\end{pmatrix}