09-10-25

LaTeX/Grafteori.md

@@ -11,15 +11,50 @@
 	- Viktad graf: Kanter har längd
 - Gradtal
 	- **Def**: Gradtal $dv$ av ett hörn $v$ är antal grannar till $v$
-	- Theorem:
-		- Låt $G=(V,E)$ vara en graf. Då är $$\sum_{v\in{V}}dv=2\mid{E}\mid$$
+	- Theorem: *Låt $G=(V,E)$ vara en graf. Då är$$\sum_{v\in{V}}dv=2\mid{E}\mid$$*
 	- Ex. Enekel ögelfri graf $G$ vars alla noder har samma antal gradtal har $15$ kanter. Hur många noder kan $G$ ha? $$\begin{align*}\text{låt}\mid{A}\mid=n\\\text{enligth satsen}\\\sum_{v\in{V}}dv=2\mid{E}\mid = 2*15=30\\\Leftrightarrow{nd}=30\end{align*}$$
-	- Theorem:
-		- I varje (ändlig) graf måste antalet hörn med udda gradtal vara jämnt
+	- Theorem: *I varje (ändlig) graf måste antalet hörn med udda gradtal vara jämnt*
 - Kompletta grafer
 	- **Def**: Enkomplett graf är en graf där varje par av hörn har en kant.
-	- $\blacktriangleright$ Notation: $Kn$ är den kompletta grafen på n hörn.
-	- $\blacktriangleright$ Varje hörn har gradtal $n-1$.
-	- $\blacktriangleright$ Antal kanter: $$\left|{E_{K_n}}\right|\:=\binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2}$$
-	- $\blacktriangleright$ Ex: Beräkna $\left|E_{K_15}\right|$ = $$\left|{E_{K_15}}\right|\:=\frac{15\times14}{2}=105$$
-	- 
+	- Notation: $Kn$ är den kompletta grafen på n hörn.
+	- Varje hörn har gradtal $n-1$.
+	- Antal kanter: $$\left|{E_{K_n}}\right|\:=\binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2}$$
+	- Ex: Beräkna $\left|E_{K_15}\right|$ = $$\left|{E_{K_15}}\right|\:=\frac{15\times14}{2}=105$$
+- Isomorfa grafer
+	- **Def**: En isomorfism mellan grafer $G_1 = (V_1,E_1)$ och $G_2=(V_2,E_2)$  är en function $f: V_1\longrightarrow{V_2}$ så att $$(u,v)\in{E_1}\Leftrightarrow(f(u),f(v))\in{E_2}$$
+	- Grafer $G_1$ och $G_2$ är isomorfa om det fins en isomorfism $f$ mellan $G_1$ och $G_2$ 
+	- $f$ är en isomorfism $G_1\cong{G_2}$
+	- Ex 
+
+| Kanter $G_1$ | Kanter $G_2$            |
+| ------------ | ----------------------- |
+| $\{1,2\}$    | $\{f(1),f(2)\}=\{b,f\}$ |
+| $\{2,3\}$    | $\{f(2),f(3)\}=\{f,c\}$ |
+| $\{2,4\}$    | $\{f(2),f(4)\}=\{f,a\}$ |
+| $\{4,5\}$    | $\{f(4),f(5)\}=\{a,e\}$ |
+| $\{5,6\}$    | $\{f(5),f(6)\}=\{e,d\}$ |
+- Väger i grafer
+	- **Väg**: En följd av hörn längst kanterna. Längd är antal kanter i vägen
+	- Notation: $v_0\to{v_2}\to\dots{v_{n-1}}\to{v_n}$. (längd n)
+	- **Sluten väg**: $v_0=v_n$. **Öppen väg**: $v_0\neq{v_n}$
+	- **Enkel väg**/**stig**: Alla hörn är olika, $v_i\neq{v_j}, 1\leq{i},j\leq{n}$
+	- Avstånd $d(v_i,v_j)$ är längd av korstaste stigen från $v_i$ till $v_j$.
+	- **Cykel** (längd n): Sluten väg $v_0\to{v_1}\to\dots{v_{n-1}}\to{v_0}$
+- Eulerväg
+	- **Def**: En **Eulerväg** i en graf är en väg som passerar varje kant i grafen exakt en gång
+	- **Def**: En **Eulercykle** (Eulerkrets/Eulertour/Eulrtslinga) är en sluten Eulerväg
+	- **Def**: En graf som innerhåller en **Eulercykle** kallas för en **Eulergraf**
+	- Theorem (Euler, 1736): *En sammanhängade graf $G$ med minst en kant har en eulerkrets om och endast om alla dessa hörn har jämnt gradtal. $G$ har en öppen Eulerväg om och endast om precis två hörn har udda gradtal*
+- Hamiltongraf
+	- **Def**: En **Hamiltoncykel** i en graf med minst tre hörn en cykel som passerar varje hörn  exakt en gång
+	- **Def**: En graf som innehåller en Hamiltoncykel kallas för en **Hamiltongraf**
+	- **Def**: En **Hamiltonväg** i en graf är en enkel väg som innerhåller varje hörn
+- Träd
+	- **Def**: (träd): En sammanhängande graf som saknar cykler
+	- Therem *Låt $G(V,E)$ vara med minst två hörn. Då är följande påståenden ekvivalenta:*
+		- *Grafen $G$ är ett träd.*
+		- *Det finns en unik enkel väg mellan varje par av noder $u,v\in{V(G)}$.*
+		- *Grafen $G$ saknar cykler, samt om man lägger en ny kant uppstår precis en cykel.*
+		- *Grafen $G$ är sammanhängande, samt om man tar bort en godtycklig kant, då fås en osammanhängande graf.*
+		- *Grafen $G$ är sammanhängande, samt $\mid{V}\mid-\mid{E}\mid=1$*
+		- *Grafen $G$ saknar cykler, samt $\mid{V}\mid-\mid{E}\mid=1$*