disM/LaTeX/Fuktioner och Relationer.md

• Funktioner
  • Notation: f: M \longrightarrow N, x \longmapsto f(x)
  • Def: En funktion f från en mängd M till en annan mängd N är en regel som tilldelar ett objekt i N på ett entydigt sätt till varje objekt (så många som det går) i M.
  • Def: Definitionsmängden till f är en delmängd av M där f är definierad. Betecknas D_f.
  • Def: Värdemängden till f är en mängd av alla element i N som bildas av f. Betecknas V_f.
  • Ex: \begin{align*}f:\mathbb{N}\longrightarrow\mathbb{N},n\mapsto{n^2}\\f(1)=1,f(2)=4,\dots\dots\end{align*}
  • Ex: \begin{align*}f:\mathbb{Z}\longrightarrow\mathbb{Q},n\longmapsto\frac{n}{n^2-4}\\f\text{ är inte definierad på }\{-2,2\}\\\text{sum }D_f=\mathbb{Z}\text{\\}\{-2,2\}\end{align*}
• Sammansättning, Invers
  • Sammansättning: g\circ{f(x)}=g(f(x)).
    • Egenskaper: V_{gof}\subseteq{V_g}, V_f\subseteq{D_g}, associativ, ej kommutativ
  • Ex: f(x) = \sqrt{n} and g(x)=(n+5)^2. Bestämmer att \begin{align*}g\circ{f(x)}=g(f(x))=g(\sqrt{x})=(\sqrt{x}+5)^2=\mid{x}\mid+25\\f\circ{g(x)}=f(g(x))=f((x+5)^2)=f(x^2+5^2)=\sqrt{x^2+5^2}=\mid{x}\mid+\mid5\mid=\mid{x}\mid+5\end{align*}
  • Definition: En funktion g är inverse till funktionen f om g\circ{f(x)} = x och f\circ{g(x)} = x för varje $f\in{D_f}$
  • Beteckning: f^{-1} är inverse till f
  • Graf till inverse f^{-1} är spegling av grafen till f i linjen y=x
  • f är inverterbar \Rightarrow{D_{f-1}}=V_f och V_{f-1}=D_f
  • OPS: f^{-1}(x) \neq (f(x))^{-1}
  • Ex: \begin{align*}f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=\frac{x}{x+1}\\\text{Bestäm}f^{-1}\text{(om det fins)},D_{f^{-1}},D_f. V_{f^{-1}},V_f\\\text{Lös: }y=f(x)\Leftrightarrow{f^{-1}(y)}=x\text{ om }\exists{f^{-1}}\\y=f(x)=\frac{x}{x+1}, x\neq-1,y\neq-1\\\Leftrightarrow(x+1)y=x, x\neq-1,y\neq-1\\\Leftrightarrow y=x-xy=x(y-1),x\neq-1,y\neq-1\\\Leftrightarrow x=\frac{y}{1-y}=f^{-1}(y), x\neq-1,y\neq-1\end{align*}
• Injektiv, Surjectiv, Bijektiv
  • Def: En Funktion f:M\longrightarrow{N} är Injektiv om \forall{y}\in{N}, ekvationen f(x)=y has högst en lösning för x
  • Def: En Funktion f:M\longrightarrow{N} är Surjektiv om \forall{y}\in{N}, ekvationen f(x)=y har minst en lösning för x, alltså V_f=N.
  • Def: En Funktion f:M\longrightarrow{N} är Bijektiv om \forall{y}\in{N}, ekvationen f(x)=y har exakt en lösning för x
  • f bijektiv \Leftrightarrow{f} inverterbar
  • f,g bijektiv \Rightarrow{g}\circ{f} bijektiv och (g\circ{f})^{-1}=f^{-1}\circ{g^{-1}}
• Relationer
  • Def: Låt A,B vara icke-tomma mängder. En relation R från A till B är en delmängd av A\times{B}. Alltså, $R\in{P}(A\times{B})$
  • Om (a,b)\in{R} skrivs det som aRb. Annars a\not{R}b
  • Alla funktioner är relationer med inte tvärtom.
