Analys-och-Linj-r-algibra/Maclaurin.md

• Def: Om f har kontinuerliga derivator till och med orning n+1 i en omgivning \left(-\epsilon,\epsilon\right), då gäller för $x\in\left(-\epsilon,\epsilon\right), och $0\leq\theta\leq1$ f(x)=f(0)+\frac{f'(0)}{1!}x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\dots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+\frac{f^{(n+1)}(0)}{(n+1)!}x^{n+1}
• Def: Maclaurinpolynom av ordning n för f: P_{f,n}(x)=f(0)+\frac{f'(0)}{1!}x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\dots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n
• Ordo form: f(x)=\sum^n_{i=0}\frac{f^{(i)}(0)}{i!}x^i+\frac{O(x^{n+1})}{ordo} Ordo form: O(x^{n+1})=x^{n+1}B_{n+1}(x) där B_{n+1} är begränsad
• Ex: \begin{align}f(x)=\sin2x\\\text{Bestäm Maclarin Polynom till }f\text{ av ordning 4}\\\underline{\text{Lösn}}:\;f(x)=\sin2x\Rightarrow f(0)=0\\f'(x)=2\cos2x\Rightarrow f'(0)=2\\f''(x)=-4\sin2x\Rightarrow f''(0)=0\\f'''(x)=-8\cos2x\Rightarrow f'''(0)=-8\\f''''(x)=-8\cos2x\Rightarrow f''''(0)=0\\\text{Maclarin Polynomet ordning 4:}\\P_{f,4}(x)=f(0)+\frac{f'(0)}{1!}x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f'''(0)}{3!}x^3+\frac{f''''(0)}{4!}x^4\\=0+\frac21x+\frac02x^2-\frac86x^3+\frac0{24}x^4\\=2x-\frac43x^3\\\text{Felet: }R_5(x)=\frac{f'''''(\theta x)}{5!}x^5=\frac{32\cos2(\theta x)}{120}x^5\\\text{sum}: \mid{R_5(x)}\mid=\frac{32\mid\cos{2\theta x}\mid}{120}\mid{x}\mid^5\leqslant\frac4{15}\mid{x}\mid^5\\\text{Till ex, }\mid{R_5\left(10^1\right)}\mid\leqslant\frac4{15}\times10^{-5}\end{align}
• **
• Taylors forml
  • Def: Om f har kontonuerliga derivator till och med ordning n+1 i en omgiving \left(a-\theta,a+\theta\right), då gäller för x\in\left(a-\theta,a+\theta\right) och \xi mellan a och $x$ f(x)=f(a)+\frac{f'(a)}{1!}(x-a)+\dots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n+\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{x+1}
  • Def: Taylorpolynom av ording n för f:P_{f,n}(x)=f(a)+\frac{f'(a)}{1!}(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\dots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n
  • Rest: R_{n+1}=\frac{f^{n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}=(x-1)^{n+1}B_{n+1}(x) där B_{n+1} är en begränsad funktion nära $a$
• L'Hôpitals regel
  • Om f(a)=0=g(a), f,g är deriverbara på $a,g'(a)\neq0$ \begin{align}\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f(x)+f'(a)(x-a))+(x-a)^2B_2(x)}{g(a)+g'(a)(x-a)+(x-a)^2\bar{B}_2(x)}\\=\lim_{x\to a}\frac{\cancel{(x-a)}(f'(a)+(x+a)^2B_2(x))}{\cancel{(x-a)}(g'(a)+(x-a)\bar{B}_2(x))}\\=\frac{f'(a)}{g'(a)}\left(B_2,\bar{B}_2\text{ är begränsade funktioner}\right)\end{align}
  • Regel: \begin{align}\left[\begin{aligned}\frac00\end{aligned}\right]\text{ eller }\left[\begin{aligned}\frac\infty\infty\end{aligned}\right]\text{ form}\\\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}\end{align}