diff --git a/LaTeX/Mängder 2.md b/LaTeX/Mängder 2.md new file mode 100644 index 0000000..7f241fa --- /dev/null +++ b/LaTeX/Mängder 2.md @@ -0,0 +1,37 @@ +- Mängdoperation: + - Differens: $A\setminus\text{B} = \{x\in\mathcal{U}:x\in\text{A}\land\text{x}\not\in\text{B}\}$ + - Symetrisk Differens $A\triangle\text{B}=\{x\in\mathcal{U}:x\in\text{A}\cup\text{B}\land\text{x}\not\in\text{A}\cap\text{B}\}$ +- Räkne regler: + - Dublekomplement: $\overline{\overline{A}} = A$ + - Idempotens: $A\cup\text{A}=A$, $A\cap\text{A}=A$ + - Identitet: $A\cup\emptyset=A$, $A\cap\emptyset=\emptyset$ + - Dominans: $A\cup\mathcal{U}=\mathcal{U}$, $A\cap\emptyset=\emptyset$ + - Kommutativ: $A\cup\text{B}\iff\text{B}\cup\text{A}$, $A\cap\text{B}\iff\text{B}\cap\text{A}$ + - Associativ: $$ +\begin{align} +(A\cup\text{B})\cup\text{C}\iff\text{A}\cup(B\cup\text{C})\iff\text{A}\cup\text{B}\cup\text{C} \\ (A\cap\text{B})\cap\text{C}\iff\text{A}\cap(B\cup\text{C})\iff\text{A}\cap\text{B}\cap\text{C} +\end{align} +$$ + - Paranteser: om alla oprationer är $\cup$ eller $\cap$ spelar årdning ingen roll + - De Morgand: $\overline{(A\cup\text{B})}\iff\cap{A}\cap\overline{B}$, $\overline{(A\cap\text{B})}\iff\overline{A}\cup\overline{B}$ + - Bevis: +$$ +\begin{align} +x\in\overline{(A\cup\text{B})}\Rightarrow\text{x}\not\in\text{A}\cup\text{B}\Rightarrow +\left\{ +\begin{aligned} +& \text{x}\notin\text{A} \\ +& \text{x}\notin\text{B} +\end{aligned} +\right. +\Rightarrow\text{x}\notin\overline{A}\cap\overline{B}\Rightarrow +\left\{ +\begin{aligned} +& \text{x}\in\overline{A} \\ +& \text{x}\in\overline{B} +\end{aligned} +\right. +\Rightarrow +x\in\overline{(A\cup\text{B})}\text{. Vissar att }\overline{} +\end{align} +$$ \ No newline at end of file diff --git a/LaTeX/Mängder 3.md b/LaTeX/Mängder 3.md new file mode 100644 index 0000000..7bbc182 --- /dev/null +++ b/LaTeX/Mängder 3.md @@ -0,0 +1,3 @@ +- Kartesisk produkt: + - $A\cdot\text{X} \overset{\mathrm{def}}{=} \{(a,b): a \in A, b \in B\}$, + - \ No newline at end of file diff --git a/notes-sep-3.txt b/notes-sep-3.txt new file mode 100644 index 0000000..d312a9e --- /dev/null +++ b/notes-sep-3.txt @@ -0,0 +1,31 @@ +Mänder 3: + +Kartesisk produkt: + +- A x B def= {(a,b): a € A, b € B} +- OPS ordnad! (a,b) != (b,a) +- Betekning A^n def= Ax...xA, n gåneger +- Ex + - Z^2 def=ZxZ, R^2 def= RxR + - Z^2: Mängd av punkter på ett plan där alla punkter har heltas kordinater + - R^2: Hela planet + - A = {p,q}, B = {1,2,3}, AxB = {(p,1),(p,2),(p,3),(q,1),(q,2),(q,3)} + - Registrerings skyltar: {A,...,Z}^3 x {0,...,9}^3, t.ex 'JTH101' + +Kardinalitet: + +- Återuprepning |A| = antalet element i mängden A(Ändling eller inf) +- |AxB| = |A||B| +- Om A …c B, då är |A| < |B| +- Om B är ändlig, och A c B, då är |A| < |B| +- Ex + - |{A,...,Z}^3 x {0,...,9}^3| = |{A,...,Z}|^3 x |{0,...,9|^3 = 26^3 x 1000 + - 2N = {2n : n € N} = {0, 2, 4,...} = mängd av jämna naturliga tal + +Kardinalitet av union, Inklusion-exklusinsprincipen: + +- Begrep: Disjunkta mängder A, B: A ↓u B = ø +- Additions princip: A ↓u B = ø, då |AuB| = |A|+|B| +- Ex + - A = {1,3}, B = {0, 2, 4}, |AuB| = |{0,1,2,3,4}| = 5 +