  • Om A=B, då är det en relation på A
  • Ex: \begin{align*}\text{Låt }A=\{2,3,4,5,6,7\}\\1.\text{Olikhetsrelationen på }A: xRy\text{ om }x\leq{y}\\2.\text{Delbathetsrelationen på }A:xRy\text{ om }x\mid{y}\end{align*}
• Typer av Relationer:
  • Reflexiv: xRx, \forall{x}\in{A}
  • Symmetrisk: xRy\Rightarrow{yRx}
  • Anti-Symmetrisk: xRy\wedge{yRx}\Rightarrow{x}=y
  • Transitiv: xRy\wedge{yRz}\Rightarrow{xRz}
  • Ex:
    • Låt A=\mathbb{Z} och definiera xRy om [x]_3=[y]_3: \begin{align*}[x]_3=[x]_3\Rightarrow{xRx}, \forall{x}\in\mathbb{Z}\\\text{Sum, R är spegling}:\\(x,y)\in{A}^2:xRy\\\text{Då är }[x]_3=[y]_3\Leftrightarrow{[y]_3}=[x]_3\Rightarrow{yRx}\\\text{R är symetrisk}\end{align*}
    • Låt A=\mathbb{Z} och definiera xRy om x\leq{y}: \begin{align*}x\leq{x},\forall{x}\in\mathbb{Z}\Rightarrow{xRx},\forall{x}\in{A}\\R\text{ är anti-symmetrisk}\\\\\text{Låt }(x,y,z)\in{A^3}:xRy\wedge{yRz}\\\text{Då är }x\leq{y}\wedge{y}\leq{z}\Rightarrow{x}\leq{z}\\R\text{ transitiv}\end{align*}
    • Låt A vara mängd av alla människor och definiera xRy om x är förälder till y:
    • 3 gotykliga: \begin{align*}\text{Låt }(x,y,z)\in{A^3}:xRy\wedge{yRz}\\\text{Då är }[x]_3=[y]_3,[y]_3=[z]_3\\\Rightarrow[x]_3=[z]_3\Rightarrow{xRz}\\R\text{ är transitiv}\end{align*}
• Ekvivalensrelationer och partitioner:
  • Def: En relation R är en ekvivalensrelation om den är reflexiv, symmetrisk och transitiv.
  • Beteckning: x\sim{y}
  • Theorem: Varje ekvivalensrelation R på A partitionera mängden A ekvivalensklasser A_k:$A=\bigcup{A_k},A_i\cap{A_j}=\emptyset,i\neq{j}$där A_k är så att x,y tillhör samma A_k som xRy.
  • Ex: \begin{align*}R\text{ är spegling, summetrisk, transitiv}\\R\text{ en ekvivalensrelation}\\R\text{ partitionelan }A=\mathbb{Z}\\\text{i ekvivalensklassen}:\\E_0=\{n\in\mathbb{Z}:e\mid{n}\}\\=\{\dots,-9,-6,-3,0,3,6,9,\dots\}\\E_1=\{n\in\mathbb{Z}:3\mid{n}-1\}\\=\{\dots,-2,1,4,\dots\}\\E_2=\{n\in\mathbb{Z}:e\mid{n}-2\}\\=\{\dots,-1,2,5,\dots\}\end{align*}
• Rartialording och partiellt ordnad mängder (posets)
  • Def: En relation R är en partialordning om den är reflexiv, anti-summetrisk och transitiv. En möngd med defierat partialordning kallas för en posets.
  • Betekning x\preceq{y}.
  • Ex: Lexikografisk ordning, delbarhet, "delmängd i" osv. \begin{align*}\mathbb{Z}=E_0\cup{E_1}\cup{E_2},E_i\cap{E_j}=\emptyset,i\neq{j}\\\text{Ex: }A=\{2,3,4,5,6,7\}\\xRy\text{ om }x\mid{y}\\R\text{ är reflexiv, anti-summetrisk, transitiv.}\\\text{R är partialordjing}\end{align*}