From d838b4bfc32b33fd7f9c68cec18c4166d5fbe0c7 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: zacharias Date: Wed, 15 Oct 2025 14:03:07 +0200 Subject: [PATCH] 15-10-25_part-1 --- LaTeX/Grafteori.md | 14 +++++++++++++- 1 file changed, 13 insertions(+), 1 deletion(-) diff --git a/LaTeX/Grafteori.md b/LaTeX/Grafteori.md index 1071040..37329ab 100644 --- a/LaTeX/Grafteori.md +++ b/LaTeX/Grafteori.md @@ -57,4 +57,16 @@ - *Grafen $G$ saknar cykler, samt om man lägger en ny kant uppstår precis en cykel.* - *Grafen $G$ är sammanhängande, samt om man tar bort en godtycklig kant, då fås en osammanhängande graf.* - *Grafen $G$ är sammanhängande, samt $\mid{V}\mid-\mid{E}\mid=1$* - - *Grafen $G$ saknar cykler, samt $\mid{V}\mid-\mid{E}\mid=1$* \ No newline at end of file + - *Grafen $G$ saknar cykler, samt $\mid{V}\mid-\mid{E}\mid=1$* +- Planära grafer + - **Def**: En **planär grad** är en graf som kan ritas på planet så att kanterna inte slär varandra utom i noderna. En sådan ritning är en **Plan inbäddning** av grafen + - Ex: $K_3, K_{3,2}, K_4$ + - Varje plan graf delar planet i **regioner**(inklusive det oändliga yttre regioner) begränsar regionen. + - Gradtalet för en region är antalet kanter som begränsar regionen. + - För enkel, planär graf $G = (V,E)$ med minst tre hörn $\mid{E}\mid\leq{3}\mid{V}\mid-6$. + - För enkel, planär, sammanhängande, bipartit graf $G=(V,E)$ med mist tre hörn, $\mid{E}\mid\leq2\mid{V}\mid-4$. +- Eulers sats om planära grafer + - Theorem: *Låt $G=(V,E)$ vara en sammanhängande, plan graf med mängd av regioner $R=\{r_1,r_2,\dots,r_n\}$. Då gäller följande för gradtalen $d_r$ av regioner: $$\sum_{r\in{R}}d_r=2\mid{E}\mid$$* + - Theorem (Eulers formel för planära grafer): *Låt $G=(V,E)$ vara en sammanhängande, plan graf med mängd av regioner $R=\{r_1,r_2,\dots,r_n\}$. Då gäller följande $$\mid{V}\mid-\mid{E}\mid+\mid{R}\mid=2$$* + - Ex: En plan sommanhängende graf $G$ delar planet i 6 regioner. Dess 6 hörn har antingen grad $3$ eller $4$. Hur många av dessa är av grad $3$, och hur många av grad $4$ +- \ No newline at end of file