From 058e0bc6ce9e0ef407e41549c8e9508f40a07a63 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: zacharias Date: Wed, 8 Oct 2025 14:34:52 +0200 Subject: [PATCH] 08-10-25 --- LaTeX/Grafteori.md | 25 +++++++++++++++++++++++++ LaTeX/Kombinatorik 2.md | 4 ++++ notes-sep-18.txt | 16 ++++++++++++++++ notes-sep-23.txt | 2 ++ notes-sep-24.txt | 10 ++++++++++ notes-sep-25.txt | 2 ++ 6 files changed, 59 insertions(+) create mode 100644 LaTeX/Grafteori.md create mode 100644 LaTeX/Kombinatorik 2.md create mode 100644 notes-sep-18.txt create mode 100644 notes-sep-23.txt create mode 100644 notes-sep-24.txt create mode 100644 notes-sep-25.txt diff --git a/LaTeX/Grafteori.md b/LaTeX/Grafteori.md new file mode 100644 index 0000000..037f612 --- /dev/null +++ b/LaTeX/Grafteori.md @@ -0,0 +1,25 @@ +- Grafer + - **Def**: en graf $G$ är ett ordnat par av mängder: $G = (V,E)$ där $V\neq\emptyset, E=\{\{u,v\}:u,v\in V\}$ + - Ex: $V=\{1,2,3,4,5\}, E=\{\{1,2\},\{1,3\},\{1,4\},\{4,5\}\}$ + - $V$: Mängd av noder/hörn. $E$: mängd av kanter + - Notation: $u,v,...\in V$, $e,\{u,v\}...\in E$ + - Grannar: Två noder u och v i $V$ är grannar om $\{u,v\}\in{E}$ + - Riktad/oriktad graf: Kanterna är riktade/oriktade + - Multigraf: Om två hörn hat flera kanter ($E$ är multiset) + - Ögla: $Ev\in{V}:\{v,v\}\in{E}$ + - Enkel graf: Ögelfri och med högst en kant mellan varje par + - Viktad graf: Kanter har längd +- Gradtal + - **Def**: Gradtal $dv$ av ett hörn $v$ är antal grannar till $v$ + - Theorem: + - Låt $G=(V,E)$ vara en graf. Då är $$\sum_{v\in{V}}dv=2\mid{E}\mid$$ + - Ex. Enekel ögelfri graf $G$ vars alla noder har samma antal gradtal har $15$ kanter. Hur många noder kan $G$ ha? $$\begin{align*}\text{låt}\mid{A}\mid=n\\\text{enligth satsen}\\\sum_{v\in{V}}dv=2\mid{E}\mid = 2*15=30\\\Leftrightarrow{nd}=30\end{align*}$$ + - Theorem: + - I varje (ändlig) graf måste antalet hörn med udda gradtal vara jämnt +- Kompletta grafer + - **Def**: Enkomplett graf är en graf där varje par av hörn har en kant. + - $\blacktriangleright$ Notation: $Kn$ är den kompletta grafen på n hörn. + - $\blacktriangleright$ Varje hörn har gradtal $n-1$. + - $\blacktriangleright$ Antal kanter: $$\left|{E_{K_n}}\right|\:=\binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2}$$ + - $\blacktriangleright$ Ex: Beräkna $\left|E_{K_15}\right|$ = $$\left|{E_{K_15}}\right|\:=\frac{15\times14}{2}=105$$ + - \ No newline at end of file diff --git a/LaTeX/Kombinatorik 2.md b/LaTeX/Kombinatorik 2.md new file mode 100644 index 0000000..b28cfd3 --- /dev/null +++ b/LaTeX/Kombinatorik 2.md @@ -0,0 +1,4 @@ + +$\frac{x}{y}$ + + diff --git a/notes-sep-18.txt b/notes-sep-18.txt new file mode 100644 index 0000000..1601413 --- /dev/null +++ b/notes-sep-18.txt @@ -0,0 +1,16 @@ +Kombinatorik 2 + + +Faktulitet: +- n! + - 0! = 1 + - n! = n(n-1)(n-2)...1 +Permutation: av stolek k, en omordning av ett uravl av k bland n skilda objekt + +- DEF: P(n,k) = n(n-1)(n-2)...(n-k+1) = \frac{n!}{(n-k)!} + - P(n, n) = n! + - P(n, 0) = 1 +- EX: man har bokstäverna APPAN, hur många ord kan man bilda + - A) i längd 3? P(5, 3) = 5*4*3=60 + - B) i längd 5? P(5, 5) = 5! = 5*4*3*2*1 = 120 + diff --git a/notes-sep-23.txt b/notes-sep-23.txt new file mode 100644 index 0000000..5db1bfd --- /dev/null +++ b/notes-sep-23.txt @@ -0,0 +1,2 @@ +Pascals tirangel + - (↑8, ↓4) = 70 diff --git a/notes-sep-24.txt b/notes-sep-24.txt new file mode 100644 index 0000000..bc59353 --- /dev/null +++ b/notes-sep-24.txt @@ -0,0 +1,10 @@ +Lådprincip: +- om m skall fördelas i n fack och m > n kommer mist ett fack att inerhålla mer än ett föremål +- ex + - i en grup av 10,001 svenkar dellar åtmindstånde två samma 4 sista + +Inklude Exclude: +- Låt Ak av alla lösningar där Xk >= + +Talteori 1: +- a|a, diff --git a/notes-sep-25.txt b/notes-sep-25.txt new file mode 100644 index 0000000..cad98b9 --- /dev/null +++ b/notes-sep-25.txt @@ -0,0 +1,2 @@ +Baser: +- 1234 i bas 10 kan utryckas som 1*10 + 2*10 + 3*10 + 4*10^0