- Grafer
	- **Def**: en graf $G$ är ett ordnat par av mängder: $G = (V,E)$ där $V\neq\emptyset, E=\{\{u,v\}:u,v\in V\}$
		- Ex: $V=\{1,2,3,4,5\}, E=\{\{1,2\},\{1,3\},\{1,4\},\{4,5\}\}$
	- $V$: Mängd av noder/hörn. $E$: mängd av kanter
	- Notation: $u,v,...\in V$, $e,\{u,v\}...\in E$
	- Grannar: Två noder u och v i $V$ är grannar om $\{u,v\}\in{E}$
	- Riktad/oriktad graf: Kanterna är riktade/oriktade
	- Multigraf: Om två hörn hat flera kanter ($E$ är multiset)
	- Ögla: $Ev\in{V}:\{v,v\}\in{E}$
	- Enkel graf: Ögelfri och med högst en kant mellan varje par
	- Viktad graf: Kanter har längd
- Gradtal
	- **Def**: Gradtal $dv$ av ett hörn $v$ är antal grannar till $v$
	- Theorem: *Låt $G=(V,E)$ vara en graf. Då är$$\sum_{v\in{V}}dv=2\mid{E}\mid$$*
	- Ex. Enekel ögelfri graf $G$ vars alla noder har samma antal gradtal har $15$ kanter. Hur många noder kan $G$ ha? $$\begin{align*}\text{låt}\mid{A}\mid=n\\\text{enligth satsen}\\\sum_{v\in{V}}dv=2\mid{E}\mid = 2*15=30\\\Leftrightarrow{nd}=30\end{align*}$$
	- Theorem: *I varje (ändlig) graf måste antalet hörn med udda gradtal vara jämnt*
- Kompletta grafer
	- **Def**: Enkomplett graf är en graf där varje par av hörn har en kant.
	- Notation: $Kn$ är den kompletta grafen på n hörn.
	- Varje hörn har gradtal $n-1$.
	- Antal kanter: $$\left|{E_{K_n}}\right|\:=\binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2}$$
	- Ex: Beräkna $\left|E_{K_15}\right|$ = $$\left|{E_{K_15}}\right|\:=\frac{15\times14}{2}=105$$
- Isomorfa grafer
	- **Def**: En isomorfism mellan grafer $G_1 = (V_1,E_1)$ och $G_2=(V_2,E_2)$  är en function $f: V_1\longrightarrow{V_2}$ så att $$(u,v)\in{E_1}\Leftrightarrow(f(u),f(v))\in{E_2}$$
	- Grafer $G_1$ och $G_2$ är isomorfa om det fins en isomorfism $f$ mellan $G_1$ och $G_2$ 
	- $f$ är en isomorfism $G_1\cong{G_2}$
	- Ex 

| Kanter $G_1$ | Kanter $G_2$            |
| ------------ | ----------------------- |
| $\{1,2\}$    | $\{f(1),f(2)\}=\{b,f\}$ |
| $\{2,3\}$    | $\{f(2),f(3)\}=\{f,c\}$ |
| $\{2,4\}$    | $\{f(2),f(4)\}=\{f,a\}$ |
| $\{4,5\}$    | $\{f(4),f(5)\}=\{a,e\}$ |
| $\{5,6\}$    | $\{f(5),f(6)\}=\{e,d\}$ |
- Väger i grafer
	- **Väg**: En följd av hörn längst kanterna. Längd är antal kanter i vägen
	- Notation: $v_0\to{v_2}\to\dots{v_{n-1}}\to{v_n}$. (längd n)
	- **Sluten väg**: $v_0=v_n$. **Öppen väg**: $v_0\neq{v_n}$
	- **Enkel väg**/**stig**: Alla hörn är olika, $v_i\neq{v_j}, 1\leq{i},j\leq{n}$
	- Avstånd $d(v_i,v_j)$ är längd av korstaste stigen från $v_i$ till $v_j$.
	- **Cykel** (längd n): Sluten väg $v_0\to{v_1}\to\dots{v_{n-1}}\to{v_0}$
- Eulerväg
	- **Def**: En **Eulerväg** i en graf är en väg som passerar varje kant i grafen exakt en gång
	- **Def**: En **Eulercykle** (Eulerkrets/Eulertour/Eulrtslinga) är en sluten Eulerväg
	- **Def**: En graf som innerhåller en **Eulercykle** kallas för en **Eulergraf**
	- Theorem (Euler, 1736): *En sammanhängade graf $G$ med minst en kant har en eulerkrets om och endast om alla dessa hörn har jämnt gradtal. $G$ har en öppen Eulerväg om och endast om precis två hörn har udda gradtal*
- Hamiltongraf
	- **Def**: En **Hamiltoncykel** i en graf med minst tre hörn en cykel som passerar varje hörn  exakt en gång
	- **Def**: En graf som innehåller en Hamiltoncykel kallas för en **Hamiltongraf**
	- **Def**: En **Hamiltonväg** i en graf är en enkel väg som innerhåller varje hörn
- Träd
	- **Def**: (träd): En sammanhängande graf som saknar cykler
	- Therem *Låt $G(V,E)$ vara med minst två hörn. Då är följande påståenden ekvivalenta:*
		- *Grafen $G$ är ett träd.*
		- *Det finns en unik enkel väg mellan varje par av noder $u,v\in{V(G)}$.*
		- *Grafen $G$ saknar cykler, samt om man lägger en ny kant uppstår precis en cykel.*
		- *Grafen $G$ är sammanhängande, samt om man tar bort en godtycklig kant, då fås en osammanhängande graf.*
		- *Grafen $G$ är sammanhängande, samt $\mid{V}\mid-\mid{E}\mid=1$*
		- *Grafen $G$ saknar cykler, samt $\mid{V}\mid-\mid{E}\mid=1$*
- Planära grafer
	- **Def**: En **planär grad** är en graf som kan ritas på planet så att kanterna inte slär varandra utom i noderna. En sådan ritning är en **Plan inbäddning** av grafen
	- Ex: $K_3, K_{3,2}, K_4$
		- Varje plan graf delar planet i **regioner**(inklusive det oändliga yttre regioner) begränsar regionen.
		- Gradtalet för en region är antalet kanter som begränsar regionen.
		- För enkel, planär graf $G = (V,E)$ med minst tre hörn $\mid{E}\mid\leq{3}\mid{V}\mid-6$.
		- För enkel, planär, sammanhängande, bipartit graf $G=(V,E)$ med mist tre hörn, $\mid{E}\mid\leq2\mid{V}\mid-4$.
- Eulers sats om planära grafer
	- Theorem: *Låt $G=(V,E)$ vara en sammanhängande, plan graf med mängd av regioner $R=\{r_1,r_2,\dots,r_n\}$. Då gäller följande för gradtalen $d_r$ av regioner: $$\sum_{r\in{R}}d_r=2\mid{E}\mid$$*
	- Theorem (Eulers formel för planära grafer): *Låt $G=(V,E)$ vara en sammanhängande, plan graf med mängd av regioner $R=\{r_1,r_2,\dots,r_n\}$. Då gäller följande $$\mid{V}\mid-\mid{E}\mid+\mid{R}\mid=2$$*
	- Ex: En plan sommanhängende graf $G$ delar planet i 6 regioner. Dess 6 hörn har antingen grad $3$ eller $4$. Hur många av dessa är av grad $3$, och hur många av grad $4$
- 