vault backup: 2026-01-30 15:02:03
This commit is contained in:
21
.obsidian/workspace.json
vendored
21
.obsidian/workspace.json
vendored
@@ -34,9 +34,23 @@
|
||||
"icon": "lucide-file",
|
||||
"title": "Linjer"
|
||||
}
|
||||
},
|
||||
{
|
||||
"id": "ca10233d6e0048f7",
|
||||
"type": "leaf",
|
||||
"state": {
|
||||
"type": "markdown",
|
||||
"state": {
|
||||
"file": "Ekvations System.md",
|
||||
"mode": "source",
|
||||
"source": false
|
||||
},
|
||||
"icon": "lucide-file",
|
||||
"title": "Ekvations System"
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
],
|
||||
"currentTab": 1
|
||||
"currentTab": 2
|
||||
}
|
||||
],
|
||||
"direction": "vertical"
|
||||
@@ -195,10 +209,11 @@
|
||||
"obsidian-git:Open Git source control": false
|
||||
}
|
||||
},
|
||||
"active": "c4448a6f2bd4eb31",
|
||||
"active": "ca10233d6e0048f7",
|
||||
"lastOpenFiles": [
|
||||
"Vektorer.md",
|
||||
"Linjer.md",
|
||||
"Ekvations System.md",
|
||||
"Vektorer.md",
|
||||
"Primära Funktioner.md",
|
||||
"ODE.md",
|
||||
"Maclaurin.md",
|
||||
|
||||
20
Ekvations System.md
Normal file
20
Ekvations System.md
Normal file
@@ -0,0 +1,20 @@
|
||||
**Def**: *Ett linjärt ekvationssystem med reella koefficienter är en samling av $m$ stycken ekvationer, där:*
|
||||
- *Varje ekvation innerhåller som m'st $m$-stycken variabler, och hat gemmesamma vatiabler för alla ekvationer*
|
||||
- *Varje vatiable förekommer om en första ordning moam $(x,\;4x,\;-3y,\cancel{x^2},\;\cancel{xy})$*
|
||||
- *En konstant term $(e,\;0,\;-5,\;\cancel{2+i})$*
|
||||
**Ex**: $$\begin{align}x_1-2x_2+3x_3=0\\x_1-x_4=-2\\\\\cancel{{x_1}^2}-2\cancel{x_2x_5}=0\\\cancel{\sin(x_1)}-x_4=\cancel{-2+}3i\end{align}$$
|
||||
*Ett allmänt linjär ekvationssystem med reella koefficienter herstamade av $m$ stycken ekvationer och $m$ stycken variablar ser ut så här: *$$\left.\begin{align}a_{11}x_1+a_{12}x_2+\dots+a_{1m}x_n=b_1\\a_{21}x_1+a_{22}x_2+\dots+a_{2n}x_n=b_2\\\vdots\\a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\dots+a_{mn}x_n=b_m\end{align}\right\}\begin{aligned}m\times{n}\text{ stycken koeffiencer }(a_{ij})\\m\text{ stycken koeffienter }(b_i)\end{aligned}$$
|
||||
**Ex**: $$\begin{align}x_1-2x_2-3x_3==\\x_1-x_4=-2\\\Leftrightarrow x1_2-x_2-3x_3+0x_4=0\\x1+0x_2+0x_3-x_4=-2\\\end{align}$$
|
||||
**Def**: *En $m\times{n}$ matris med rella koeffienter är en samling av $m\times{n}$ stycken rella tal i en rektagulär schema med $m$ rader och $n$ koefiencer* $$A=\left[\begin{aligned}a_{11}\;\;\;\;a_{12}\;\;\dots\;\;\;\;a_{1n}\\a_{21}\;\;\;\;a_{22}\;\;\dots\;\;\;\;a_{2n}\\\vdots\;\;\;\;\;\;\;\vdots\;\;\;\ddots\;\;\;\;\;\;\vdots\;\;\\a_{m1}\;\;a_{m2}\;\;\dots\;\;a_{mn}\end{aligned}\right]\leftarrow m\times{n}\text{ matris}$$
|
||||
*Variablar till häramde ett ekvationssystem samlas i en $n\times1$ matris $\overrightarrow{x}$ (också kallad för en kolomnvektor), och en koefficienterma $b_i$ som utgöt HL av en ekvationssystemet samlas i $m\times1$ matris $\overrightarrow{b}$(ett annat kolonnvektor)*$$\overrightarrow{x}=\left[\begin{align}x_1\\x_2\\x_3\\\vdots\;\\\vdots\;\\x_n\end{align}\right]\;\;\;\overrightarrow{b}=\left[\begin{aligned}b_1\\b_2\\\vdots\;\\\vdots\;\\b_m\end{aligned}\right]$$
|
||||
|
||||
*Ex*: $$\begin{aligned}x_1-2x_2-3x_x=0\\x_1-x_4=-2\\\\A=\left[\begin{aligned}1\;\;-2\;\;-3\;\;\;\;\;\;0\\1\;\;\;\;\:\;\;0\;\;\;\;\;\;0\;\;-1\end{aligned}\right]\\\overrightarrow{x}=\left[\begin{aligned}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{aligned}\right]\;\;\;\overrightarrow{b}=\left[\begin{aligned}0\\-2\end{aligned}\right]\end{aligned}$$
