Converted notes-sep-1 into Obsidian note 'Mängder 1.md'

LaTeX/Mängder 1.md

@@ -0,0 +1,80 @@
+- Grundbegrepp:
+	- En Mänd är en lista av element
+	- Listor betäknas med stora bokstäver som $A = \{1, 2, 3\}$, eller $A = \{x: x|120\}$ som betyder att alla $x$ som möter kravet att $x$ är jämt delbart med $120$ är med i mängden, och element betäknas med små bokstäver
+	- Ej ordning, ej upp repning som $\{1, 2\}$ och $\{2, 1\}$ är samma sak
+	- Betäkningar:
+		- Tilhör: $\in$
+		- Jämt delbart med $|$ 
+	- Väldefinerad: $A=\{5,7,9\}$ eller $B=\{x : x|2, 0 \leq x \leq 10\}$
+		- $5\in A$ kollar om elementet $5$ fins i mängden $A$
+		- Alla mängden skall vara tydligt defineriade för att undlvika att ett element både är i och inte i mängden $(5\in A \;\wedge\; 5\notin A)$ vilket är en kontradiktion
+	- Kardinalitet: $|A|$ betyder läng(antal element) i mängden $A$
+		- $|A|$ är altid ett heltal eller $\infty$ 
+		- Example $A = \{5, 7, 9\}$ så får vi att kardinaliteten $|A|=3$
+		- Example $B=\{x:x|2\}$ så får vi att kardinaliteten $|B|=\infty$
+	- Delmängd:
+		- $A\subseteq B$ betyder att alla element i $A$ fins i $B$, samt att $A = B$
+		- Exemple $A = \{1,2,3\}$ och $B=\{1,2,3\}$ då är $A \subseteq B$
+		- Exemple $A = \{1,2\}$ och $B = \{1,2,3\}$ då ät $A \not\subseteq B$ 
+	- Äkta Delmängd:
+		- $A \subset B$ betyder att alla element i $A$ fins i $B$, men att åtminstånde ett element fins i $B$ men inte i $A$
+		- Exemple $A = \{1,2,3\}$ och $B=\{1,2,3\}$ då är $A \not\subset B$
+		- Exemple $A = \{1,2\}$ och $B = \{1,2,3\}$ då ät $A \subset B$ 
+	- Rita mängder:
+		- Venn Diagram används för att visa mängder, exemple ![[venn_diagram.png]]
+		- etta diagramet vissar mängderna
+	$$
+	\begin{align*}
+	A = \{5,7,9\} \\
+	B = \{3,5,7,9\} \\
+	C = \{5,7,9\} \\
+	D = \{3,5,7\} \\
+	 \\
+	C \subset B \\ 
+	D \subset B \\
+	C \cup D = B \\
+	C \cap D = \{5,7\}
+	\end{align*}
+	$$
+	- Null-set/Nollmängd/Empty set:
+		- En tom mängs, där $|A| = 0$
+		- $\emptyset = \{\}$
+		- Där $\emptyset \subset A$ är alltid sant
+		- $A = \{\{\}\}$ så är $A$ en mängd med elementet $\emptyset$ och $|A| = 1$ men $A \neq \emptyset$
+	- Mängder är inte tal!
+		- Skriv inte $A = 3$, om falletav kordinalitet skall det skrivas $|A| = 3$
+- Talmängder:
+	- De natuliga talen: $\mathbb{N} = \{0, 1, 2, ...\}$
+	- De hela talen: $\mathbb{Z} = \{..., -2, -1, 0, 1, 2, ...\}$
+	- De rationella talen: $\mathbb{Q} = \{\frac{p}{q}: p, q \in \mathbb{Z}, q\neq0\}$
+	- De reela talen: $\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \{\text{de irratinela talen}\}$. Ex: irratinella tal $\pi$, $\mathrm{e}$, $\sqrt{2}$
+	- De complexa talen: $\mathbb{C}=\{x+\mathrm{i}y:x,y\in\mathbb{R}, \mathrm{i}^2 = -1\}$
+	- Där $\mathbb{N}\cup\mathbb{Z}\cup\mathbb{Q}\cup\mathbb{R}\cup\mathbb{C}$
+	- $\cup$ - $\text{union/XOR}$, $\cap$ - $\text{och}$, $\subset$ - $\text{delmängd till}$, $\in$ - $\text{tillhör}$
+- Intervall:
+	- Alla tal mellan två uppgivna tal
+	- Slutet intervall: $[a, b] = \{x\in\mathbb{R}:a<=x<=b\}$
+	- Öppen intervall:
+		- $(a, b) =\;]a,b[\;= \{x\in\mathbb{R}:a<x<b\}$
+		- $(-\infty, b) =\;]-\infty, b[\;= \{x\in\mathbb{R}:x<b\}$
+		- $(a, \infty) = \;]a, -\infty[\;= \{x\in\mathbb{R}:a<x\}$
+		- $(-\infty, \infty) = \;]-\infty, \infty[ = \mathbb{R}$
+	- Halv öppen intervall
+		- $(a, b] =\;]a, b]\;= \{x\in\mathbb{R}:a<x<=b\}$
+		- $[a, b) =\;[a, b)\;= \{x\in\mathbb{R}:a<=x<b\}$
+		- $(-infty, b] = \;]-\infty, b]\; = \{x\in\mathbb{R}:x<=b\}$
+		- $[a, \infty) = [a, \infty) = \{x\in\mathbb{R}:a<=x\}$
+- Mängdoperationer
+	- Grundmängd (Universual set): $\mathcal{U}$
+		- tom mängd: $\emptyset = \{\}$, $\emptyset\subseteq A\subseteq\mathcal{U}$
+	- Union: $A\cup B=\{x\in\mathcal{U}: x\in A\vee x\in B\}$
+	- Snitt: $A\cap B=\{x\in\mathcal{U}: x\in A\wedge x\in B\}$
+	- Komplement: $A^c = \bar A=\{x\in\mathcal{U}:x\not\in A\}$
+	- ![[grundmänd_venn_diagram.png]]
+		- $A=\{3,5,7,9\}$
+		- $B=\{3,5,7\}$
+		- $A\cup B=\{3,5,7,9\}$
+		- $A\cap B = \{5,7\}$
+		- $\mathcal{U} = \{1,3,5,7,9\}$
+		- $A^c = \{1,2\}$
+		- $B^c=\{1,9\}$