vault backup: 2026-01-26 11:53:05
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225
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vendored
225
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vendored
@@ -4,207 +4,11 @@
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},
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|
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"title": "Derivata"
|
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|
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},
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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},
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|
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"title": "Tenta Example"
|
||||
}
|
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{
|
||||
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|
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|
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|
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|
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|
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|
||||
"title": "Primära Funktioner"
|
||||
}
|
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},
|
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{
|
||||
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|
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|
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"file": "Integraler.md",
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|
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|
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},
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|
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"title": "Integraler"
|
||||
}
|
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},
|
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{
|
||||
"id": "76c8d943958d45bf",
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|
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"file": "Funktioner.md",
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|
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},
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"title": "Funktioner"
|
||||
}
|
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},
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||||
{
|
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||||
@@ -217,8 +21,7 @@
|
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"title": "Vektorer"
|
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}
|
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}
|
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"currentTab": 14
|
||||
]
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@@ -250,7 +53,7 @@
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"state": {
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|
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@@ -377,23 +180,23 @@
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},
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"active": "30539ff6e6b3eb6a",
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"active": "9ec7a3d1ef5d43cc",
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"lastOpenFiles": [
|
||||
"Funktioner.md",
|
||||
"Vektorer.md",
|
||||
"Primära Funktioner.md",
|
||||
"ODE.md",
|
||||
"Maclaurin.md",
|
||||
"Komplexa tal.md",
|
||||
"Integraler.md",
|
||||
"Gräsvärde (1).md",
|
||||
"Grafer.md",
|
||||
"Funktioner Forts.md",
|
||||
"Maclaurin.md",
|
||||
"ODE.md",
|
||||
"Primära Funktioner.md",
|
||||
"Funktioner.md",
|
||||
"Differential.md",
|
||||
"Integraler.md",
|
||||
"Definitioner.md",
|
||||
"Derivata.md",
|
||||
"Int1.png",
|
||||
"Definitioner.md",
|
||||
"Vektorer.md",
|
||||
"Tenta Example.md",
|
||||
"Komplexa tal.md",
|
||||
"Int1.png",
|
||||
"Def_graf1.png",
|
||||
"TE1.png",
|
||||
"Trigonometri.md",
|
||||
|
||||
@@ -1,10 +1,13 @@
|
||||
- **DEF**
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||||
- *I en rätviklig rektangle stämmer $\overrightarrow{AC}=\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right)$*