|
||||
- **Def**: *Ett gauss schema är en sammling av $A$, och $\overrightarrow{b}$ som tillhör ett ekvastions system:*$$\left(A\mid\overrightarrow{b}\right)=\left(\begin{aligned}a_{11}\;\;a_{12}\;\;\dots\;\;a_{1n}:b_1\\a_{21}\;\;a_{22}\;\;\dots\;\;a_{2n}:b_2\\\vdots\;\;\;\;\;\;\vdots\;\;\;\ddots\;\;\;\;\vdots\;\;\;\;\;\vdots\;\;\\a_{m1}\;a_{m2}\;\dots\;a_{mn}:b_m\end{aligned}\right)$$
|
||||
- **Ex**: $$\begin{aligned}x_1-2x_2-3x_x=0\\x_1-x_4=-2\\\\\Rightarrow\left(\begin{aligned}1\;\;-2\;\;-3\;\;\;\;\;\;0:\;\;\;0\\1\;\;\;\;\:\;\;0\;\;\;\;\;\;0\;\;-1:-2\end{aligned}\right)\end{aligned}$$
|
||||
- **Ex**: $$\left.\begin{aligned}x+2y-u+3v=2\\2x+3y+2z-2u+10v=0\\x+3y-2z-4u+2v=3\\\underbrace{-x-3y+2z+3u-v}_{\text{VL }4\times5=20 \text{ platser i schemat}}=\underbrace{-4}_{\text{HL }4\text{ platser}}\\\end{aligned}\right.\Rightarrow\left(a\mid\overrightarrow{b}\right)=\left(\begin{aligned}1\;\;\;\;\;\;2\;\;\;\;\;0\;-1\;\;\;3:\;\;\;2\\2\;\;\;\;\;\;3\;\;\;\;\;2\;-2\;10:\;\;\;0\\1\;\;\;\;\;3\;-2\;-3\;\;\;2:\;\;\;3\\-1\;-3\;\;\;\;\;2\;\;\;\;\;\;3\;\;\;1:-4\end{aligned}\right)$$
|
||||
*Hur räknar man med ett gauss schema? Man räknar med hjälp av elemäntera radoperationer:*
|
||||
- **Radbyte**: *Vi byter plats på alla element i raderna $i$ och $j$ : $R_i\leftrightarrow{R_j}\;\;\left(R_1\leftrightarrow{R_3}\right)$*
|
||||
- **Radmultiplikation**: *Vi multiplicerar alla ellement i raden $i$ med en och samma nollstild tal $\lambda\in\mathbb{R}$: $\lambda\times{R_i}\rightarrow{R_i}\;\;\left(2R_1\leftarrow{R_1}\right)$*
|
||||
- **Radaddition**: *Vi adderar till varje element i raden $i$ en $\lambda$-mutipel av motsvarande element från raden $j$: $R_i+\lambda{R_j}\rightarrow{R_1}\;\;\left(R_1-3R_2\rightarrow{R_1}\right)$*
|
||||
**Ex**: $$\left(\begin{aligned}1\;-2\;3\;0:0\\1\;0\;0\;-1:-2\end{aligned}\right).\;\;R_2-R_1\rightarrow{R_2}\left(\begin{aligned}1\;-2\;-3\;0:0\\0\;2\;3\;-1:-2\end{aligned}\right).\;\;\frac12R_2\rightarrow{R_2}\left(\begin{aligned}1\;-2\;-3\;0:0\\0\;1\;\frac32\;\frac{-1}2:-1\end{aligned}\right)$$
|
||||
**Ex**: $$\left(\begin{aligned}1\:2\;0\;-1\;3:2\\2\;3\;2\;-2\;10:+\end{aligned}\right)$$
|
||||
@@ -8,3 +8,6 @@
|
||||
- **OBS**: *Det gäller att $<\overrightarrow{m},\overrightarrow{v}>=-v_2\times v_1+v_1\times v_2=0$*
|
||||
- **OBS**: *Hur kan man beskriva tangentelinjen till grafen av fuktionen $f$ med hjälp av parameterformen*
|
||||
- *För att beskriva en linje behöver vi $P$ och $\overrightarrow{v}$. Vad kam vi välja som $P$ och $\overrightarrow{v}$ i ett sådant fall fall* $$\begin{align}P=\left(a,f\left(a\right)\right)\\\overrightarrow{v}=\left(1,f'\left(a\right)\right)\end{align}$$
|
||||
- **Area**
|
||||
- **Sats**: *Den sigmerade volum (dvs. volum med tetraheden $+/-$) av tetrahdeden som spänns upp av tre linjärt vektorere $\overrightarrow{u},\;\overrightarrow{v},\;\overrightarrow{w}$ är lika med: $$\frac16<\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v},\;\overrightarrow{w}>=\frac16\mid\mid\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}\mid\mid\mid\mid\overrightarrow{w}\mid\mid\cos(\alpha)$$*
|
||||
- **Proff**: *Volymen av en tetrahden som en geometriska figur ges av en formel: $$\frac13\times\text{Area av bas ytan}\times\text{Höjden}\Rightarrow\frac13\times\frac12\mid\mid\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}\mid\mid\times\mid\mid\overrightarrow{w}\mid\mid\times\cos(\alpha)\Rightarrow\text{Klar!}$$*
|
||||
Reference in New Issue
Block a user