Analys-och-Linj-r-algibra/Determinanter (Kap. 6).md

DEF: *En Determinant fins bara för kvadratiska matriser, t.ex: Låt A vara en m\times{n} matris. Denna matrisens determinant \det(A) är det realla talet man får: *\det(A)=\sum_{\sigma\in{S_n}}\operatorname{sgn}(\sigma)a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\dots{a_{n\sigma(n)}}

• Där S_n mängden av alla penmutationer (samordningar) av talen $1,;2,;\dots,;n$
• \sigma är en permutation av talen $1,;2,;\dots,;n$
• \operatorname{sgn}(\sigma) är antigen +1 eller -1, beroende på antalet parytor som skiljer \sigma från den vanliga ordningen EX $$\begin{aligned} \text{Om vi har en 5\times5 matris, då finns 5!=120 sätt att omordna talen }1,;2,;3,;4,;5\ \text{Hur ser det termerna som motsvarar omordingen }\sigma=3-1-5-4-2. \text{iså fall är:}\ sgn(\sigma)a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}a_{3\sigma(3)}a_{4\sigma(4)}a_{5\sigma(5)}=\underbracket{(-1)}\times a_{1\fbox{3}}a_{2\fbox{1}}a_{3\fbox{5}}a_{44}a_{5\fbox{2}} \end{aligned}$$ \operatorname{sgn}: Refererar till jämnt eller ojämt antal byten för att nå standerd ordning,

int sgn(int sigma_diff)
{
	return sigma_diff%2==0?1:-1;
}

EX: \begin{aligned}\text{Vad är determinaten av $2\times2$ matrisen } A=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}.\\\text{Det finns bata två sätt att omordna $1,\;2$: }1-2,\fbox{2}-\fbox{1}.\\\Rightarrow\text{determinatens summa har i det här fallet endast 2 termer}:\\\det(A)=\underbracket{+1}\times{a_{11}}\times{a_{22}}+\underbracket{-1}\times{a_{12}}\times{a_{21}}\\=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\end{aligned} EX: \begin{aligned}\text{Vad är determinaten av $3\times3$ matrisen }\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}\\\text{Vad är dem 6 sätt att omordna?}\\\left.\begin{matrix}1-2-3&:&\operatorname{sgn}:&+1\\1-3-2&:&\operatorname{sgn}:&-1\\2-1-3&:&\operatorname{sgn}:&-1\\2-3-1&:&\operatorname{sgn}:&+1\\3-1-2&:&\operatorname{sgn}:&+1\\3-2-1&:&\operatorname{sgn}:&-1\\\end{matrix}\right\}\begin{aligned}\det(A)=\underbracket{+1}\times{a_{11}}a_{22}a_{33}+\\\underbracket{(-1)}\times{a_{11}}a_{23}a_{32}+\\\underbracket{(-1)}\times{a_{12}}a_{21}a_{33}+\\\underbracket{+1}\times{a_{12}}a_{23}a_{31}+\\\underbracket{+1}\times{a_{13}}a_{21}a_{32}+\\\underbracket{+1}\times{a_{13}}a_{22}a_{31}\end{aligned}\end{aligned} Redan för 4\times4 matriser skulle vi ha en summa med 24 termer. Fins det något sätt att skriva deferminanten av 3\times3 matrisen med hjälp av determinanten från 2\times2 matrisen?

\begin{aligned}\det(A)&=a_{11}a_{22}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32}&-a_{12}a_{21}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}&+a_{12}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}\\&=a_{11}\times\underbrace{\left(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32}\right)}_{\substack{\parallel\\\underline{\det\left(\begin{bmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{32}\end{bmatrix}\right)}\\A_{11}}}&-a_{12}\times\underbrace{\left(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31}\right)}_{\substack{\parallel\\\underline{\det\left(\begin{bmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{bmatrix}\right)}\\A_{12}}}&+a_{13}\times\underbrace{\left(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31}\right)}_{\substack{\parallel\\\underline{\det\left(\begin{bmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{bmatrix}\right)}\\A_{13}}}\end{aligned}

DEF: Låt A vara en m\times n matris. Imdermatrosem A_{ij} är den (m\times1)\times(n\times1) matrisen som fås genom att ta bort rad i och kolumn j från matrisen A. EX: \begin{aligned}A=\begin{bmatrix}1&2&3&4\\5&6&7&8\\9&10&11&12\end{bmatrix}\Rightarrow\begin{aligned}A_{11}=\begin{bmatrix}6&7&8\\10&11&12\end{bmatrix}\\A_{23}=\begin{bmatrix}1&2&4\\9&10&12\end{bmatrix}\end{aligned}\end{aligned} SATS: (RADUTVÄKLING): låt A vara en m\times{n} matris. För varje utvald index i (mellan 1 och m) gäller det att \det(A)=\sum^{m}_{j=n}(-1)^{i+j}a_{ij}\det{A_{ij}}