|
||||
- $\overrightarrow{u}=\left(1,2,3\right)=\left(\begin{aligned}1\\2\\3\end{aligned}\right)=\left[\begin{aligned}1\\2\\3\end{aligned}\right]$
|
||||
- *$\mid\mid{V}\mid\mid$ Är längden av $V$*
|
||||
- **Exemple**
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||||
- $$\begin{align}\text{Rektangeln }A,\;B,\;C,\;D\;\text{. Låt }E\text{ Vara punkten som delar diagonalen }\overline{AC}:\text{förhållandet }1:3\\\left(\text{dvs: }\overline{AE}:\overline{EC}=1:3\right)\\\text{Benämna }\overrightarrow{a}=\overrightarrow{AB},\overrightarrow{h}=\overrightarrow{AD}\text{ Uttryc vektor }\overrightarrow{c}=\overrightarrow{EC}\text{ i termer av }\overrightarrow{a}\text{ och }\overrightarrow{h}\\\\\text{Vart ligger punkten }E\:\text{? Hur kan vi uttrycka }\overrightarrow{c}\text{ med hjälp av }\overrightarrow{a}\text{ och }\overrightarrow{h}\:\text{?}\\\overrightarrow{c}=\overrightarrow{EC}=\frac34\overrightarrow{AC}=\frac34\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right)=\frac34\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{h}\right)=\frac34\overrightarrow{a}+\frac34\overrightarrow{h}\end{align}$$
|
||||
- **Koordinatrummet $\mathbb{R}^m$**
|
||||
- *Mängden $\mathbb{R}^m\;\left(\text{där }m\in\mathbb{N}\right)$ består av koordinattpunkter av längden $m$ vars element är reella tal. Som skalärer tas $\mathbb{R}\text{(vanliga reela tal)}$*
|
||||
- **Hur funkar $+$ och $\times$**
|
||||
- $$\begin{align}\overrightarrow{u}=\left(u_1,u_2,u_3,\dots,u_m\right)\in\mathbb{R}^m\\\overrightarrow{v}=\left(v_1,v_2,\dots,y_m\right)\in\mathbb{R}^m\\\lambda\in\mathbb{R}\\\\\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=\left(u_1+v_1,u_2+v_2,\dots,\lambda u_m\right)\\\text{OBS: }\left(1,2\right)+\left(3,4,5\right)\Rightarrow\text{Inte Definierat}\\\\\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}=\left(u_1v_1,u_2v_2\dots,u_mv_m\right)\\\begin{aligned}\overrightarrow{u}=\left(1,2,0\right)\\\overrightarrow{v}=\left(0,0,-2\right)\end{aligned}\Rightarrow\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}=\left(1\times0,2\times0,0\times\left(-2\right)\right)=\left(0,0,0\right)\\\text{Man kan i normala fall inte multiplecera vektorer!}\end{align}$$
|
||||
-
|
||||
- $$\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\in\mathbb{R}^3\Rightarrow\overrightarrow{n},\overrightarrow{n}\in\mathbb{R}^3$$
|
||||
- **Sats**: *Låt $\overrightarrow{m},\:\overrightarrow{n}\in\mathbb{R}^3$. Då gäller det att: $\mid\mid\overrightarrow{m}\times\overrightarrow{n}\mid\mid=\mid\mid\overrightarrow{m}\mid\mid\times\mid\mid\overrightarrow{n}\mid\mid\times\sin(\theta)$. (Där $\theta$ är vinkeln mellan $\overrightarrow{m}$ och $\overrightarrow{n}$). (Jämför: $<\overrightarrow{u},\:\overrightarrow{v}>=\mid\mid\overrightarrow{u}\mid\mid\times\mid\mid\overrightarrow{v}\mid\mid\times\cos(\theta)$)*
|
||||
- **Prof**: *Vi börjar med: $$\begin{aligned}\mid\mid\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}\mid\mid^2=<\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v},\:\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}>\stackrel{\text{(I)}}{=}<\overrightarrow{u},\;\overrightarrow{v}\times\left(\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}\right)>\stackrel{\text{(II)}}{=}<\overrightarrow{u},\;<\overrightarrow{v},\;\overrightarrow{v}>\overrightarrow{u}-<\overrightarrow{v},\;\overrightarrow{u}>\overrightarrow{v}>\\=<\overrightarrow{u},\;<\overrightarrow{v},\;\overrightarrow{v}>\overrightarrow{u}>-<\overrightarrow{u},\;<\overrightarrow{v},\;\overrightarrow{u}>\overrightarrow{v}>\\=<\overrightarrow{v},\;\overrightarrow{v}><\overrightarrow{u},\;\overrightarrow{u}>-<\overrightarrow{u},\;\overrightarrow{v}><\overrightarrow{v},\;\overrightarrow{u}>\\=\mid\mid\overrightarrow{u}\mid\mid^2\times\mid\mid\overrightarrow{v}\mid\mid^2-\left(\mid\mid\overrightarrow{u}\mid\mid\times\mid\mid\overrightarrow{v}\mid\mid\times\cos(\theta)\right)^2\\=\mid\mid\overrightarrow{u}\mid\mid^2\times\mid\mid\overrightarrow{v}\mid\mid^2\times\left(1-\cos^2(\theta)\right)\\=\mid\mid\overrightarrow{u}\mid\mid^2\times\mid\mid\overrightarrow{v}\mid\mid^2\times\sin^2(\theta)\end{aligned}$$*
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